2025年高考数学试题（全国一卷）解析版

2025年普通高等学校招生全国统一考试（新1卷）

★祝大家学习生活愉快*

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写

在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需

改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.（l+5i）i的虚部为（）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.

【详解】因为（l+5i）i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1,

故选：C.

2.设全集。=卜卜是小于9的正整数},集合/={1,3,5},则令/中元素个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为。={1,2,3,4,5,6,7,8},所以用2={2,4,6,7,8},①/中的元素个数为5,

故选：C.

3.若双曲线C的虚轴长为实轴长的J7倍，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V?D.242

第1页/共31页

【答案】D

【解析】

【分析】由题可知双曲线中的关系，结合/+〃=C2和离心率公式求解

【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2d2c,

由题知，b=5a，

于是/+〃=c~=a2+IcT=8a2,贝1Jc=2>/2tz,

即e=£=2A/2.

a

故选：D

4.若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图像的一个对称中心，则。的最小值为()

兀714兀

B.-D.

32T

【答案】B

【解析】

【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.

-7TJTKTT

【详解】根据正切函数的性质，y=2tan(x-])的对称中心横坐标满足x-1=万,比eZ,

即y=2tan(x—y)的对称中心是+—,0J,A:GZ,

即日n。=—兀I---，1JeZ1,

32

TT

又a>0,则左=0时。最小，最小值是一，

3

即a=巴.

3

故选：B

5.设/'(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当24xW3时，/(x)=5-2x,则/

【答案】A

【解析】

第2页/共31页

【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为［2,3］的范围中求解.

【详解】由题知/(%)=/(-x),/(x+2)=/(x)对一切xeR成立，

于是/(一一3)=/(31)=/(171)=5—2x171=—1

44442

故选：A

6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风

风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对

应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在

某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s),

则真风为()

等级风速大小m/s名称

21.6〜3.3轻风

33.4〜5.4微风

45.5〜7.9和风

58.0〜10.7劲风

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

【答案】A

【解析】

【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量,

得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.

【详解】由题意及图得，

视风风速对应的向量为：n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，

第3页/共31页

船速方向和船行风速的向量方向相反，

设真风风速对应的向量为，，船行风速对应的向量为%,

，船行风速：％=-［（3,3）-（2,0）］=（-1,一3）,

*,•=〃-%=（-3,-1）-（-1,-3）=（-2,2）,

同=^（-2）2+22=2艮2.828，

...由表得，真风风速为轻风，

故选：A.

7.若圆_?+3+2）2=/&＞（））上到直线了=屈+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+QO)D.(0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】先求出圆心£（0,-2）到直线^=瓜+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.

【详解】由题意，

在圆/+（y+2）2=/任〉0）中，圆心£（0,—2）,半径为厂，

到直线y=6x+2的距离为1的点有且仅有2个，

|0xV3-(-2)xl+2|

•.•圆心£（0,—2）到直线了=瓜+2的距离为：d=

+(-

当尸二1时,

圆x2+（y+2『=/&〉（））上有且仅有一个点（人点）至U直线》=屈+2的距离等于1；

第4页/共31页

当尸=3时,

圆/+（了+2）2=/位〉0）上有且仅有三个点（B,C,D点、）到直线^=瓜+2的距离等于1；

当则，一的取值范围为（1,3）时，

圆Y+（y+2）2=/位〉o）上有且仅有两个点到直线y=瓜+2的距离等于1.

故选：B.

8.若实数x,y,z满足2+log2X=3+log3y=5+log5Z,则x,修z的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>x>zD,y>z>x

【答案】B

【解析】

【分析】法一：设2+log2X=3+log3歹=5+log5Z=加，对用讨论赋值求出x,y,z,即可得出大小关系，

利用排除法求出；

法二：根据数形结合解出.

【详解】法一：设2+log2X=3+log3y=5+log5z=加，所以

.1,1

令加=2,则x=l,y=3T=—,2=5'=一，此时x〉y〉z,A有可能；

3125

令加=5,则x=8,y=9,z=1,此时歹>%>z,C有可能；

令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时>>z>x,D有可能；

故选：B.

法二：设2+log2X=3+log3y=5+log5Z=加，所以，x=2m~2,y=3m~3,z=5m~5

根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，

作出函数>=214=3尸3,y=5厂5的图象，以上方程的根分别是函数歹=2厂2,>=3、-3,y=5,5的图象与

直线X=7"的交点纵坐标，如图所示：

第5页/共31页

x>y>z,y>x>zty>z>x,z>y>x,

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在正三棱柱48C—44G中，。为5c中点，则（）

A.AD±AXCB.平面24。

C.ADHA.B,D,。。"/平面力4。

【答案】BD

【解析】

【分析】法一：对于A,利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B,利用线面垂直的判定与

性质定理即可判断；对于D,利用线面平行的判定定理即可判断；对于C,利用反证法即可判断；法二：根

据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.

【详解】法一：对于A,在正三棱柱48C—44cl中，44],平面45。,

又4Du平面48C,贝则4^彳方=0,

因为V/BC是正三角形，。为中点，则则①.而=0

=A^A+AD+CD,

所以而.赤=（聋+赤+画）•而=有.赤+4?+函.而=而2w0,

第6页/共31页

则4c不成立，故A错误；

对于B,因为在正三棱柱NBC—44G中，44],平面ABC,

又BCu平面/BC,则Z4,8C,

因为V/8C是正三角形，。为8c中点，则ZD18C,

又幺4口/。=4四,/Qu平面力4。，

所以5C,平面故B正确；

对于D,因为在正三棱柱/BC—44G中，CCJ/AA,

又U平面440，。。1仁平面幺4。，所以CC"/平面幺4。，故D正确;

对于C,因为在正三棱柱ABC—44G中，A.BJ/AB,

假设2。〃4片，则4D//45,这与=z矛盾，

所以用不成立，故C错误；

故选：BD.

法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2,高为力，

则力（0,0,0）,/（8,0,0），4（60,〃）,。（0,-1,0）,。1（0,-1,A\B（0,1,0Ml（,1,/z）,

对于A,AD=（-V3,0,0），4C=,

则砺.4=（一百）x（—网+0=3w0,

则4c不成立，故A错误；

对于BD,5C=（0,-2,0）,CC；=（0,0,/z）,石=（0,0,/z）,AD=（—6,0,0）,

设平面NZQ的法向量为乃=（x,y,z）,

第7页/共31页

AA.-n=hz=0/、

则｛___,厂，得x=z=O,令y=l,则万=(0,1,。),

4D•万=-j3x=0

_____►UUULX

所以BC=(O,—2,0)=—2方,CG.〃=(),

则8CL平面44]。，。。"/平面44/）,故BD正确;

对于c,而=卜月,0,0）,福=（—G/,o卜

显然2。〃4与不成立，故C错误;

故选：BD.

3

10.设抛物线C:y2=6x的焦点为尸，过尸的直线交C于/、B,过尸且垂直于48的直线交/：X=—-于

2

E,过点/作准线/的垂线，垂足为。，则（）

A.\AD^AF\B.\AEy\AB\

C.MS|>6D.\AE\-\BE^

【答案】ACD

【解析】

3

【分析】对于A,先判断得直线/：x=—-为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B,利用

2

三角形相似证得N/EB=90。，进而得以判断；对于C,利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联

立直线48与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得

|^|2=|^F|-|^5|,=\BF\-\AB\,结合焦半径公式可判断D.

【详解】法一：对于A,对于抛物线C:/=6x,

则0=3,其准线方程为x=—焦点/||,o],

则|40|为抛物线上点到准线的距离，|4F|为抛物线上点到焦点的距离，

第8页/共31页

由抛物线的定义可知，\AD\^AF\,故A正确；

对于B,过点5作准线/的垂线，交于点尸，

由题意可知，/,EFLAB,则NADE=ZAFE=90°,

又|ZD|=|Z尸|AE|=|AE|,所以YADE虢AFE,

所以ZAED=ZAEF,同理NBEP=NBEF,

又ZAED+/AEF+ZBEP+ZBEF=180°,

所以ZAEF+ZBEF=90°，即ZAEB=90°,

显然45为AZBE的斜边，贝U|/£|<|48],故B错误；

对于C,易知直线48的斜率不为0,

设直线48的方程为x=+g,2（再,必）,8（%2，%），

[3

x=mv+—,

联立彳-2,得「―6掰7—9=0,

y=6x

易知A>0,则％+y2=6”仍=-9,

033

又X]=myx+—,x2=my2+—,

所以|AB|=X]+》2+）=加（必+%）+3+3=6掰2+626,

当且仅当加=0时取等号，故C正确；

对于D,在RtZ\48E与Rb/E尸中，NBAE=NEAF,

AE瞿，^\AE^\AF\.\AB\,

所以PAAABE〜,则——

AB

同理忸=忸下卜]48|,

第9页/共31页

X\AF\-\BF\=+1J[2+1]=（吵+3乂叼2+3）

222

=myry2+3加（必+）^）+9=-9m+18m+9=9（加？+1）,

\AB\—6m2+6=6（加2+1）,

222

所以|第2.忸£/二忸司.恒/H叫2=9（m+l）x36（m+l）,

]_3

则|第,|即=3"+1）八6"+1）=18"+呼218,故D正确.

故选：ACD.

法二：对于A,对于抛物线C:/=6x,

则0=3,其准线方程为x=—9，焦点/]|,o]，

则|40|为抛物线上点到准线的距离，|/刊为抛物线上点到焦点的距离,

由抛物线的定义可知，|40|=|/尸1，故A正确；

对于B,过点3作准线/的垂线，交于点P,

由题意可知ADLl,EFLAB,则ZADE=ZAFE=90°,

又|ADHN尸I，|AE|=|AEI,所以Y4DE@Y4FE,

所以NAED=ZAEF,同理NBEP=ZBEF,

又ZAED+ZAEF+ZBEP+ZBEF=180。，

所以ZAEF+ZBEF=90°，即ZAEB=90°,

显然48为A4BE的斜边，贝故B错误；

对于C,当直线48的斜率不存在时，|/理=20=6；

第10页/共31页

当直线45的斜率存在时，设直线48方程为y="x-g

尸不一]

/、9

联立,消去V,得产——(3左2+6卜+1左2=0,

,2=6x

69

易知A>0,贝X]+%2=3+必~,石工2=~

所以,同=左左2

J1+2|%1—%2|=J1+2X+x2)-4XJX2

2

=Jl+\2X3+-9=6>6，

综上，|48|26,故C正确;

对于D,在RtZ148E与RG/E尸中，NBAE=NEAF,

军一唱，即ME「=”H四，

所以RtA48£〜RS4E/，则

AB

同理忸=忸外|2同,

\AB\^6,|^|=|^|=||^5|=3

当直线48的斜率不存在时,;

所以|ZE「•忸£/=忸司.以外以8「=3x3x62,即以斗忸国=18；

当直线48的斜率存在时，以同=61+

西+|*

\AF\-\BF\=

93+屋9

——I—3+

424

2

所以|ZE0忸=\BF\-\AF\-\AB^=9\1+x36

13

2

则|‘斗忸£|=31+X6二18>18；

综上，［4£|♦忸£归18,故D正确.

第11页/共31页

故选：ACD.

11.已知V4SC的面积为,，若cos2/+cos25+2sinC=2,cos/cosBsinC=工，则()

44

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=6

c.sin^+sin5=—D.AC2+BC2=3

2

【答案】ABC

【解析】

JT

【分析】对cos2/+cos28+2sinC=2由二倍角公式先可推知A选项正确,方法一分情况比较Z+8和一

2

的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，

利用和差化积公式，回避讨论过程;，然后利用cosZcosBsinC=L算出43取值，最后利用三角形面积

4

求出三边长，即可判断每个选项.

【详解】cos2^+cos25+2sinC=2,由二倍角公式，l-2sin2^4+l-2sin25+2sinC=2，

整理可得，sinC=sin2A+sin2B»A选项正确；

由诱导公式，sin(4+5)=sin(7i-C)=sinC,

展开可得sin/cos5+sin5cos4=sin2^4+sin25，

即sin/(sinA-cosB)+sin5(sinB-cosZ)=0,

下证C=4.

2

方法一：分类讨论

7T

若/+5=—,贝1Jsin4=cosB,sin8=cos4可知等式成立；

2

JT7T

若/+5<—,即/<——B,由诱导公式和正弦函数的单调性可知，siny4<cos5,同理sinBvcos/,

22

又sin/>O,sinB>0,于是5m/(5吊4一(：058)+51118(5吊5-005/)<0,

7T

与条件不符，则4+5〈一不成立；

2

TT7T

若Z+5〉一，类似可推导出sinZ(sinZ—cos8)+sin8(sinB-cosZ)〉0,则/+8〉一不成立.

22

JTJT

综上讨论可知，A+B=-,即。=—.

22

方法二：边角转化

第12页/共31页

sinCusidZ+sidB时，由Ce(O,兀)，贝〕JsinCe(0,1],

于是1xsinC=sir?Z+sin282sin2c，

222

由正弦定理，a+b>c^

TT

由余弦定理可知，cosC>0,则。€(0,万可

若。€(0,女)，则2+8〉巴，注意到cosZcosBsinC=!，贝!Icos/cos5>0,

224

于是cosZ〉0,cos8〉0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是

717r71I71i

结合2+8〉一=/〉一一B,而4——3都是锐角，贝!]sinZ〉sin|——B=cos5>0,

22212)

于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和sinC<1相矛盾,

TTTT

故Ce(0,g)不成立，则

22

方法三：结合射影定理(方法一改进)

由sinC=sin2A+sin2B，结合正弦定理可得，c=asinZ+bsinB，由射影定理可得。=acosB+bcos/，

于是asinA+bsmB=acosB+bcosA,

jr

则。6吊2-(：058)+6缶E8-(：052)=0,可同方法一种讨论的角度，推出Z+3=—，

2

方法四：和差化积(方法一改进)

续法三：

tz(sinA-cosB)+6(sinB-cos^4)=0,可知sin/-cos8,sin8-cosZ同时为0或者异号，即

(sinA-cos5)(sinB-cos74)<0,展开可得，

sinAsinB-sinAcosA-cos5sin5+cosAcosB<0*

即cos(Z—8)—g(sin2Z+sin2B)<0,结合和差化积，cos(Z—5)(1—sin(4+5))<0,由上述分析，

则N—Be]—名3，则cos(N—8)20,则1—sin(Z+8)<0,即sinCNl,于是sinC=l,

可知C=巴.

2

1兀1

由cosZcosBsinC=—=cosZcosB,由Z+8=—,则cos8=sinZ,即sinZcosZ=—,

424

第13页/共31页

则sin2/=^,同理sin28=L,由上述推导，0,-,则2423e（0,7r）,

22k2j

TTSjT7TSjT

不妨设/<5,则2Z=2,28=H,即Z=2B=H,

661212

由两角和差的正弦公式可知sin土+sin2=避二史+固上2="，C选项正确

1212442

由两角和的正切公式可得，tan—=2+V3,

12

设5C=/,ZC=（2+G）/,则28=（挺+布），

由S“BC=L（2+G）/=1,则/=4—2」=［正』,则（=

aABC24422

\7

于是AB=函+6）t=也,B选项正确，由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D选项错误.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.若直线y=2x+5是曲线y=e'+x+a的切线，则。=.

【答案】4

【解析】

【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利

用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点(为,%)与。的方程组，解之即可得解.

【详解】法一：对于y=e'+x+a,其导数为了=e'+l,

因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2,

令y'=e'+l=2,即e，=l,解得x=0,

将x=0代入切线方程y=2x+5,可得歹=2x0+5=5,

所以切点坐标为(0,5),

第14页/共31页

因为切点(0,5)在曲线y=d+x+a上,

所以5=e°+0+a，即5=1+。，解得a=4.

故答案为：4.

法二；对于y=e*+x+a,其导数为y'=e'+l,

假设y=2》+5与^=e*+x+a的切点为(须),%)),

d。+1=2

则<NO=2XO+5,解得。=4.

x

Jo=e°+x0+a

故答案为：4.

13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为.

【答案】2

【解析】

【分析】法一:利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前〃项和的定

义，得到关于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前〃项和性质得到关于q的方程，解之即可

得解.

【详解】法一：设该等比数列为｛%｝,S"是其前〃项和，贝|S4=4,S8=68,

设｛%｝的公比为q(q>o),

当q=l时，54=4^=4,即q=1,则S8=8%=8W68,显然不成立，舍去；

,,,名(l-q,)a,(l-o8)

当qw1时，则s=』-----4,风=—---------=68，

\-q\-q

两式相除得上M=竺，即

1-/41-/

则1+/=17,所以q=2,

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

法二：设该等比数列为｛%｝,J是其前〃项和，则邑二与以=68,

设｛%｝的公比为q(q>0),

第15页/共31页

所以5*4=%+%+%+。4=4,

58=4]+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8

4444

=%+%+%+%+。狩+a2g+。3g+44g

=(%+/+%+%)(]+/)=68,

所以4(1+/)=68,则1+/=17,所以q=2,

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

法三：设该等比数列为｛%｝,s〃是其前〃项和，则54=4,1=68,

设｛%｝的公比为q(q>0),

因为Sg—5=%+%+%+W=(%+%+%+%)/=68_4=64,

又邑=%+%+%+%=4,

所以啖1=4=7=16,所以q=2,

4

所以该等比数列公比为2.

故答案为：2.

14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1〜5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球

的个数X,则数学期望E(X)=.

【答案】—##2.44

25

【解析】

【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列，

从而求得E(X)；法二，根据题意假设随机变量X,,利用对立事件与独立事件的概率公式求得£(X,),进

而利用数学期望的性质求得E(X).

【详解】法一：依题意，X的可能取值为1、2、3,

总的选取可能数为53=125，

其中X=l：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

第16页/共31页

故尸（x=i）=£='-,

12525

X=2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）,

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式,

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5x4x3=60种,

故P（X=2）=:V

X=3：三种不同球被取出,

由排列数可知事件X=3的可能情有况5x4x3=60种,

故”唱言

所以£（X）=lxP（X=l）+2xP（X=2）+3xP（X=3）

=ixA+2xll+3xll=fl

125252525

61

故答案为:

25,

法二：依题意，假设随机变量X,,其中/.=：!,2,3,4,5：

I,这3次选取中，球z•至少被取出一次

其中％=0,这3次选取中，球L次都没被取出‘人?"

由于球的对称性，易知所有£[x,]相等,

55

则由期望的线性性质，得

E[X]=E=YE[X,]=5E[Xi],

i=\

4

由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为

4

由于抽取独立，三次均未取出球力的概率为尸（乱=0）=卷

因此球，至少被取出一次的概率为：P（X,=1）=1-言=9

故司*

所以E[X]=5E国]=5x卷=||

故答案为：—.

25

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列

第17页/共31页

联表:

产波检查结果

正常不正常合计

组别

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为尸，求尸的估计值；

（2）根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

n(ad-be)。

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

p(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9

【答案】（1）—

10

（2）有关

【解析】

【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；

（2）根据独立性检验的基本思想,求出力2,然后与小概率值&=0.001对应的临界值10.828比较，即可判

断.

【小问1详解】

根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以。的估计值为效=2；

20010

【小问2详解】

零假设为H。：超声波检查结果与患病无关，

第18页/共31页

1000x(20x20-780x180/

根据表中数据可得，力2=765,625>10,828=“0.001

800x200x800x200

根据小概率值a=0.001的/2独立性检验，我们推断笈0不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关,

该推断犯错误的概率不超过0.001.

a

16.设数列｛4｝满足%=3,常%।1

n+1〃(〃+1)

(1)证明：｛〃4｝为等差数列；

m

(2)设/(x)=+出炉+L+amx,求/'(-2).

【答案】(1)证明见解析；

(2)/，(_2)=白(3%臼

【解析】

aa1

【分析】(1)根据题目所给条件‘n包+｝=—齐化简，即可证明结论；

(2)先求出｛4｝的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x,作差并利用等比数列前〃项和得出导

函数表达式，即可得出结论.

【小问1详解】

由题意证明如下，〃£N*，

在数列｛4｝中，%=3,=-77+->

IJnn+1+

(〃+1)%=nan+1,即(〃+1)--nan=1,

.••｛〃%｝是以外=3为首项，1为公差的等差数列.

【小问2详解】

由题意及(1)得，〃£N*,

在数列｛〃%,｝中，首项为3,公差为1,

2

=3+1x(〃-1),即%=1+—,

n

第19页/共31页

1m

在f(x)=axx+a^xH----Famx中,

2ffl

/(x)=3x+2x+---+|^l+—jx,/'(x)=3+4x+…+(加+2)%加-1

./'(x)=3+4x+—b(加+2)廿t

••xf\x^=3x+4x2+—b(加+2)x"'

当xwl且xwO时,

・•・(l-x)/,(x)=3+x+x2+---+xw-1-(m+2)xw=3+-(加+2)x加

1-x

3xl-xn,-1m+2)xm

/'(力=0+

(if1-x

七+-2[T-2)；(加+2)(0

•••/'(-2)=

1-(-2)

(-2巾-(-2/[(加+2)(_2『

1n------------------------------------------

93

12(0(加+2)(0

993

7(3阳+7)(—2)'"

99

17.如图所示的四棱锥尸—4BS中，尸/工平面Z8CD,BC//AD,AB1AD.

(1)证明：平面上45_1_平面尸4D；

(2)PA=AB=41,AD=1+y/3,BC=2,P,B,C,。在同一个球面上，设该球面的球心为O.

G)证明：O在平面48CD上；

(ii)求直线ZC与直线P。所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

第20页/共31页

(2)(i)证明见解析；

,V2

(ii)--.

3

【解析】

【分析】(1)通过证明,APLAD,得出48_1_平面尸40,即可证明面面垂直；

(2)(i)法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,民。,。在同一球面。上，在平面xZy中，

得出点0坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出10H=|。a=即可证明结论；

法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心求出尸。「求出出外心已到尸，

B,C,。的距离相等，得出外心已即为尸，B,C,。所在球的球心，即可证明结论；

(ii)法一：写出直线ZC和P。的方向向量，即可求出余弦值.

法二：求出zc的长，过点。作zc的平行线，交5。的延长线为G，连接/G，pg,利用勾股定理求

出ACX的长，进而得出PCA的长，在△尸0G中由余弦定理求出cosZP0Q,即可求出直线AC与直线P0

所成角的余弦值.

【小问1详解】

由题意证明如下，

在四棱锥尸中，尸/，平面48CD,AB1AD,

48u平面45cD,40€=平面45。。，

/.AP1AB,AP1AD,

平面「40,4Du平面P4D,APc4D=A,

IBJ_平面尸40,

,/ABu平面PAB,

平面平面尸40.

【小问2详解】

(i)由题意及(1)证明如下，

法一：

在四棱锥尸一48。£>中，AP1AB,AP1AD,AB1AD,BC//AD,

PA=AB=桓,AD=\+M，

建立空间直角坐标系如下图所示,

第21页/共31页

Z卜

凡△一一"

^（O,O,O）,5（V2,O,O）,C（^,2,O）,D（0,1+6,0），尸（0,0,间,

若尸，B,C,D在同一个球面上，

^\OP\=\OB\^\OC\=\OD\,

在平面xAy中，

.•.）（0,0）,B（60）,C（62）£»（0,1+6）,

线段CD中点坐标F,~~

A/3-I

直线CD的斜率：k="「■亚'

0-V2

,41V6+V2

直线CD的垂直平分线EF斜率：…一「2’

二直线EF的方程：了一，乎=y/~6+5/2V2

212J

即"逅建［x-正］+昱卜3

212）2

.A/6+y/2（团V3+3八

当y=l时，1=2%一2+2，斛得：xo—09

7

第22页/共31页

在立体几何中，0(0,1,0),

\OB\=^(0-V2)2+l2+02

\OC\=J(0-V2)2+(l-2)2+02

\OD\=^02+(1-1-A/3)2+02

解得：|0P|=|05]=|0C|=p£»|=JL

，点。在平面48c。上.

法二：

'：P,B,C,。在同一个球面上，

球心到四个点的距离相等

在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心,

作出和CD的垂直平分线，如下图所示，

由几何知识得，

OE=AB=V2,BE=CE=AO=GO=；BC=1,OD

XXXXAD-AO、=也

OQ-BOX-COX,

・••点a是△BCD的外心，

在RtANOP中，APLADAP=叵,

由勾股定理得，

第23页/共31页

p

...点即为点p，B,C,。所在球的球心O,

此时点O在线段4D上，4Du平面48CD，

...点O在平面45CD上.

就=("2,0)历=(0,1,-^),

设直线/C与直线PO所成角为凡

ACPO|0+2xl+0|V2

.cos0=________=II=V

"AC^P