2025北京延庆八年级（下）期末数学试卷

2025北京延庆初二（下）期末

数学

2025.06

考1.本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.

生2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号.

须3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

知4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题（共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.等边三角形B.平行四边形

C.矩形

2.一元二次方程2%2+3%-4=0的一次项系数是（

A.2B.3C.4D.-4

3.如果x=l是关于X的方程炉―3%+m=0的一个根，那么实数加的值为（）

B.4D.2

4.在平面直角坐标系xOy中，点4（2,3）关于x轴的对称点的坐标是（）

A.（2,3）B.（2,-3）D.（-2,-3）

5.六边形的外角和是（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.当关于x的一元二次方程AX2-2X+1=0有两个不相等的实数根时,女的取值范围是（）

A.k<lB.k>-l

c.k<1s.k.oD.k>—1且上w0

7.下列命题中，假命题是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

8.如图，在平面直角坐标系》分中，y关于X的函数图象与X轴有且只有三个公共点，坐标分别为

（-3,0）,（-1,0）,（3,0）.关于该函数的四个结论如下:

①当1>3时，>的取值范围是y>0；

②当y<0时，x的取值范围是—l<x<3；

③将该函数图象向左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原点；

④该函数图象上有且只有一个横坐标与纵坐标之和是-1的点.

其中正确的结论有

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（共16分，每小题2分）

2

9.函数y=---中，自变量x的取值范围是.

x-1

10.一元二次方程/一6尤=0的解为.

11.一组数据“—2,2,0，4”的方差为片，则$2=.

12.如图，在，ABCD中，ZA+ZC=100°,则NB=°.

13.写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式：

14.已知点A（—I,%）和8（2,%）是一次函数y=3x—2的图象上的两点，贝（％%（填或

）.

15.在平面直角坐标系X。〉中，函数y=2x+m与y=—x+〃的图象交于点尸（1,4）,则关于苫的不等式

2x+m<-x+n的解集是.

16.一次函数y=ax+b（aw0）中变量>与x的部分对应值如下表所示.

-2-1012

y21.510.50

给出下面四个结论：

①a>0；

②一次函数y=以+b的图象不经过第三象限;

③关于X的方程ax+b=O的解是X=1；

④关于x的不等式ca+b>2的解集是%<-2；

上述结论中，所有正确结论的序号是.

三、解答题(共68分，17-21题，每小题6分；22-26题，每小题5分；27题8分；28题5

分)

17.解方程：x2-2x-3=0.

18.解方程：2X2+3X-1=0.

19.如图，在，ABCD中，DEJ.AB,垂足为E,点尸在上，且CF=AE.

求证：四边形DEB尸是矩形.

20.在平面直角坐标系xQy中，一次函数丁=履+/％/0)的图象过点4(1,2),5(4,-1),且与x轴交于

点C.

-4

(1)求该一次函数的表达式；

(2)求△AOC的面积.

21.已知关于X的一元二次方程％2_5蛆+47n2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若根>0,且该方程的两个实数根的差为6,求相的值.

22.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点0,AEBD,DE//AC.

(1)求证：四边形AODE是菱形;

（2）若AB=6,AO=5,求菱形的面积.

23.在平面直角坐标系xOy中，函数y=H+2与y=x—2的图象交于点4（3,加）.

（1）求人和m的值；

（2）点5（”,％）在函数y=x—2的图象上，5C_Lx轴交函数丫=履+2的图象于点C,点C的纵坐标

为为.若直接写出〃的取值范围.

24.某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降.原来单台服务器每月

运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元.求单台服务器运

行成本的月平均降低率.

25.为了提升学生的数学核心素养，激发学生学习数学的兴趣，某校组织了“数学节”活动，设置了数学

小游戏、作品展示、数学知识竞赛三个主题.在活动中，学校有200名学生参加了数学知识竞赛，从中随

机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表：

40名学生成绩的频数分布表

成绩X（分）频数频率

50<x<6030.075

60<x<70ab

70<x<80140.350

80<x<90C0.150

90<%<10050.125

合计401.000

40名学生成绩的频数分布直方图

根据以上信息，回答下列问题：

(1)表1中6的值为，c的值为

(2)补全频数分布直方图；

(3)若对成绩不低于80分的学生进行奖励，估计参加数学知识竞赛的200名学生中获得奖励的学生有

_____名.

26.在平面直角坐标系尤0y中，一次函数丁=依+人(。/0)的图象过点(—1,—2),且平行于直线

y=-2x.

(1)求一次函数y=ar+b(aw0)的表达式；

(2)当%>-1时，对于x的每一个值，一次函数丁=区+左一2(左w0)的值大于一次函数

y=av+Z?(awO)的值，且小于函数y=2x的值，直接写出左的取值范围.

27.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接BE,ZCBE=a(00<a<45°),过点E

作EFLBE,交。C的延长线于点尸，交5c于点G.

（1）求NCEE的大小（用含a的式子表示）；

（2）求证：BE=FE；

（3）连接AF,点/是AF的中点，连接石M,

①依题意补全图形；

②用等式表示线段上M与Cb的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xQy中，对于点P和线段肱V,给出如下定义：

如果存在点Q,使得以"N为对角线的四边形PMQN是平行四边形，则称点。是点尸关于线段的

“关联点”.已知A（O,1）,3（—1,0）,C（2,l）,D（3,2）,£（—6,3）,F（l,0）,G（m,l）.

,71x

（1）在点D,E,产中，点是点B关于线段AC的“关联点”；

（2）求点。关于线段AC的“关联点”的坐标；

（3）若点产关于线段AG的“关联点”在.00后的内部，直接写出加的取值范围.

参考答案

一、选择题（共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.【答案】C

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判

断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图

形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中

心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

2.【答案】B

【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.根据一元二次方程

的一般形式写出一次项系数即可.

【详解】解：一元二次方程2必+3%—4=0的一次项系数是3,

故选：B.

3.【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键.把x=l代入方程

/—3尤+机=。得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可.

【详解】解：把X=1代入方程V—3%+m=0得1—3+加=0,

解得m—2.

故选：D.

4.【答案】B

【分析】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为

相反数是解题的关键.根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可.

【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点4（2,3）关于x轴的对称点的坐标是（2,—3）,

故选：B.

5.【答案】A

【分析】根据多边形外角和都是360。即可得出答案.

【详解】：多边形的外角和都是360。，

六边形的外角和是360°.

故选：A.

【点睛】本题主要考查多边形外角和，掌握多边形外角和都是360。是解题的关键.

6.【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程

2

ax+bx+c=0（a^Q）,若A=〃一七^〉。，则方程有两个不相等的实数根，若公=》2一4℃=0,则方

程有两个相等的实数根，若A=^-4ac<0,则方程没有实数根.根据一元二次方程的定义和根的判别式

进行求解即可.

【详解】解：•••关于尤的一元二次方程62—2x+l=0有两个不相等的实数根，

.A=（-2）2-4xlxZr>0

••I,

左w0

左<1且左w0,

故选：C.

7.【答案】D

【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定即可进行解答.

【详解】解：A、B、C均是真命题，不符合题意；

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形或等腰梯形，故D是假命题，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟

练掌握相关判定定理.

8.【答案】B

【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，平移的性质，根据函数图象分析其上坐标的特点是解

题的关键.通过观察可判断①②③，通过点P得到P所在的直线表达式，作出图象后，可判断④.

【详解】解：①当X>3时，y的取值范围是y>o,故①正确；

②由图象可知，当y<0时，％<—3或—l<x<3,故②错误；

③由图象可知，函数图象经过点（3,0）,将该函数图象左平移3个单位长度后，得到的函数图象经过原

点，故③正确；；

④令x=m,y=-m-1,

y——x—1,

・,•点尸（叫一加一1）在直线y=-x-1的函数图象上，如图所示：

由图象可得，它们有三个交点，

则该函数图象上有三个横坐标与纵坐标之和是-1的点，故④错误；

.••正确的有①③，共2个，

故选：B.

二、填空题(共16分，每小题2分)

9.【答案】xwl

【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0

进行求解即可.

【详解】解：根据题意可得X—I/O；

解得XW1,

2

.,.函数丁=----中，自变量X的取值范围是XW1.

x-1

故答案为：XW1.

10.【答案】西=。，9=6

【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键.直接提取公因式求解即可.

【详解】解：*2_6九=0,

x(x-6)=0,

解得占=0,4=6,

故答案为：X]=0,x2—6.

11.【答案】5

【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据/、x2……

222

%，元为平均数，那么该组数据的方差为：^x[(xt-x)+(x2-x)++(x„-x)].先求出该组数据

的平均数，再利用方差公式计算求解即可.

【详解】解：•••平均数为:义(一2+2+0+4)=1

S2=^x[(-2-l)2+(2-1)2+(0-1)2+(4-1)2]=5,

故答案为：5.

12.【答案】130

【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键.根据平行四边形

的性质可得，ZA=ZC,AD//BC,可求出NA的度数，根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：在,ABCD中，ZA=ZC,AD//BC,

VZA+ZC=100°,

NA=NC=50°,

AZB=180°-ZA=130°,

故答案为：130.

13.【答案】y=一%（答案不唯一）

【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限可得左<0,由此即可得

解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键.

【详解】解：写一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式为：y=一%,

故答案为：y=一%（答案不唯一）.

14.【答案】<

【分析】本题考查一次函数的性质，根据太值得到一次函数的增减性是解题的关键.

先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论.

【详解】解:•.・左=3>0,

y随着尤的增大而增大，

1<2，

；•%<%，

故答案为：<.

15.【答案】X<1

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思

想是解题的关键.根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题.

【详解】解：：y=2x+m中，2>0

•••y随x的增大而增大，

在,=一1+〃中，_]<o

，y随x的增大而减小，

:函数y=2%+m与y=—1+〃的图象交于点尸（1,4）

二关于x的不等式的解集是九<1,

故答案为：X<1.

16.【答案】②④##④②

【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质

是解题的关键.先求出该一次函数解析式为y=-gx+1,再根据一次函数的图象和性质，可判断①、

②、③，又口=一；<0,y随x的增大而减小，当x=2时，y=2,即可判断④，即可求解.

【详解】解：根据题意得：当x=2时，y=0,当x=0时，y=l,

方程依+人=0的解为x=2,故③错误；

2a+b=Q

,解得:

b=l

b=1

.••该一次函数解析式为y=—gx+l,

：.a=--<0,y随x的增大而减小，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确;

2

,/a=-1<0,y随X的增大而减小，当％=—2时，y=2,

关于尤的不等式依+〃>2的解集是x<—2,故④正确，

故答案为：②④

三、解答题(共68分，17-21题，每小题6分；22-26题，每小题5分；27题8分；28题5

分)

17.【答案】Xi=-1,及=3

【分析】用因式分解法解方程即可.

【详解】解：x2-2x-3=0,

(x+1)(x-3)=0,

x+l=0或x-3=0,

X\=-1,X2=3.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程.

18.【答案】-3+拒―3一旧

1424

【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式.对于一元二次方程

«x2+to+c=0(a^0),可以先计算判别式A=^—4ac的值，再根据求根公式％=上亚三&求出方

2a

程的解.

【详解】解：2丁+3%-1=0，

a=2,b=3,c=—l,

△=/—4农=32—4x2x(—1)=9+8=17.

.—b±A/Z?2—4ac—3±y/17—3±A/F7

••x=--------------------=-------------=-------------

2a2x24

•••方程的解为Xj=-3丁-3-M

4

19.【答案】详见解析

【分析】先证四边形DE3户是平行四边形，再证"石8=90°,即可得出结论.

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性

质是解题的关键.

【详解】证明：四边形A5CD是平行四边形

：.AB=DC,ABDC

AE=CF

：.AB-AE=DC-CF,即。产=EB

又-AB//DC,

四边形DEBF是平行四边形

■.DE±AB，

；.NDEB=90。

：•-DEBF矩形.

20.【答案】（1）y=-x+3

（2）3

【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

（1）利用待定系数法解答，即可求解；

⑵令y=0,可得点C（3,0）.再由44m=30。.区|，即可求解.

【小问1详解】

解:把点A。,2）,8（4,-1）代入y=Ax+b得：

k+b=2[k=-l

<.，解得：<；

4k+b=-l也=3

：.y=-x+3

【小问2详解】

解：由（1）可知：y=—%+3,

令y=。，]=3,

...点。（3,0）.

•"△AOC=；。0|%|=；*3*2=3.

21.【答案】（1）见解析（2）2

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；

（2）先求出一元二次方程的两个根为占=加,％=4加，再由%>0,且该方程的两个实数根的差为6,即

可求解.

【小问1详解】

证明：*.*a=l,b=-5m,c=4m2,

A=Z?2—4,ac=（—5m）2—4xlx4m2=9m2>0,

,该方程总有两个实数根；

【小问2详解】

解：x2-Smx+^m1=0

（x—m）（x—4m）=0,

解得：玉=加,％2=4加，

4m>m,

：该方程的两个实数根的差为6,

/.4m-m—6,解得：m=2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，

利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键.

22.【答案】（1）见解析（2）30

【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关判定和性质，是解题的关键.

（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分，得到Q4=OD,即可得证;

（2）连接OE,证明四边形ABQE是平行四边形，进而得到OE=A3=6,勾股定理求得AD，利用菱

形的面积公式进行计算即可.

【小问1详解】

证明：：£>E〃AC,AE//BD，

.,•四边形AODE是平行四边形.

•..四边形ABCD是矩形，

AAC^BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD.

22

•*.OA=OB-OC-OD.

•••四边形AQDE是平行四边形，OA=OD,

...四边形AQDE是菱形.

【小问2详解】

解：如图，连接OE,

由(1)知四边形史是菱形，

AE=OD=OB.

•••AE//BD，

：.AE//BO,AE=BO.

，四边形ABOE是平行四边形.

OE=AB=6.

,/AO=5

：.BD=2AO=10

在RtAAB。中，AD=VSD2-AB2=8

•••=1xl0x6=30-

菱形49DE的面积是30.

23.【答案】(1)k=--,m=l

3

(2)—6<n<3

【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、一次函数与几何的综合、，掌握数形结合思想成为解题的

关键.

(1)将A(3,m)代入y=x-2求得772=1,再将4(3,1)代入y="+2,即可求解；

(2)根据题意画出函数图象，结合函数图象分析，即可求解.

【小问1详解】

解：：y=Ax+2与y=x—2的图象交于点4(3,7”)

根=3—2=1,

•••4(3,1),

将4(3,1)代入y=Ax+2得，1=3左+2

解得：k=--

3

【小问2详解】

由(1)可得C在y=-§x+2上，

当%=4时，x=-6

当AC重合时，n=3

根据函数图象可得％<%<4时，—6<〃<3

24.【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为20%

【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为无，根据题意列出方

程解方程，即可求解.

【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为x,根据题意得，

2500（1-%）2=1600

解得：％=0.2=25%,%=1.8（舍去）

答：单台服务器运行成本的月平均降低率为20%.

25.【答案】（1）0.300,6

（2）见解析；（3）55

【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出

所求问题的答案.

（1）利用0.150乘以40得C,利用1.000—0.125—0.350—0.150—0.075求得Z7,进而求得。的值；

（2）先求出80Vx<90对应的频数，即可补全频数分布直方图；

（3）用200乘以不低于80分的学生所占的百分比即可.

【小问1详解】

解：c=0.150x40=6

〃=1.000—-0.075-0.350-0.150-0.125=0.300,

故答案为：0.300,6；

【小问2详解】

解:0=0.300x40=12,则604x<70对应的频数为6,804x<9。对应的频数为40x0.150=6,

补全频数分布直方图如图：

解：200义出=55(人)，

40

.♦•估计学校200名学生中获得奖励的学生有55名.

故答案为：55.

26.【答案】(1)y=-2x-4

(2)—2<%<2且左。0

【分析】本题考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性

质是解题关键.

(1)先根据一次函数丁=依+可。*0)的图象平行于直线y=-2x得出。=—2,再把点(T—2)代入求

出6的值即可；

(2)可判断y=—左+2(左/0)经过定点(1,2),再由当x>l时，对于尤的每一个值，函数

y=依—左+2(人/0)的值大于函数y=ox+Z?的值，且小于函数y=2*的值，得出函数

y=Ax—左+2(左w0)夹在y=—x+3和y=2x之间，且在(1,2)右边，即可求解.

【小问1详解】

解：：一次函数y=at+b(awO)的图象平行于直线y=-2x.

a=—2,即y=—2x+b

代入(-1,-2)得，—2=2+5

解得：b——4

/.y=-2x-A.

【小问2详解】

•.•丁=丘+左一2=左(1+1)—2经过定点(-1,2),

如图，对于x的每一个值，一次函数丁=辰+%一2(左wO)的值大于一次函数y=ar+Z?(awO)的值，且

小于函数y=2九的值，

—2<左<2且左。0

27.【答案】（1）a

（2）见解析（3）①见解析；②2EM=FC

【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的

性质与判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；

（1）根据正方形的性质以及已知条件，得出ZACD=45°,NFEC=45°—a三角形的外角的性质即可求

解；

（2）连接证明.5CE乌,DCE（SAS）得出=ZCDE=ZCBE=a,进而可得

DE=EF,等量代换，即可得证；

（3）①根据题意补全图形，即可求解；

②连接DE,5/，延长FE交A。于点N,连接3N,证明ME是,的中位线，得出2ME=AN,

进而证明ABN且-CBF（SAS）得出CF=A7V,即可得证.

【小问1详解】

解：如图，

••・正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，

；.NBCF=BCD=90。,ZACB=ZACD=45°,

：.ZECF=ZACB+ZBCF=45°+90°=135°

：ACBE=a

：.ZAEB=ZCBE+ZACB=a+45°

•••EFLBE,

：.ZFEC=180。—90。—（iz+45。）=45°-a

ZCFE=ZACD-ZFEC=45°-(45°-a)=a

【小问2详解】

连接OE

・••正方形ABC。中，E为对角线AC上一点,

/.BC=DC,ZBCE=ZDCE=45°

在一BCEQDCE中，

BC=DC

<ZBCE=ZDCE=45°

CE=CE

,BCE咨DCE(SAS),

:.DE=BE，NCDE=NCBE=a

ZCDE=ZCFE=a

：■DE=EF

；•BE=EF

【小问3详解】

①补全图形如图，

②如图，连接