2025年初升高数学暑假专项提升：集合的基本运算（人教版）

第03讲集合的基本运算

［学蒋目标］

1.理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；

2.了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集,

会求给定集合的补集；

3.掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；

4.通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。

||函基础知.

---------------------1IIIIII1IIIIIIIIII1I1IIIIIIII1IIIII1I1III-----------------------

一、并集的概念与运算

1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合称为

A与3的并集,

记作AUB,读作“A并3”

2、符号语言：AU3={xhGA或x©团

3、图形语言：阴影部分为AU3

4、性质：AUB=BUA,AUA=A,AU0=0UA=A,如果AN3,则AUB=B

二、交集的概念与运算

1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合，称为集合A

与3的交集，记作AflB,读作“A交3”

2、符号语言：AnB={x|x©A且xG3}

3、图形语言：阴影部分为AC5

4、性质：AnB=BHA,Af14=A,AH0=0HA=0,如果AG3,则AflB=A

三、全集与补集的概念与运算

1、全集

(1)文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那

么就称这个集合为全集，通常记为U.

(2)符号语言：若4屋。,3三。,。三。,…，则。为全集.

(3)图形语言：

2、补集

(1)文字语言：若集合A是全集U的一个子集，由全集。中不属于集合A的

所有元素组成的集合称为集合A相对于全集。的补集，记作gA.

(2)符号语言:=且A}

(3)符号语言：

(4)性质：AU[uA=U；API[以=0；[u(.[uA)=A.

四、德摩根律与容斥原理

1、德摩根定律：设集合。为全集，A、3为。的子集，则有

(1)赖AnB)=(uA)U&3)

(2)赖AUB)=(uA)n&3)

\uVu|

Q_：£)

2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常

用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即

card(A)表示有限集A的元素个数，则有如下结论：

(1)card(AIJB)=card(A)+card(B)-card(AQB)

2）

card（A|jBUC，）=card（A）+card（B）+card（C）-card（Ar|B）-card（i5nC）-card（AnC）+card（AQC）

五、区间及相关概念

1、一般区间的表示：设。，5是两个实数，而且a＜。，我们规定：这里的实数。力

叫做区间的端点.

在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那

一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示

{乂〃<x<b]闭区间[a,b]

a1,一

[x[a<x<b]开区间(a,b)

ab-

{x\a<x<b}半开半闭区间[a,b)

ab

{x\a<x<b}半开半闭区间(a,b]

h

2、实数集R

可以用区间表示为(-8,+«),“oo”读作“无穷大”,

“一oo”读作“负无穷大”，“+oo”读作“正无穷大”.

3、特殊区间的表示

I|Q考点剖析

---------------------lllllllllllllilllllllllllllllllllllllllll-----------------------

考点一：求集合的并集

例L已知集合&={1,2,4},3={-L0,1,2},贝1)473=()

A.{-1,0,1,2,4}B.{0,1,2,4}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3,4}

【答案】A

【解析】由集合4={1,2,4},3={-1,0,1,2},知Au/={—13,2,4}.故选：A.

【变式训练】设集合A={X|TVXW3},B={X|0<X<4},则A°B=()

A.[-1,3]B.(f,4)C.(0,3]D.[-1,4)

【答案】D

【解析】集合A={x|T<xW3},8={x[0<x<4},

则Au3=[-L4)故选：D.

考点二：求集合的交集

与例2.已知集合A={0,1,3,5},”{1,3},则()

A.0B.{1,3}C.{3,5}D.{0,3,5}

【答案】B

【解析】因为A={0,1,3,5},2={1,3},所以AcB={l,3}.故选：B

【变式训练】设集合A={xeNH〈x<2},B={-2-1,0,1},贝1)408=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1}

【答案】C

【解析】因为A={xeNTW2}={0,l,2},又B={-2,-1,0,1},

所以an3={cu}.故选：C

考点三：求集合的补集

例3.设集合U={L2,3,4,5},A={2,3,5},则eA=()

A.{5}B.{1,4}C.{2,3}D.{2,3,5}

【答案】B

【解析】集合U={1,2,3,4,5},A={2,3,5},

={1,4}故选：B.

【变式训练】已知全集。=艮4=闺-2<xW3},则3bA=()

A.{x|xV-2}B.{x|xV-2或x>3}C.{x|x23}

D.{木<-2或xN3}

【答案】B

【解析】因为U=R，A={x|-2<尤<3},所以率A=何尤4-2或x>3},故选:B.

考点四：交并补综合运算

4.已知全集。=,€4卜＜6},集合A={1,3},8={2,3,4},则馆(”)=

()

A.{1}B.{3}C.0D.{1,3}

【答案】A

【解析】因为。={L2,3,4,5},则”={1,5},所以&1@町={1}.故选：A.

【变式训练】设全集U=R,”={x|lWx<5},N={x|x<0},则MA⑹N))等于()

A.{x|-1<x<0}B.{x|0<x<5}C.{x|l<x<5}

D.{x|0<x<5}

【答案】C

【解析】由题意M={x|l〈x<5},N={x|x<0},则eN={x|xN0},

故"n@N)={x[14x<5},故选:C

考点五：Venn图在集合运算中的应用

5.设集合A={x|-lVx<2},B={x|0<x<4},则Venn图阴影区域表示的

B.{x|l<x<2}C.{x|0<%<4}

D.{A|1<X<4}

【答案】A

【解析】由题意可知，Venn图阴影区域表示的集合是AcB,

^L)J,Ans={x|-l<x<2}nUI0<x<4}={x|0<x<2}>^：A.

【变式训练】(多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为()

A.Bn(AuC)B.C/c(AuC)C.BnC^CAuC)

D.(AnB)u(BnC)

【答案】AD

【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素x,则或xeBAC,

所以阴影部分所表示的集合为(AnB)u(BnC),

再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为

Bn(AuC),

所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.

考点六：根据集合运算求参数

6.已知集合4={1,3,"8={l,a+2},ADB=A,则实数。的值为()

A.{2}B.{-1,2}C.口，2}D.{0,2}

【答案】A

【解析】由AuB=A知：BeA,

当a+2=3,即。=1,则/=i,与集合中元素互异性有矛盾，不符合;

当a+2=02,即a=-1或a=2,

若。=-1,则/=1,与集合中元素互异性有矛盾，不符合；

若a=2,则/={1,3,4},8={1,4},满足要求.

综上，。=2.故选：A

【变式训练】设集合A={X-2VX<5},8={X|〃Z+1VXV2〃L1},

(1)若〃7=4,求AuB；

(2)若31A=5,求实数优的取值范围.

【答案】(1)AuB={x|-2<x<7};(2)(-8,3].

【解析】(1)当m=4时，B={x|5<%<7},­.-A={x|-2<^<5},.-.AUB={^|-2<^<7}；

(2)■1-B^\A=B,:.B^A,

当3=0时，满足题意，此时机+1>2祖-1,解得加(2；

-2<m+1

当5W0时，2m-l<5解得24根43,

m+1<2m-1

实数机的取值范围为(-8,3].

考点七：集合运算中的元素个数问题

例7.某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人

则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

对这两项运动都不喜爱,

【答案】11

【解析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，

则只喜爱篮球的有(17—x)人，只喜爱乒乓球的有(10一关)人，

由(17—x)+(10—x)+x+9=30,解得x=6,

所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17-x=ll人.

故答案为：11.

【变式训练】向50名学生调查对A8两事件的态度，有如下结果：赞成A的人

数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成5的比赞成A的多3人，其余的不赞

成；另外，对都不赞成的学生数比对A3都赞成的学生数的三分之一多1人.

则赞成A的不赞成8的有人.

【答案】9

【解析】由已知得赞成A的人数是50x；=30,

赞成8的人数是30+3=33,

设A8都赞成的学生数为x,则48都不赞成的学生数为:x+1,

30+33—x+—.x+l=50,角单^^x=21,

则赞成A的不赞成B的有30-x=9人.

故答案为：9.

［西真题演练」:

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1.设集合&={-3,-2,TO」},3={0,1,2,3,4},则元素的个数为()

A.2B.3C.8D.9

【答案】C

【解析】因为集合4={-3,-2,-1,0,1},5={0,1,2,3,4},

所以AuB={-3,-2,-1,0,1,2,3,4}

所以AuB元素的个数为8,故选：C

2.已知集合4={41<%<2},B={x|0<x<3},则()

A.1x|-l<x<3^B.{止l<x<。}C.1x|0<x<2j

D.{x|-4Vx<0}

【答案】A

【解析】因为A={VT<X<2},8={尤［0<无<3},

所以AuB={RT<x<3},故选：A.

3.集合A={x|l<x<6},集合8={1,3,5,6,7},则4集3=()

A.{7}B.{L3,5,6}C.{3,5}D.{3,5,7}

【答案】C

【解析】因为集合A={x1<x<6},集合8={1,3,5,6,7},

所以4「3={3,5}.故选：C.

4.已知全集。=埠集合A={-1,0,123},B={x\x>2},则An43)等于()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{x\x<2}D.{x|-l<x<2}

【答案】A

【解析】由集合3={x|xN2},可得电8={尤[x<2},

又由合A={T，0,L2,3},可得4n(g3)={T,0,l}.故选:A.

5.已知集合4=3一3<彳<2},3=冈x<-3或x>l},则(QA)cB=()

A.(Y°,-3]u[2,+oo)B.(TO,-3)u[2,+oo)

C.(-<»,-3)u[L")D.[2,-KO)

【答案】B

【解析】由A={x|-3<x<2},可得％A={xlxV-3或x22},

所以⑥A)cB={xU<-3或尤22}.故选：B.

6.已知集合人={邓x+l<4},8={小-。<0},若408=4,则实数a的取值范围

为()

A.[l,+°0)B.C.y/]D.(-8,1)

【答案】A

【解析】A={x[3x+1<4}={小<1},B={x[x-q<0}=„<a},

因为4口8=4,所以A为8的子集，所以故选：A.

7.已知集合4={0,。},8={2、6},若AUB={0，l，2},则。=()

A.0B.1C.0或1D.2

【答案】C

【解析】由题意可得：

若a=l,则2“=2,此时A={O,1},B={2,b},若AU5={01,2},则6=1或

b=0符合题意；

若a=2,则={4,4,不符合题意.故选:C

8.设集合A=xeZ-3<x<g,B={-l,0,l,2},能正确表示图中阴影部分的集合

C.{0,1,2)D.{2}

【答案】B

【解析】由题意，集合A=xeZ-3<x<：={-2,-1,。},

根据图中阴影部分表示集合8中元素除去集合A中的元素，即为{1,2}.

故选：B.

9.（多选）已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（)

A.Mc\N=0B.MudltN=RC.飒U以N=%M

D.瘠MeRN=?RM

【答案】BD

【解析】由图可知，vn疫N=MNN0,A错误；

M八N=R,B正确；

则URN=^WnN)=RN,C错误；

飘mRN=^"UN)=R”,D正确，故选:BD.

10.已知集合A={x|2a<x<3—2a},B={x|x<5tz+1}

(1)若AUB：'求a的取值范围；

(2)若AriB=0,求a的取值范围.

713

【答案】(1)a>-；(2)或。2a

【解析】（1）由AUB=S知Ab.

3

若A=0,iP3-2o<2a,“2^时符合题意.

当Aw0时，由题意得[;；；>；\得

[5a+123-2a74

综上得。的取值范围是此力

(2)当A=0,即aNa时Ac5=0.

4

当4x0时，由题意得[二;；；"，解得

[5。+l<2a3

综上，a的取值范围是公-；或让力

［昼过关检测］:

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1.已知全集"={1,2,3,4},4={1,3}©8={2,3},则人口3=()

A.{1}B.{3}C.{4}D.{1,3,4}

【答案】A

【解析】由题意得人={1,3},3={1,4},所以Ac3={l}；故选：A.

2.已知集合u={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4,5},3={1,3,5},则Ac&3)=()

A.{2,4}B.{4,6}C.{2,3,6}D.{2,4,6}

【答案】A

【解析】由题意，集合U={1,2,3,4,5,6},8={1,3,5},可得屯3={2,4,6},

又由A={2,3,4,5},根据集合交集的运算，可得Ac曲到={2,4}.故选：A.

3.设全集/是实数集R,"={x|x>2或》<一2}与双={知<犬<3}者口是/的子集(如

图所示)，则阴影部分所表示的集合为()

A.{xlx<2］B.{X|-2<^<1}C.{x|l<x<2}

D.{x\-2<x<2]

【答案】C

【解析】因为可M={x1-2<x<2},

所以阴影部分表示的集合为双门（6眼）={动<尤42}.故选：C.

4.设全集。是实数集R,M=[x\x>3\,N={x|2WxW5}都是。的子集（如图所

示），则阴影部分所表示的集合为（）

【答案】B

【解析】题图中阴影部分表示集合NC@M）={X|2WXW5}C{HX<3}={X[24X<3}.

故选：B

5.（2022秋.高一课时练习）已知全集U,集合A,3为其子集，若31@A）=0,

则AD3=（）

A.gAB.C.AD.B

【答案】C

【解析】全集U,集合43为其子集，因3I@A）=0,则有

所以=故选：C

6.集合A,8满足AuB={2,4,6,8,10},4门3={2,8},A={2,6,8}则集合8中的元素

个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】因为4口3={2,8},故{2,8}[3,又4={2,6,8},故6/3,

又3={2,4,6,8,10},故8={2,4,8,10},即集合8中的元素个数为4.故选:

B

7.（多选）已知全集U=R,集合A3满足A8,则下列选项中正确的有（）

A.AC\B=BB.A<JB=BC.（”"=0

D.Ac(23)=0

【答案】BD

【解析】因为全集"=区，集合48满足AB,

所以AC|8=A,&A)CBH0,Ac(QB)=0.故选：BD

8.(多选)某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步、

拔河、篮球比赛的人数分别为58,38,52,同时参加跑步和拔河比赛的人数为18,

同时参加拔河和篮球比赛的人数为16,同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人

数为12,三项比赛都不参加的人数为20,则()

A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24

B.只参加跑步比赛的人数为26

C.只参加拔河比赛的人数为16

D.只参加篮球比赛的人数为22I

【答案】BCD

【解析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,、

由Vfew?图可得，58+38+52-18-16-^+12=120-20,得x=26,\

则只参加跑步比赛的人数为58-18-26+12=26,I------------

只参加拔河比赛的人数为38-16-18+12=16,

只参加篮球比赛的人数为52-16-26+12=22.故选：BCD.

9.已知集合人={引-2<x43},8={,<-1}.

(1)求AcB；

(2)若全集。={小44},求及僧A)U(㈤.

［答案］(1)Ac8=3-2<x<-l}；(2)An(^5)={x\-l<x<3)；(#A)U(网={x\x<-2

或-”xW4}.

【解析】(1)•••A={42<xW3},B={x\x<-1］,

=-2<x<-1}；

(2)因为U={x|xV4},8={小<-1},

所以”