2025初升高数学专项提升：等式性质与不等式性质（预备知识）原卷版

专题06等式性质与不等式性质

1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.

2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小.

知识点一：不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“力“之”“W”

连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.

自然语言大于小于大于或等小于或等至多至少不少于不多于

于于

符号语言><><<>><

知识点二：实数6大小的比较

1、如果a—〃是正数，那么a>b；如果a—b等于0,那么a=b；如果a—〃是负数，那么a<b,反过

来也对.

2、作差法比大小：@a-b>0<^>a>b；②a-b=0oa=b；®a-b<0<^a<b

3、不等式性质

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

知识点三：不等式/+匕222ab的探究

一般地，\/a,b^R,有储+/7222a人，当且仅当a=b时，等号成立.

知识点四：不等式的性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b=b<aO（等价于）

传递性a>b,b>c=Q>cn（推出）

可加性a>b<^a+c>b+c=（等价于

a>b]注意C的符号（涉及分类讨

可乘性>=>ac>be

c>0j论的思想）

a>b

ac<be

c<OJ

a>b\

同向可加性a+c>b+dn

c>d\

同向同正可乘性>^ac>bdn

C>6?>OJ

可乘方性a>b>0na">bn(neN,n>2)a,6同为正数

5、区间的概念

5.1区间的概念

设〃是实数，且a<b,满足aWxWZ?的实数x的全体，叫做闭区间，

记作[区川，BP，[«,b]=[x\a<x<b}Q如图：a,。叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若

区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示.

I]_J___L-.I1

"bxabxtib飞abx

。WxWba<x<ba<x£baWx<b

{r|a<x<b}a<x^b\国

1«•句(«.b)(a，汕(«•b)

闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间

集合{x\a<x<b]{x|a<x<b]{x\a<x<b]{x\a<x<b]

区间[a,b](a,b)(a,b][a,6)

5.2含有无穷大的表示

全体实数也可用区间表示为(-8,+8),符号“+8”读作“正无穷大”，“口”读作“负无穷大”，即

R=(-CO,+8)。

1.

Xaxaxa

*2axWax>ax<a

{x|xWa]{rix>a}{A1AT<a}

|tf.+o>)(-«»tf](a.E))(y.a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a}{x\x<a}

区间[a,+co)(-00,a](a,+oo)(—oo,a)

/------[HHHK.

（对点集训J

对点集训一：比较两个代数式的大小

角度L由不等式性质比较数（式）的大小

典型例题

例题1.（24-25高一下•贵州遵义•阶段练习）已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是（）

A.a-\-b>cB.ab>c1C.------>-------D.ab>ac

a-ba-c

例题2.(24-25高一上,湖南益阳・期末)已知a>Z?>0,c>d>0,贝()

A.a+d>b+cB.a-d>c—b

C.ac2>be2D.ad>bc

精练

1.（24-25高一上•上海•期末）若。<6<0下列不等式中：①：<1;②同诽|:③^^与；@-<7,成

bbaab

立的有（）个

A.1B.2C.3D.4

2.（多选）（24-25高一上•新疆昌吉•期末）已知a>b>0>c>d,下列说法正确的是（）

cd

A.ac>bcB.a3>b3C.a—c>b—dD.—>—

ab

3.（多选）（24-25高一上•山东临沂・期末）若贝IJ（）

八-11ba.bb+1

A.ac>bcB.—<—C.—<—D,—>------

ababaa+1

角度2:利用作差法比较大小

典型例题

例题1.（2024高三・全国•专题练习）若a=（x+l）（x+3）,。=2（尤+2丫，则下列结论正确的是（）

A.a>bB.a<bC.a>bD.«,6大小不确定

例题2.（24-25高一上,海南海口•阶段练习）若x<y<0,设M=（/+力（了_丫）m=，一力口+田，则

M,N的大小关系是.

精练

1.（2025高三•全国•专题练习）已知尸="+3〃+3,Q=a+1,则尸与。的大小关系为（）

A.P<QB.八。C.P>QD.P<Q

2.（24-25高一上•四川南充•阶段练习）设M=2a（a-2）,N=（。+1）（。-3）,贝！1河，N的大小关系为（）

K.M>NB.M<NC.M<ND.无法确定

3.（24-25高一上•辽宁・期末）已知a,b均为正实数，若/=/+/,双=/"必2,则（）

K.M<NB.M<NC.M>ND.M>N

角度3：利用作商法比较大小

典型例题

例题1.（多选）（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）对于实数〃，b,c,下列选项正确的是（）

A*mia+bi

A.a>b,贝！!”〉>bB.若a>/?>0,则a>y[ab>b

2

.fb

C.若一>—贝!Ia〉0,b<0D・若a>b>0,c>0,贝（I----->—

ab9a+ca

例题2.（2024高一•上海•专题练习）P=/+a+l,Q=——,（aeR）,则P,。的大小关系为______

a-a+1

精练

1.（23-24高一,江苏•假期作业）已知让1,试比较M=GTT-，^[1N=&-&^T的大小.

2.（230高一下•黑龙江鹤岗•期末）设。>人。，比较累与卯的大小

3.（23-24高一上•河北石家庄•期中）（1）设。>6>0,比较与伫1的大小；

a2+b2a+b

（2）已知a>>>0,c<d<0,e<0求证:>—--.

9a-cb-d

对点集训二：利用不等式的性质证明不等式

典型例题

例题1.（24-25高一上•海南省直辖县级单位•期中）已知a>b>l,d<c<—2.

（1）求证：（。一1）（6-1）（。+2）（4+2）>。；

（2）求证:ac+bd>bc+ad.

例题2.（2024高三•全国•专题练习）已知实数。，6,c满足a+°+c=0.

（1）若a<b<0,求证：---<；

a-cb-c

⑵若〃<0,b<0,abc=1,求C的最小值.

精练

1.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）⑴比较小+4/+1与2（x+2y-l）的大小；

（2）已知匕>0,c<d<0,e<0,求证：---->----

a-cb-a

2.（24-25高一上・甘肃兰州•期中）⑴比较。+3）（〃-5）与（0+2）（0-4）的大小；

（2）已知。>6>0,c<0,求证：£>$.

ab

_「Z7

3.（2024高一上•全国•专题练习）已知b>a>0,c>d>0,求证---->----

c+ad+b

对点集训三：利用不等式的性质求取值范围

典型例题

例题1.（24-25高一上■广东河源■阶段练习）已知-l<x+y<4,2<x-y<3,

（1）求x的取值范围

⑵求3x+2y的取值范围

Y

例题2,（24-25高一上•全国•课后作业）如果30<%<42,16<y<24,分别求％+y,x-2y及一的取值范围.

y

精练

1.（24-25高一上•广东广州•阶段练习）⑴设。力为实数，比较与2a-26-2的值的大小；

（2）已知lWa+Z?W4,-l<a-b<2,求4。一2〃的取值范围；

（3）已知正数。涉满足2"=2a+b,求a+2Z>的最小值.

2.（2025高三•全国•专题练习）已知-14尤+”2,-2<x-y<l,求x-2y的取值范围.

3.（24-25高一上•全国•课后作业）已知一1<%<4,2<j<3.

（D求的取值范围；

（2）求3x+2），的取值范围.

/------[HHHK-

（基础通关J

一、单选题

1.（24-25高一上•重庆,期中）已知P:x+y>2,孙>1；4：*>1,y>l,贝！是。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.就不充分又不必要条件

2.（24-25高一上,北京•期中）若a,b,c为非零实数，且b>C,则（）

A.a+b>cB.ab>c2C.a+b>2c

abc

3.（24-25高一上•江苏南通•阶段练习）若a>6>0,则下列不等式一定成立的是（)

_bb+1>b,a-2a+ba

A.—>------B.a+->b+-C.a—>b—D--------->-

aa+1baba+2bb

4.（24-25高一上•云南昭通・期中）下列命题为真命题的是（）

A.若贝！|a<6B.若。<匕，贝（I/</

ab

D・若a>b>0,贝112Vq

C.若a>6>0,贝!lsfa<&1

ab

5.（2025高三•全国•专题练习）已知0<x<5,-l<y<l,贝！|x-2y的取值范围是（)

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(2,7)D.(-2,7)

6.（24-25高一上•广东阳江•期末）已知1<。<2,0<6<3,则2a-6的取值范围为（)

A.(1,2)B.(2,7)C.(-1,7)D.(-1,4)

7.（24-25高一上•四川泸州•阶段练习）已知实数x,y满足--l<4^-><5,贝!|6x-3y的

取值范围是（）

A.[-9,3]B.[-7,26]

C.[4,15]D.[1,15]

8.（24-25高一上•湖南郴州•期末）已知实数。力满足l<a<3,-l<b<2,则2a-6的取值范围是（）

A.(0,4)B.(3,4)C.(3,7)D.(0,7)

二、多选题

9.（24-25高一上•广