2025初升高数学专项提升：等式性质与不等式性质（预备知识）解析版

专题06等式性质与不等式性质

1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.

2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小.

知识点一：不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“W“2”

连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.

自然语言大于小于大于或等小于或等至多至少不少于不多于

于于

符号语言><><<>><

知识点二：实数。力大小的比较

1、如果a—b是正数，那么a>/?；如果a—Z?等于0,那么a=b；如果a—Z?是负数，那么a<6,反过

来也对.

2、作差法比大小：①a-b>Qoa>b；@a-b-O^=>a=b；③a-bcOoacb

3、不等式性质

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

知识点三：不等式"+廿22他的探究

一般地，Va,beR,有片+/22M，当且仅当。=办时，等号成立.

知识点四：不等式的性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b<^b<ao（等价于）

传递性a>b,b>a>c=>（推出）

可加性a>b<^>a+c>b+co（等价于

a>b\注意C的符号（涉及分类讨

可乘性>=>ac>be

c>OJ论的思想）

a>b

>=ac<bc

c<OJ

a>b\

同向可加性=>

c>d]

a>b>Q\

同向同正可乘性>=ac>bd=>

c>d>Q\

可乘方性a〉b〉0na">b'\neN,n>2)a,6同为正数

5、区间的概念

5.1区间的概念

设a,b是实数，且。<6,满足aWxWb的实数大的全体，叫做闭区间，

记作［4句，即，la,b}={x\a<x<b}Q如图：fl,b叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若

区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示.

ii」1:I1

“bXabx“b飞abx

。WxWba<x<ba<x£ba^x<b

{x|aWxWb){r|a<x<b](r|a<x^.b]

(«.ft)(a,可(«•b)

闭区间开区间半开半闭区向半开半闭区间

集合{x\a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b}

区间\a,b\(a,b)（。,勿[a,b')

5.2含有无穷大的表示

全体实数也可用区间表示为（—8,+8）,符号“+cc”读作“正无穷大”，“一8”读作“负无穷大”，

即7?=（TO,+8）。

____L.1.___1

axaxaxax

X》axWax>ax<a

a}

|a.+ao)(-«»a](a.-Ho)(-<力.a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a}{x\x<a}

区间[a.+oo)(—GO,a](a,+oo)(-CO,a)

对点集训一：比较两个代数式的大小

角度1:由不等式性质比较数(式)的大小

典型例题

例题1.(24-25高一下•贵州遵义•阶段练习)已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是()

A.a+b>cB.ab>c2C.---->----D.ab>ac

a-ba-c

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小

【分析】利用赋值法可判断ABD;利用不等式性质可判断C.

【详解】-3>M>-5,但一3-4<一5,故A错误；

-3>-4>-5,但(-3)x(-4)<(-5)2,故B错误；

因为。>c,所以一匕〈一c,所以〈〃-c,又a〉b〉c,所以0<“一》一c,

所以工>,>0,故C正确；

a-ba-c

-3>-4>-5,但(―3)x(y)<(—3)x(—5),故D错误.

故选：C.

例题2.(24-25高一上•湖南益阳•期末)已知a">0,c>d>0,贝IJ()

A.a+d>b+cB.a-d>c-b

C.ac2>be2D.ad>be

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小

【分析】根据不等式的性质判断AC,举例说明判断BD.

【详解】A：若a=2,b=l,c=3,d=2,贝iJa+d=/?+c,故A错误；

B:举例a=2,/?=l,c=3,d=2,。一4>。一6不成立，故B错误；

C：由题意知,2>0,贝(lac?〉/?/,故C正确；

D：举例。=l.l,b=l,c=3,d=2,ad>be不成立,故D错误.

故选：C

精练

1.（24-25高一上•上海•期末）若a<b<0下列不等式中：①£<1;②同〉问；③4<!；©-<7,成立

bbaab

的有（）个

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】根据不等式的性质一一判断即可.

【详解】因为a<6<0,所以，>1,故①错误；

b

\a\>\b\>0,故②正确;

，>时>0,即/>》2>0,所以上>，，故③错误；

1111ba

因为a<与<0,所以故④错误；

ab

故选：A

2.（多选）（24-25高一上•新疆昌吉・期末）已知〃>3>0>c>d,下列说法正确的是（）

cd

A.aobcB.a3>b3C.a-c>b-dD.—>—

ab

【答案】BD

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法逐一判断即可.

【详解】对于a>6>0>c,所以ac<6c，故A$昔误；

因为/在R上单调递增，又a〉b,所以〃3>户，故B正确；

令a=4,6=3,c=-L〃=-9,此时a-c=51-d=12,此时a-c<b-d,故C错误;

因为。所以因为所以

>b>0,ab0>c>4,-d>-c>0,

所以?>Z£>O,所以£>g,故D正确.

baab

故选：BD.

3.（多选）（24-25高一上・山东临沂・期末）若〃>b>0,贝（I（）

八,-11八ba.bb+X

A.ac>bcB.—<—C.—<—D.—>

ababaa+1

【答案】BC

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小

【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项判断.

【详解】对于A,取c=0,贝!lac=O=bc,A错误；

对于B,由。>6>0,得,<?，B正确；

ab

ah

对于C,由〃>匕>0,得,c正确；

ba

ZTn缶1八3bb+1b-a<0则2<丝1,D错误.

a丁。,ru，何1—<U,

aa+1a(a+1)aa+l

故选：BC

角度2:利用作差法比较大小

典型例题

例题1.(2024高三・全国•专题练习)若。=(x+i)(x+3),b=2(x+2『，则下列结论正确的是()

A.a>bB.a<bC.a>bD.«,大小不确定

【答案】B

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】利用作差法分析判断即可

【详解】因为6—4=2(X+2)2-(X+1)(X+3)=2尤2+8%+8-任+4%+3)=%2+4%+5=(%+2)2+1>0,

所以a<b.

故选：B

例题2.(24-25高一上•海南海口•阶段练习)若x<y<。，设M=任+/卜”N=(V-严(工+,),则降

N的大小关系是.

【答案】M>N

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】利用作差法求解.

【详解】M-N=-2xy(x-y),

因为x<y<0,

所以-2孙<0,x-y<0,

所以M—N>0,即舷〉N,

故答案为:M>N

精练

1.(2025高三•全国•专题练习)已知P=°2+3a+3,。=。+1,贝必与0的大小关系为()

A.P<QB.p=QC.P>QD.P<Q

【答案】C

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】利用作差法判断即可.

【详解】因为尸-Q=a2+3a+3-(a+l)="+2a+2=(a+l)2+l>0,

所以P>Q.

故选：C

2.(24-25高一上•四川南充•阶段练习)设M=2a(a-2),N=(。+1)(”3),贝(]加，N的大小关系为()

A.M>NB.M<NC.M<ND.无法确定

【答案】A

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】作差并与0比较大小得解.

【详解】依题意，M-N=2a(a-2)-(a+lXa-3)=a2-2a+3=(a-r)2+2>0,

所以M>N.

故选：A

3.(24-25高一上,辽宁,期末)已知a,b均为正实数，若V="+/,N=+,贝IJ()

A.M<NB.M<NC.M>ND.M>N

【答案】D

【知识点】作差法比较代数式的大小

【分析】根据给定条件，作差比较大小.

【详解】由明。均为正实数，M=a3+b3,N=a2b+ab2,

M—N=a3+b3-a2b—ab~=6(a—b)—(a—b)=(a—b){cr—b2)

=(a-b)2(a+b)>0,当且仅当〃=/?时取等号，

所以M2N.

故选：D

角度3:利用作商法比较大小

典型例题

例题1.(多选)(23-24高三上•湖南长沙•阶段练习)对于实数。，b,下列选项正确的是()

A・若a〉b,则〃B.若贝

2

1]h+ch

C.若一>:，则a>0,b<0D.若a>b>0,C>O,则——>-

aba+ca

【答案】ABD

【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小

【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.

八辛旬1■但E"rnM,g、ia+ba-b八a+b,a-b

【详解】对选项A,因为a”，所以。-----=---->0,-----b=---->0n,

2222

所以字>6,故A正确；

2

焉=亨>1’所以",疝'

对选项B,a>b>Q,

因为华=3>1，所以而>>，即.>疝>"，故B正确；

对选项C,令a=2,b=3,满足工>1,不满足a>0,b<Q,故C错误；

ab

对选项D,因为〃>/?>(),<?>0,

所以-b-+--c---b二」a—(b+c]-b(―a+cL]=^c一(a-b(\>0,故D正确.

a+ca++

故选:ABD.

例题2.(2024高一•上海•专题练习)尸=/+。+1,。=3—,(aeR),则P,Q的大小关系为______

a-a+1

【答案】2

【知识点】作商法比较代数式的大小

【分析】用作商法比较RQ的大小关系，化简即可得结果.

【详解】因为尸=储+々+1=[々+；]+-1>0,〃2一〃+1=(〃一；］+1->0贝UQ>°

由二(Q2+Q+1)(〃2—Q+1)=(/+1|一4=Q'_|_/_|_J>I

所以尸2。

故答案为:>

精练

1.(23-24高一•江苏•假期作业)已知建1,试比较M■和N=二I的大小.

【答案】M<N

【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、作商法比较代数式的大小

【分析】方法1深用作商比较法，结合分母有理化即可求解方法2:先计算上=而1+&-=&+病万,

MN

从而可得_L>J_>0,进而可求解.

MN

【详解】（方法工）因为〃21,所以M=>o,N=万>o.

所以A/yjCl+1—y/u+y]Cl—1

N•y/^-Ja—iJa+i+yj~Q.

因为Ja+1+s/a>y/a+y/a—1>0,所以—<1即Af<N；

N9

（方法2）所以M=Ja+1—y/a>0,N=y[a—y/a—1>0,

V,——―/---T=—+1+yfu,———7=---/—{a—1.

M孤NGV^T

所以—>—>0,所以M<N.

MN

2.（23-24高一下•黑龙江鹤岗•期末）设。>万>0,比较占彩与巴二?的大小

a+ba+b

〃2—b?a-b

【答案】—------>------

〃+Z?a+b

【知识点】作商法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.

【详解】•・・a>b>0^>a-\-b>0,a-b>0,

a2-b1（a+b\（a-b\a-b八

.—;——7=-——~->0,------>0,

a+ba+ba+b

/+尸=（a+»=]2ab

'a-b~cr+b2~a-+b2，

a+b

〃2—/72ci—b

.-〉-----.

a+ba+b

3.（23-24高一上•河北石家庄•期中）（1）设a>b>0,比较与0二的大小；

a+ba+b

PP

（2）已知a>Z?>0,c<d<Q,e<0,求证：>-——-.

a-cb-d

【答案】（1）；匕）证明见解析

a+ba+b

【知识点】由不等式的性质证明不等式、作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小

【分析】（I）由题意得£4>0,@心>0,利用作商法即可得出答案；

a+ba+b

（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.

【详解】（1）,.,〃>/?>（）,a~b>0,^-^->0,

a+ba+b

.2ab)],a2-b2a-b

22222

a-ba+b~a+b'"a+ba+b'

a+b

⑵Qc<J<0,:.-c>-d>0,又a>b>0,

:.a-c>b-d>O,b-a<O,c-d<0,y^e<09

ee_e(b-d)-e(a~c)_e(Jb-d-a+c)_e(b-a+c-d)

a—cb—d(a-c)(b—d)(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)

ee

----->------.

a-cb-d

对点集训二：利用不等式的性质证明不等式

典型例题

例题1.(24-25高一上•海南省直辖县级单位•期中)已知a>b>l,d<c<-2.

(1)求证：(a—l)(b-l)(c+2)(4+2)>0;

(2)求证：ac+bd>bc+ad-

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小

【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；

(2)应用作差法比较大小，即可证.

【详解】⑴由”>匕>1,贝故(。―1)(6-1)>0,

由d<c<-2,贝lJc+2<0,d+2<0,故(c+2)(d+2)>0,

所以(。-l)(〃-l)(c+2)(d+2)>0,得证.

(2)ac+bd-bc-ad=c(a-b')+d(b-a)=(c-d')(a-b),]fjja—b>O,c—d>0,

所以ac+bd-"c-血=(c-")(a-b)>0,即在+切>历+血，得证.

例题2.(2024高三・全国•专题练习)已知实数“，b,。满足a+b+c=O.

(1)若a<b<0,求证：；

a—cb—c

(2)若a<0,b<Q,abc=l,求。的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)痣

【知识点】条件等式求最值、由不等式的性质证明不等式

【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；

(2)由条件得°=-。-6且。=乙，代入c3=c2.c,利用基本不等式求解.

【详解】(1)由〃且〃+b+c=O,得c>0,-a>-b>Q,

故。一。>(?一匕>0,所以。v」一所以RP—<T^~-

(2)由〃+/?+c=0且〃<0,b<0,abc=1,得c=-〃一/?,且。二二，

ab

2

er-Ki32/7\21+Z?+2abab_b_.

所以03=c^,c=(a+b\——=-----------=—+—+2>2/----+2=4,

ababba\ba

当且仅当f=即“=8时取等号，所以C的最小值为游.

ba

精练

1.(24-25高一上•河北石家庄•阶段练习)⑴比较Y+4V+1与2(x+2y—1)的大小；

(2)已知。>6>0,c<d<0,e<0,求证：,>'.

a-cb-a

【答案】⑴x2+4/+l>2(x+2y-l);(2)证明见解析.

【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式

【分析】(1)利用比较法，作差即可判断大小：

(2)结合不等式性质即可证明.

【详解】解：(1)x2+4y2+l-2(x+2y-l)=(x2-2x+l)+(4j2-4y+l)+l=(x-l)2+(2y-l)2+1>O,

+4y2+1>2(x+2y—1).

(2)证明：因为c<d<0,a>b>0,可得一c〉一d>0,a-c>b-d>0,

11cc

贝—>0,又e<0,可得£>占.

b-aa-ca-cb-a

2.(24-25高一上•甘肃兰州•期中)⑴比较(。+3)(。-5)与m+2)(a-4)的大小；

(2)已知a>6>0,c<0,求证：

ab

【答案】答案见解析

【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小

【分析】(1)利用作差法比较大小；

(2)根据〃>6>o,得到;>上〉0,再由。<0,根据不等式的性质可得从而得证.

baab

【详解】(1)因为(a+3)(a—5)—(a+2)(a-4)

=a?-2〃-15-(a?-2〃-8)=—7<0,

所以(a+3)(a-5)v(a+2)(a-4);

(2)因为。>b>0,所以?>工>0,

ba

又c<0,所以—〉不，得证.

ab

3.(2024高一上•全国•专题练习)已知6>a>0,c>d>0,求证工>上一

c+ad+b

【答案】证明见解析.

【知识点】由不等式的性质证明不等式

【分析】利用不等式的性质证明.

【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明.

因为6>a>0,所以!>g>0,

ab

又因为c>d>o,所以£>g>o,

ab

所以2b>a@>o,所以b2+ia>@+i>o+i,

acac

b+da+c

所以------>------>1,

d

所以工>二

c+ad+b

对点集训三：利用不等式的性质求取值范围

典型例题

例题1.(24-25高一上•广东河源•阶段练习)已知-l<x+y<4,2<x-y<3,

(1)求x的取值范围

(2)求3x+2y的取值范围

【答案】

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】(1)两不等式相加可求X的取值范围；

(2)利用待定系数法可得3x+2y=；(x+y)+；(x-y),再根据不等式的性质可求3x+2y的取值范围.

【详解】(1)\--l<x+y<4,2<x-y<3,

•♦两个不等式相加可得1<21<7

17

解得大<%<—.

22

（2）设3x+2y=加（x+y）+H（x—y）,

5

m=­

m+n=32

则

m—n=21

n=—

2

即3x+2y=；（尤+y）+g（尤-y）,

又・「一l<%+y<4,2<x-y<3,

55/、1/、3

——<—（x+y）<10,l<—（x-y）<—,

22V72V72

35zAlz、23

22V72V72

323

RP-—<3x+2y<-,

.•.3尤+2y的取值范围为（-

jr

例题2.（24-25高一上•全国•课后作业）如果30<%<42,16<y<24.分别求%+%%-2y及一的取值范围.

y

5r21

【答案】46vx+y<66;-18<%—2）<10;一<一<——

4y8

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】先利用不等式的性质分别求-2y,■的范围，再结合所求运用不等式的同向可加性，同向皆正可

乘性即得.

【详解】因3。<%<42/6<><24,故46Vx+y<66；

因T8<-2y<—32,故一18vx—2yvl0；

11130x215x21

又m因五<7<记，则mI五<丁千n即方丁丁

精练

1.（24-25高一上广东广州•阶段练习）⑴设为实数，比较与2“一2》-2的值的大小；

（2）已知l《a+6《4,-l<a-b<2,求4a-26的取值范围；

（3）已知正数。力满足2"=2a+A,求a+25的最小值.

9

【答案】（1）a2+b2>2a-2b-2；（2）[-2,10]；（3）-

2

【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式“1”的妙用求最值、利用不等式求值或取值范围、基本

不等式求和的最小值

【分析】（1）利用作差法判断即可;

（2）根据不等式的性质计算可得；

(3)依题意可得上1+；2=2,再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.

ab

【详解】(1)因为(2。—26-2)=(。—1)2+。+炉二。，当=时等号成立,

所以/+/224-26-2,当0=1力=-1时等号成立；

(2)因为4〃-2b=3(a-Z?)+(a+b),

又-l<a-b<2,所以-343(q-5)<6,

所以—2K3(a—b)+(a+b)<10,

所以4a-2be[-2,10];

I?

(3)因为正数〃力满足2〃》=2。+8，所以一+：=2,

ab

b-C71/〜、门2、1(2b2a\

所以a+2Z?=%(a+2Z?)-+-=-5+——+—

2\ab)2vabJ

$5+2庐当且仅当”==,即a=b=3时等号成立，

2|^\ab)2ab2

所以a+2/>的最小值为！0

2.(2025高三•全国•专题练习)已知-lVx+”2,-2<x-y<l,求x-2y的取值范围.

【答案】[T2]

【知识点】利用不等式求值或取值范围

13

【分析】计算出x-2y=-q(x+y)+：a-y),从而得到Y4x-2”2,得到答案.

[详解]l§.x-2y=m(x+y)+n(x-y),

x—2y=(m+n)x+(m—n)y,

1/片=--1

解得J,

[m—n=—23

n=—

I2

[3

故x_2y=_/(x+y)+5(x-y),

-l<x+y<2,-2<x-y<l,

,1/1c3/3

-1^-2(x+y、)-2,-3«Q(x_y、)W]，

13

■■--4<--(x+y)+-(x-y)<2,

gp-4<x-2y<2,

故尤-2y的取值范围为[T,2].

3.（24-25高一上•全国•课后作业）已知-1<%<4,2<y<3.

（1）求x-y的取值范围；

（2）求3x+2y的取值范围.

【答案】

（2）1<3X+2J<18

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】（1）由不等式的性质求解即可；

（2）由不等式的性质求解即可；

【详解】（1）因为一l<x<4,2<y<3,

所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.

（2）由2<y<3,得—3<3x<12,4<2y<6,

所以1<3尤+2y<18.

一、单选题

1.（24-25高一上•重庆•期中）已知P:x+y>2,到>1；q：%>1,>>1,贝也是。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.就不充分又不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质证明不等式

【分析】通过举特例及不等式性质可判断选项正误.

【详解】当x=L5,y=0.8时,x+y=2.3>2,xy=1.2>l,但y=°.8<l,

则由P不能得到。；当x>l,>>1时，x+y>2,xy>l,则由q可得到p,

故0是P的充分不必要条件.

故选：A

2.（24-25高一上•北京•期中）若a,b,C为非零实数，且a>c,b>c,则（）

112

A.a+b>cB.ab>c2C.a+b>2cD.—F—>—

abc

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假.

【详解】令a=b=-l,c=-2,贝！b>c,

因为此时。+匕二一2=c,故A不成立；

而=1<（-2）2=。2,故B不成立；

11o

+2<1=

~aTb=~-c~9故D不成立;

根据不等式的基本性质：，b>c=>a+b>2c,故C成立.

故选：C

3.（24-25高一上・江苏南通・阶段练习）若〃>人>0,则下列不等式一定成立的是（

bb+\2a+ba

A.—>----D.----->—

aa+\aba+2bb

【答案】C

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小

【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.

【详解】对A：若a=l,6=则有2=[b+l|+13,

2a2--==-

Q+11+14

hZ?+1

此时故A错误；

aa+1

对B:若〃=1,b=—,贝II有QH—=1+1=2,Z?+—=—F2=—,

2ab22

此时“+”+，,故B错误;

(Q_Z?)(Q+Z?)

对C:/7一+=(Q_〃)+

bab

由4>。>0,故〃一。>0,a+b>0,ab>0,故

hn

^a-->b——,故C正确；

ab

«_1_

——丁一乙9

对D:若〃=1,b=—,贝！|2a+b=___2=9b1，

2

a+2b~1+1~42

.2a+bai,_人,、口

此时——-<-,故D错1H误.

a+2bb

故选：C.

4.（24-25高一上•云南昭通・期中）下列命题为真命题的是（）

A.若贝ija<}B.若〃<人,贝!!.2<62

ab

hn

C.若a>0>0,则，D.若a>0>0,贝!|一〈:

ab

【答案】D

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小

【分析】对ABC举反例即可判断，对C和D利用作差法即可判断.

【详解】对A,举例a=l,b=T,满足!>。，但a>b,故A错误；

对B,举例a=T,b=l,满足a。，但"=从，故B错误；

对C,若"6>0,&-扬=:"?>。，即加，故C错误，

7a+7b

对D,2，=0+")3一”),因为a〉〃〉0,贝1_|。6>0/+。>0/_。<0,

abab

则2q<。，即

abab

故选：D.

5.(2025高三•全国・专题练习)已知0c<5,则元-2y的取值范围是(

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(2,7)D.(-2,7)

【答案】D

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】由不等式性质得到-2<-2y<2,-2<x-2y<7.

【详解】故-2<-2”2,

又0<%<5,所以-2<x-2y<7

故选：D

6.(24-25高一上•广东阳江•期末)已知1<。<2,0<。<3,则2a-6的取值范围为(

A.(1,2)B.(2,7)C.(-1,7)D.(-1,4)

【答案】D

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】由已知根据不等式的乘法性质求出2a,的范围，再同向相加即可得结论.

【详解】因为1<。<2,0<6<3,

用f以2v2av4,—3v—h<0,

所以一1<2。一

故选：D.

7.（24-25高一上•四川泸州,阶段练习）已知实数J》满足-44尤-l<4x-y<5,则6x-3y的

取值范围是（）

A.[-9,3]B.[-7,26]

C.[4,15]D.[1,15]

【答案】A

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】设6X-3尸皿x-y）+〃（4x-y）,求出力和〃，再根据不等式的性质求解即可.

【详解】设6x—3_y=—_y）+〃（4x—y）=（〃z+4/z）x—（〃z+〃）y,

,fm+4«=6（m=2./、/、

则<,,解得〈],所以6x-3y=2（x-y）+（4x-y）,

[m+n=31〃=1

因为-4Vx_y〈_l,所以-8M2（%_y）M_2,

X-l<4x-y<5,所以一9M2（x—y）+（4x—y）V3,gp-9<6x-3y<3,

所以6%-3丫的取值范围是[-9,3].

故选：A.

8.（24-25高一上•湖南郴州•期末）已知实数满足1<"3,-l<b<2,则2a-〃的取值范围是（）

A.（0,4）B.（3,4）C.（3,7）D.（0,7）

【答案】D

【知识点】利用不等式求值或取值范围

【分析】利用不等式性质得到2-2<2a-b<6+l,得到答案.

【详解】l<a<3n2<2a<6,又-1</?<2=-2<-6<1,

故2-2<2。-Z?<6+1,即0<2a-/?<7.

故选：D

二、多选题

9.（24-25高一上•广东广州•阶段练习）已知c<0<A<a,贝U（）

A.ac+b<bc+aB.b3+c2<a3+c2

【答案】ABD

【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是

否正确

【分析】利用不等式的性质和同向不等式可加性，可判断ABD,利用作差法可判断C,即可.

【详解】对于A:Qc<0<b<a

/.ac<bc,又b<a,由加法性质知ac+b<bc+Q,A正确，

XtTB:\*a>b>0,/.«3>Z?3,/.a3+c2>&3+c21B正确,

..Q+Ca_(a+c)b-a(b+c)_c(b-a)

“C.b+cbb(Jb+c)b(Jb+c)1

Qc〈O<b〈a,，。(%-〃)>0,但是。+。的正负号不确定，

.••炉与一大小关系不确定，c错误，

b+cb

,

对于D:：a>b>O1:.y/a>y/b>0,

••万>-7=,又c<O,，F<~j=,D正确，

7b7a7b7a

故选：ABD.

10.(24-25高一下・贵州毕节,阶段练习)下列命题正确的是()

A.a>b,c<d,贝Uq-ob-d

B.若"6<0,贝

ab

c.若a<b,c<d,则ac<M

D.若a<,<0,则/<而</

【答案】AB

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确

【分析】对于AB,根据不等式的基本性质分析判断，对于CD,举例判断即可.

【详解】对于A,因为c<d,所以-c>-d,因为。>匕，所以“+(-c)>b+(-d),即a—c>6—d,所以A正

确，

对于B,因为a<b<0,所以ab>0,所以:<与，所以所以B正确，

ababab

对于c,若。=1,6=2,。=-2,〃=-1,贝［J满足a</?,c<d,此时呢=切=-2,所以C错误，

对于D,若〃=-21=-1,贝嗨足”辰0,此时/>">/,所以D错