2025初升高数学专项提升：集合的概念（预备知识）解析版

专题01集合的概念

1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合,

发展数学抽象素养.

2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“e”“e”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表

示有关集合.

3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示

集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.

1,元素与集合的概念及表示

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母七仇c…表示.

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A,3,C…表示.

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.简记为“确定性”.

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为“互

异性”.

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

3.元素与集合的关系

(1)属于：如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作aeA.

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说“不属于集合A,记作aeA.

4.常用的数集及其记法

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

数学符合NN*或以ZQR

5.列举法

把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

6.描述法

⑴定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征尸(%)的元素%所组成的集合表示为

{xeA|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖

线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

对点集训

对点集训一：集合的基本概念

典型例题

例题1.(24-25高一上•广东清远•阶段练习)给出下列说法：

①所有接近于。的数构成一个集合；

②2019年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合；

③高科技产品构成一个集合；

④所有不大于3的自然数构成一个集合；

⑤1,0.5,；组成的集合含有4个元素.

2乙

其中正确的是()

A.①B.②③⑤C.③④⑤D.②④

【答案】D

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可.

【详解】对于①：接近于0的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；

对于②：2019年高考数学全国卷I中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确；

对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；

对于④：不大于3的自然数为0,1,2,3,能构成集合，故④正确；

对于⑤：因为;=0.5,不能构成一个集合，故⑤错误；

故选：D.

例题2.(24-25高一上•全国•课后作业)下列各组对象可以构成集合的是()

A.数学必修第一册课本中所有的难题B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数

【答案】B

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可.

【详解】对于选项A:“难题”的标准不确定，不能构成集合；

对于选项B:小于8的所有素数有2,3,5,7,能构成集合；

对于选项C:“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内

第一象限的一些点”不能构成集合；

对于选项D:没有明确的标准，所以不能构成集合.

故选：B.

精练

1.（24-25高一上•全国•课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（）

A.著名物理家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数

【答案】D

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合中元素的特性即可判断.

【详解】只有选项D有明确的标准,能构成一个集合.

故选：D.

2.（24-25高一上•重庆渝北•期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）

A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木

C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济较发达的地区

【答案】C

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】由集合的三要素：确定性,互异性，无序性作出判断

【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合；

B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合；

C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合；

D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合.

故选：C.

3.（24-25高一上,河南洛阳•阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（）.

A.最大的正实数B.最小的整数

c.平方等于1的实数D.最接近1的实数

【答案】C

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解.

【详解】对于A,无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误；

对于B,无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误；

对于C,平方等于1的实数为±1,可以构成集合，故C正确；

对于D,无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误；

故选：C.

对点集训二：判断元素与集合的关系

典型例题

例题1.（24-25高一上•安徽铜陵•期末）下列关系中正确的个数是（）

①OeN;②用eZ:③4R；④兀©Q

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用

【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案.

【详解】OeN,若走Z,R,兀eQ,①②③正确，④错误.

故选：C

例题2.（24-25高一上•湖南邵阳•期中）下列关系中正确的是（）

A.；eQB.5/21RC.0eN+D.716Z

【答案】A

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果.

【详解】易知J为有理数，可得:eQ,即A正确；

易知行iR,即B错误；

而0不是正整数，所以OeN+,即C错误；

显然兀不是整数，即TieZ,可得D错误；

故选：A

精练

1.（24-25高一上•甘肃•阶段练习）下列关系正确的是（）

A.0wN*B.|eZC.-忘eQD.-7.8GR

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用

【分析】根据选项中大写字母代表的数集，结合元素与集合的属于关系逐一判断即可.

【详解】四个选项中的大写字母分别代表正整数集、整数集、有理数集、实数集，

显然0不是正整数，!■不是整数，-血不是有理数，-7.8是实数，

故选：D

2.（24-25高一上广东清远•阶段练习）已知集合人={0,-1},则-1与集合A的关系为（）

A.-1cAB.-12AC.-leAD.-IgA

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】由元素与集合的关系即可直接判断

【详解】由已知可得，-1是集合&={0,-1}中的元素，根据元素与集合之间的关系，知-IwA.

故选：C.

3.（24-25高一上•天津南开•期中）给出下列关系：①卜2快N*;@OgZ©0eQ;@--eR^1.21eQ.

其中错误的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可.

【详解】对于命题①，|-2|=2eN*,所以命题①错误，

对于命题②，OeZ,所以命题②错误，

对于命题③，因为0是无理数，所以命题③错误，

对于命题④，因为-]eR,所以命题④正确，

对于命题⑤，因为1.21是无限循环小数，是有理数，即L21eQ,所以命题⑤正确，

故选：C.

对点集训三：利用集合中元素的互异性求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•吉林长春•阶段练习）已知3e{l,a,a+2},则实数。的值是（）

A.3B.1（：.3或1D.0

【答案】A

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数

【分析】由元素与集合的关系可得出。=3或。=1,然后再检查集合元素的互异性.

【详解】由题意得a=3或a+2=3=a=l,当a=3时，集合为{1,3,5},符合题意；

当a=l时，集合为{1,1,3},不符合题意，所以“=3.

故选：A

例题2.（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）若”+2e{l,3,/},a的值为.

【答案】2

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数

【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.

【详解】因为a+2e{l,3,4},

所以a+2=l或3或

当4+2=1时，a=-l,此时集合中元素有1,3,1,不满足集合中元素的互异性，舍去；

当a+2=3时，a=l,此时集合中元素为1,3,1,不满足集合中元素的互异性，舍去；

当a+2=/时，解得a=2或a=T（舍去），此时集合中元素为1,3,4,符合题意.

故答案为：2

精练

1.（2025高三・全国・专题练习）已知集合4={m+2,2>+根},若3€4,则加的值为（）

333

A.1B.一一C.1或——D・—1或一

222

【答案】B

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数

【分析】根据加+2=3或2相2+根=3,结合集合中元素满足互异性即可求解.

【详解】因为A={机+2,2加2+相},3£4,

所以加+2=3或2相之+根=3,

当机+2=3时，m=l,此时，m+2=2m2+m=3,故舍去：

当2命+帆=3时，解得加=-大或根=1（舍去），

2

综上加=—士3,

2

故选：B

2.（多选）（24-25高三上•江西新余•阶段练习）若集合A={/+2a,3a+2,8},则实数。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

【答案】BD

【知识点】利用集合元素的互异性求参数

【分析】根据集合中元素的互异性求解.

【详解】集合A={q2+2a,3a+2,8},贝I]/+2"8,3a+2w8,/+2aw3a+2,

解得。片-4,。片2,。片一1,可知BD符合题意，

故选：BD.

3.（24-25高一上•内蒙古兴安盟•阶段练习）设集合4={1,“,标一2},若2eA,则实数。=

【答案】-2

【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数

【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性即可求解.

【详解】A={l,a,a2-2},2wA,

若a=2,fj2—2=22—2=2,

此时A={1,2,2},不满足互异性，故。片2,

所以4-2=2,即4=4,解得。=-2或2（舍去），

当。=一2时，A={1,-2,2},

所以a=-2.

故答案为：-2.

对点集训四：用列举法表示集合

典型例题

例题1.（24-25高一上•江苏盐城•期末）已知集则用列举法表示A=（）

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

【答案】C

【知识点】列举法表示集合

【分析】由二eZ,结合xeN得x的值即可求解.

x-1

3

【详解】由得，x-l=±l,±3,即％=0,2,4,—2,

x-1

XXGN,x=0,2,4

故4={0,2,4}.

故选：C.

例题2.（24-25高一下•上海•开学考试）用列举法表示集合{x|-2Vx<2,xeN}=.

【答案】{。』,2}

【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用

【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可.

【详解】{x|-2<x<2,xeN}={0,l,2}.

故答案为：{0,1,2}

精练

1.（24-25高一上•云南玉溪•期末）已知集合4={尤15/+4工=0},则集合A=（）

A.{0}B.C.D.陷

【答案】C

【知识点】列举法表示集合

【分析】解一元二次方程，即可求出集合A.

【详解】由5/+4尤=0,解得占=0,%2=-1,故4=卜,-2.

故选：C.

2.（24-25高一上•陕西西安•期末）已知集合4={—3,—2,0,123,4},8={x|xe儿-x花力，贝IJ3=

A.{0,1,4}B.{1,4}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,4}

【答案】B

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合8中的元素特征可得出集合以

【详解】因为A={-3,—2,0J2,3,4},B={x\x&A,-x^A\,则3={1,4},

故选：B.

3.（24-25高一上•江西宜春•阶段练习）集合{xeN*|x-3<2}的另一种表示法是（）

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4}

C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合

【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案.

【详解】因为x-3<2,所以x<5,

又因为尤eN*,所以x=l,2,3,4,

所以{xeN*|%-3<2}={1,2,3,4},

故选：B.

对点集训五：用描述法表示集合

典型例题

例题1.(24-25高一上•全国•随堂练习)对集合［用描述法来表示，其中正确的是()

A.sx|x=—,ne>B.J%=一,〃£Z,且〃W51

〔〃J1〃J

C.=N+，且〃<5?D.|x|x=—eN+,MH<51

【答案】D

【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合

【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得.

【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合，

对于AB,集合AB中的x有负数，AB不是；

对于C,集合中没有g,C不是；

对于D,满足对集合共的描述，D是.

故选：D

例题2.(24-25高一上,全国•课后作业)用描述法表示下列集合：

(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；

(2)抛物线y=/一4上的点组成的集合；

(3)使函数y=a2有意义的实数x组成的集合.

X-1

【答案】(l){(x,y)|xeR,y=O}；

(2){(x,y)|y=x2-4}；

（3）{X|XN1}.

【知识点】描述法表示集合

【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可.

【详解】⑴由X轴上的点的特征为xeR,y=。，故集合为{（xy）|xeR,y=O};

（2）由点在抛物线上，故集合为{（x,y）ly=Y-4}；

2

（3）由y=-----，贝[|1wO=>xwl,故集合为{xlxwl}.

X-1

精练

1.（24-25高一上•青海西宁•阶段练习）不等式炉一9>0的解集是（）

A.{尤|一3<尤<3}B.{x|x<-3}

C.{尤|x>3}D.{尤|尤<一3或x>3}

【答案】D

【知识点】描述法表示集合

【分析】解不等式即可求解.

【详解】由炉-9>0,解得x<-3或x>3,

所以不等式炉_9>0的解集是{尤I尤<-3或x>3}.

故选：D.

2.（24-25高一上•福建泉州•期中）已知集合”={1,5,9,13,17},贝！|河=（）

A.{x[x=2〃+l,〃cN,〃<8}B.^X|X=2M—l,neN,n<9}

C.{尤|尤=4"+l,〃wN,"44}D.{x[x=4〃-3,〃eN,〃<5}

【答案】C

【知识点】描述法表示集合

【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可.

【详解】因为集合加={L5,9,13,17},

根据集合中5个元素的特点知x=l+4n,nGN,n<4.

所以W%=4〃+1,〃£N,〃W4},

故选：C.

3.（多选）（24-25高一下•河北保定•阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（）

A.奇数集可以表示为{xeZ|x=2左+l#eZ}

B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为尤<10}

c.{小>2}表示大于2的全体实数

D.不等式％2_1>0的解集表示为{小2_i>o}

【答案】ACD

【知识点】描述法表示集合

【分析】根据描述法的特点逐项分析即可.

【详解】对A,奇数集可以表示为{xeZ|x=2左+l#eZ},故A正确；

对B,“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x[x<10,xeZ},故B错误；

对C,{x|x>2}表示大于2的全体实数，故C正确；

对D,不等式彳2-1>0的解集表示为{小故D正确.

故选:ACD.

对点集训六：集合中的含参问题

角度1:已知集合相等求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•江苏南通•期末）已知集合/={1,2〃2+1}川={-1,/},且"=",则利=（）

A.-1B.1C.±1D.0

【答案】A

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可.

【详解】因为集合"={1,2祖+1},N={-1,加},且加=可，

f2m+1=—1

则<21»解得加=一1.

\m=\.

故选：A.

例题2.（24-25高一上■北京房山•期中）已知集合A={l,〃z+〃,根},2=jo,：，d,S.A=B,则

mn=.

【答案】-1

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可.

【详解】因为A=+=,显然加中0,

__Yl

贝!|m+〃=0,即〃7=-〃，可得一=T,

m

此时A={1,O,m}=,可得根=-1,〃=1,所以根〃=—l.

故答案为：-1.

精练

1.（多选）（23-24高一・全国•课后作业）已知集合{x|mx2-2x+l=0}={〃},则m+〃的值可能为（）

A.0B.1

2

C.1D.2

【答案】BD

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据{科只有1个元素对加进行分类讨论，结合判别式求得私〃，由此求得利+〃.

【详解】：集合伸储-2x+l=0}={〃},只有1个元素，

m=01”片。

."―1或＜△=4-4m=0,

、2[n=l

m=0r1

解得i或

n=—\n=l

I2i

「・m+n=—^m+n=2

2

故选：BD.

2.（23-24高二下,天津河西•期中）含有3个实数的集合可表示为“，，“，又可表示为{a?,。+仇。},则

02024+/?2024=-

【答案】1

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解.

【详解】因为有3个实数的集合可表示为卜1],又可表示为{/,a+6,0},

_b

所以—=0,即6=0,

a

贝II/=1,即a=1或q=—1,

当a=l时,集合为{LOJ,{LL0}与集合元素的互异性矛盾,

故〃=—1,b=0,

产+产=1

故答案为：1.

3（23-24高一下•北京•期末）已知集合4=产,丹、B={4x+21,4y+21}.若4=3,则x+y=

【答案】±4

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据4=3、集合的性质可得答案.

x2=4x+21;二或二，或x=7

【详解】由-21'解传

；：>j=_3'

尤=—3

当),=7时’A={949}、8={9,49},满足A=3,贝"+y=4；

Y——3

当-3时，八，』，构不成集合，舍去；

x=7

当『时，构不成集合，舍去；

%=7

当时，A={9,49}、8={9,49},满足4=3,贝ljx+y=4；

x2=4y+21「，或;或%=-5x=l

由y2=4尤+21'解何1，或

）二一37=1y=-5'

x=-3

当1时，X2=/=9,构不成集合，舍去；

x=7

当y=7时，x2=y2=49,构不成集合，舍去；

x=-5,

当E时'A={1,25}XB={1,25},满足A=B,则x+y=-4；

x=l

当-5时，A={1,25}XB={1,25},满足A=B,则x+y=-4,

综上，x+y=4,x+y=—4.

故答案为：±4.

角度2:已知集合元素个数求参数

典型例题

例题1.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）已知集合4={x|ax2+or+2=0}，若集合A为空集，则实数。

的取值范围是（）

A.{a|0<a<8}B.{a\0<a<8]

C.[a\a<0或a>8}D.{a|aWO或a>8}

【答案】B

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】通过讨论。=0和aw0即可求解

【详解】解:当a=0时，易知A=。，

=,

当awO时，若集合A为空集，则A-Q?—8Q<0z0<Q<8,

故选：B

例题2.（24-25高一上•上海•期中）若集合{邛V+4X+1H}只含有一个元素,则实数6的取值范围为

【答案】{0,4}

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】对6进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】当》=0时，{x|4x+l=0}=H，符合题意.

当6*0时,A=16-4寸=0,6=4.

综上所述，6的取值范围是{0,4}.

故答案为：{0,4}

例题3.（24-25高一上•北京•阶段练习）若集合A={x|辰2+4x+4=0}中有2个元素，则上的取值范围

是■

【答案】S。）（o,i）

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】根据条件，得到尸7…即可求解.

[二=16—16左>0

【详解】因为集合4=332+以+4=0}中有2个元素，

所以尸1A.解得上<1且…,所以人的取值范围是（f矶（。/），

故答案为：（F，。）（0,1）.

精练

1.（24-25高一下•云南红河•开学考试）若集合A={x|依2—2x+2=0}中只有一个元素，则。=（）

A.0B.1C.0或gD.0或1

【答案】C

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出

【详解】当。=0时，方程-2x+2=0只有一个解尤=1,集合A={1}只有一个元素，因此。=0,

当awO时，由集合A只有一个元素，得62一2犬+2=0有相等的两个实根，

A=4-8a=0,解得。=

所以a=0或a=1.

2

故选：C

2.（多选）（24-25高一上•江西赣州•阶段练习）若集合A={x［（"l）尤2+（左+2卜+3=0}有且只有一个元

素，则实数%的值可以为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】AD

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】根据题意可知，方程仕-1）必+（左+2）x+3=0的根只有一个，分当"-1=0和当％-1片0时，直接根

据方程只有一个根求解即可.

【详解】当1=0,即左=1时,A={-1},符合题意；

当k-1力0,即kwl时，若集合A只有一个元素，

由一元二次方程根的判别式△=（左+2）2-4X（"1）X3=0,解得后=4.

综上实数%的值可以为1,4.

故选:AD

3.（24-25高一上•全国•课后作业）已知集合4=卜产+工-。=0},其中“为实数，若集合A中仅含有一个

元素，求a的值.

【答案】

4

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】由题意可得》2+》一"=0有两个相等的实数根，可得A=l+4a=0,求解即可.

【详解】因为集合A中仅含有一个元素，

所以d+x-口=0有两个相等的实数根，

所以△=1+4〃=0,解得〃=—二，满足题意，贝11。=—二,

44

（基础通关

一、单选题

1.(24-25高一上•安徽铜陵•阶段练习)设集合A={1,2,4},集合3={x|x=a+b,aeAbeA},则集合B中

有()个元素

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】根据题意求出尤的取值，即可得解.

【详解】因为集合4={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a&A,b&A^,

所以x=2,3,4,5,6,8,

所以3={2,3,4,5,6,8},

即集合8中有6个元素.

故选：C.

2.(2025•宁夏银川•一模)已知集合4={0,1,2},则集合8={(苍切x<y,xeA,yeA}中元素的个数是()

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【知识点】列举法求集合中元素的个数

【分析】根据题意，采用列举法表示集合3即可求解.

【详解】由题，可得3={(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2)},

所以集合8含有6个元素.

故选：C.

3.(24-25高三上•贵州贵阳•期末)以下选项中，是集合A={(x,y)|2x+y-l=0}的元素的是()

A.{(-2,2)}B.(-2,2)C.{(1,-1)}D.(1,-1)

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】需要注意集合中的元素的形式，本题的A选项和C选项与集合的元素形式不同，可以直接排除，

再用代入法即可选出正确答案D.

【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点(数对)，

选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除；

再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知(-2,2)不在直线上，在直线上.

故选D.

4.(24-25高三上•陕西西安•期末)已知集合4={-3,1,2},3={1,2,3},。={尤|尤€人,乐已却，则。=()

A.{-3}B.{3}C.{1,2}D.{-3,1,2}

【答案】A

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】由集合的概念可得集合C中的元素.

【详解】由题意得xeA但X任3

©{-3}.

故选：A.

5.（24-25高一上•湖南长沙•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.我校很喜欢足球的同学能组成一个集合

B.联合国安理会常任理事国能组成一个集合

C.数l,O,5q,;g3组成的集合中有7个元素

D.由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为L2,3,4

【答案】B

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A,因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，

故A错误；

对于B,因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正

确；

对于C,因为存在：2=4所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；

对于D,由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为0,1,2,3,4,故D错误；

故选：B.

6.（24-25高一下•湖南娄底•阶段练习）集合A={xeZ|-6<4x-2<6},则下列表示正确的是（）

A.IGAB.0GA

C.IgAD.—leA

【答案】B

【知识点】判断元素与集合的关系

【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可

【详解】A={xeZ|-6<4%-2<6}={0,1},所以Oe^leA,

故A,C,D错误，B正确

故选：B.

7.（2025・河南・一模）已知集合4={%|3"—2W0},若且2eA,贝（I（）

〃12

A.—<。<—B.（7<0

33

122

C.—<〃<一D.4〉一

333

【答案】C

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.

【详解】由题可知IwA且2比4=[："一了?

[6。-2>0,

I7

解得:<a4二.

33

故选：C.

8.（24-25高一上・陕西•阶段练习）若-3€,一3,2。-1,片_1},则“的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数

【分析】由题意得。-3=-3,或为-1=-3,或标_1=_3,分别求解。，再由集合元素的互异性验证即可.

【详解】因为-3e{a-3,2a-La2-l},

所以a—3=—3>或2a-1=—3>或a?—]=-3,

当a-3=-3时，得。=0,此时集合为{-3,T-L},不合题意，舍去，

当2a—1=—3时，得。=一1,此时集合为{T-3,0},

当标-1=-3时，得片=-2无解，

综上，a——1.

故选：A

二、多选题

9.（24-25高一上•福建泉州•阶段练习）下面四个说法中正确的是（）

A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}

B.由2,3组成的集合可表示为{2,3}或{3,2}

C.方程./一毋+4=0的所有解组成的集合是{2,2}

D.。与{0}表示同一个集合

【答案】AB

【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合

【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可.

【详解】对于A,10以内的质数组成的集合是｛2,3,5,7｝,故A正确；

对于B,由集合中元素的无序性知｛2,3｝和｛3,2｝表示同一集合，故B正确；

对于C,方程/一4元+4=0的所有解组成的集合是｛2｝,故C错误；

对于D,｛0｝表示以。为元素的集合，故D错误.

故选：AB.

10.（24-25高一上•云南临沧•阶段练习）一次函数、=2》-3与＞=尤-2的图象的交点组成的集合是（）

A.｛1,-1｝B.｛（1,-1）｝

-I｝-tJ

【答案】BC

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合

【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案.

【详解】解方程组F=解得I"，，

故一次函数y=2%-3与＞=尤-2的图象的交点组成的集合是：

入）|二二或｛（1%

故选：BC

三、填空题

11,（24-25高三下•辽宁•阶段练习）已知集合〃=｛彳|/；=与9｝恰有一个元素，则左的取值集合为_

x-2x-2x

【答案】

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程,再利用根的情况列式计算得解.

［详解】方程*=化为：［5・2无

9

x-2x2-lx［x2+x-k=0

由已知集合只有一个元素，

①A=1+4k=0,解得k=一■-,

4

此时方程的解为X=符合题意；

②x=0是方程炉+无一左=0的一个根，此时％=0,方程三=手£即为'

此时方程的解为x=-l,符合题意；

③x=2是方程炉+无一左=0的一个根，此时左=6,方程三=-^即为展=立4，

此时方程的解为x=-3,符合题意；

所以"的取值集合为6，.

故答案为：

12.(24-25高一上•山东荷泽•期中)已知集合4={*|,伞-1)。+1)=0},贝IJA=

【答案】{-1,0,1}

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可.

【详解】因为了。-1)(工+1)=0=*=0或工=—1或》=1,所以A={-I,o,l}.

故答案为：{-1,0,1)

四、解答题

13.(24-25高一上•全国•课后作业)选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.

(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A;

(2)小于8的质数组成的集合C;

(3)方程2/一>3=0的实数根组成的集合。；

(4)函数y=-2x2+.r图象上的所有点组成的集合E;

(5)不等式2x-3<5的解组成的集合F.

【答案】(l)A={x|l<x<70,xeZ),是有限集

(2)C={2,3,5,7),是有限集

⑶=是有限集

(4)E={a，y)|y=-2Y+x},是无限集

(5)F={X|X<4},是无限集

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、集合的分类

【分析】(1)(2)(3)(4)(5)根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限.

【详解】(1)由大于1且小于70的正整数，贝IJl<x<70,xeZ,故4={工|1<工<70"©2},是有限集；

（2）因为小于8的质数有2,3,5,7,所以C={2,3,5,7},是有限集.

（3）方程2/_尤一3=0的实数根为-1、1,所以。=—1,曰，是有限集.

（4）由>=-2/+彳表示坐标系中的曲线，故后={（》,刈丫=-2》2+x},是无限集.

（5）由2x—3v5,得x<4,所以尸={%1%<4},是无限集.

14.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）已知集合A={a-2,2々2+5上12},且-3EA,求〃的值.

【答案】-|

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】分两种情况讨论，结合集合元素间的互异性即可求解.

【详解】由于—3eA,故。-2=-3或2/+5“=-3,

3

解得。=一1或。=-不

2

当〃=-1时，A={-3,-3,12},不符合集合中元素的互异性，舍去；

当a=_g时，A=/-1,-3,121,满足题意.

1.（24-25高一下•河北保定•阶段练习）已知集合A=卜产+2024》+2025=0},

B=卜卜?+ox）（%2+4〃x+4）=o},记非空集合S中元素的个数为|S|,已知IIAI-18||=1,记实数a的所有

可能取值构成集合是7,则|T|=（）

A.5B.3C.2D.1

【答案】A

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】先得出网=2,再分类讨论冏=1或恸=3,因OeB,若网=1,则3={0};若向=3,则问题转

化为讨论方程f+4以+4=0的根个数，分两种情况，A=0,但根异于0,-“，或△>（）,但一根为一。即可

求出.

【详解】对于X2+2024X+2025=0,WA=20242-4x2025>0,所以同=2；

因为l|AHB||=l,则恸=1或恸=3,

而％=0是方程（犬+词（/+4改+4）=0的根，

当忸|=1时，故5=｛0｝,而尤=0不是方程炉+4以+4=0的根，

故％=0是方程d+双=o的唯一根，则〃=0,

经检验，当〃=0时满足恸=1；

当忸1=3时，则方程x（x+G（%2+46+4）=。有三个不同根，

贝II当d+46a+4=0满足A=16/-16=0,即〃=±1,

当.=1,贝|5=｛0,—1,—2｝满足；当〃=—1,则3=｛0,1,2｝满足；

当炉+4依+4=0满足△=164—16>0,即〃2>i,

必有一。为方程％2+4or+4=0的根，即〃2一4片+4=0,得〃=±3@,

3

当.=孚时，则B=百,-2石1满足；

当〃=一子，则3=］。，|石，26］满足；

则T=｝，-1,1,一孚，孚］,故n=5.

故选：A.

2.（2025高三•全国•专题练习）有理数都能表示成竺（m,〃eZ,且〃#0,优与〃互质）的形式，进而

n

有理数集、=｛依旧/eZ,且〃片0,加与〃互质｝.任何有理数‘都可以化为有限小数或无限循环小数，反

nn

之，任一有限小数也可以化为画的形式，从而是有理数.则下列正确的是.

n