2024-2025学年重庆市忠县九年级（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年重庆市忠县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一元二次方程一5«+2/-3=0的二次项系数是（）

A.-5B.-3C.3D.5

2.如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称又是中心对称的图形是（）

NCHS

3.用配方法解一元二次方程2/+82-3=0，下列配方正确的是（）

A.（7+4）2=11B.（2一4）2=11C.2（/+2）2=11D.2（,—2）2=11

4.下列事件为不可能事件的是（）

A.国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中B.在忠县万达购物广场买彩票中奖

C.48名同学中有两个同学的生日在同一月D.三角形的内角和是360°

5.将抛物线“=/+3的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）

A.g=（2一3）2+5B.g=（2+3）2—1C.y—[x—2）2D.g=（2+2）2

6.若关于x的方程/+（2逐立—2）工+c=0有两个相等的实数根，则实数c应该在（）

A.—1和0之间B.0和1之间C.1和2之间D.2和3之间

7.如图，设。。的直径A8垂直于弦CD,如果/CAB=30°，CD

的长是（）

A.4

B.2

C.圾

D.I

8.如图，点/的坐标为（4,3），第一次:将点/绕原点。逆时针旋转90°得到Ai；

第二次:作点出关于x轴的对称点A2；第三次:将点4绕点。逆时针旋转90°

得到a3；第四次：作点A?关于x轴的对称点人4,然后按这四次规律重复，

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则点人2025的坐标是（）

A.(4,3)B.(4,-3)C.(—3,—4)D.(-3,4)

9.如图，已知点/的坐标为（一4,5）,CL4=48,点8在y轴的正半轴上，边长为2，目

的正方形。CDE绕点O旋转，当。、B、E三点共线时，4。=（）

A.\/5

B.西或2西

C.2述或演

D.西或每

10.有两个函数，对于任意的自变量X,记这两个函数对应的函数值为防，92,若点（①,见）与点（/,"2）关于

点（伤乃对称，则称这两个函数为关于沙=力的对称函数，例如，91=7+1和92=/-1为关于9=2的对

称函数.对于以下命题：①若a为常数，则阴=/+a和於=/一a为关于沙=立的对称函数；②若函数

阴=2x+1和函数42=而+6（b¥0）为关于沙=立的对称函数，则k=0，b=-1-③若两个一次函数为

关于9=立的对称函数，则两一次函数图象关于直线沙=/对称；④如果=a/+般+。（（1壬0）和

统=/+馆为关于。=立的对称函数，且对于任意实数x,都有讥＜或，那么实数机的取值范围篇〉；.其

中，正确的个数是（）

A.IB.2C.3D.4

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

11.二次函数沙=一2«+4，+3图象与夕轴的交点坐标为.

12.抛物线沙=一/_4c+6的对称轴是直线.

13.在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸

出一个球，记下球的颜色后又把它放回.不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在0.4左右.则据

此估计盒子中白球个数为.

14.如图，在矩形48co中，AB=3,BC=2,将△48。绕点/按逆时针方向旋转FE

到△4EF并使点。在NE边上时，连接C£,则CE=.\D^—^iC

---'B

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15.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,BE平分N4B。，且交/C于点E,

点、。是4B边上的点，以为弦的。。交AB于点D,若=30°，BO=4,

则阴影部分的面积是.

Iy+\<y—2

16.若关于x的一元二次方程(加—2)/—4/+1=0有实数根，且关于y的不等式组(:3的

I-刹-加)>0

解集为94-7,则满足条件的所有整数m的和为.

17.忠州街道某小区全力推进城市水环境治理，通过建设雨水、污水独立的.C

管网及其附属设施，改善城市水环境、水生态.如图是“忠城”施工程队在E一一一一

施工工地上利用互相垂直的两面墙AC,其余用栅栏围成一个矩形作

业区4DFE,包括中间也用栅栏分割成四个小矩形，已知栅栏总长160米，/一—一一四•B

墙的长为80米，墙NC的长为50米.设=米，矩形作业区/DFE的面积为y平方米，则将y表示

为x的函数的解析式为,其中x的取值范围是.

18.如果一个四位自然数的各位上的数字互不相等且都不为0,并满足千位数字与个位数字之和为9,百位

数字与十位数字之和也为9,那么称这个四位数为“和久数”.例如：对于3276,因为3+6=2+7=9,

所以3276为“和久数”.请写出最小的“和久数”是.已知N是千位数字是2a,百位数字是26+c,

十位数字是d(其中l<a<5,14陵7,l〈2c+d(7,且a,b,c,d均为整数)的“和久数”，记N

的千位数字与十位数字的乘积为F(N),百位数字与个位数字的乘积为K(N).若P(N)-K(N)+9(c+4)

是一个自然数的平方，则满足此条件的最大“和久数”N为.

三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)

解下列方程：

(1)3(®+1)—x(x+1)=0；

⑵2/-4rc=3.

20.(本小题10分)

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点4(—2,4),。(0,3),根据要求作图，标上字母，并回

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答问题.

(1)作△ARC关于点。(0,1)成中心对称的△小BCi；

⑵作△43G向右平移2个单位后的△42显。2；

(3)当P4+PG的值最小时，在x轴上作一点P，并直接写出其最小值.

21.(本小题10分)

在“奔跑吧•少年”第四届川渝青少年科学健身普及知识竞赛中，每个参赛者独立完成50道答题.现随机抽

取了若干名参赛者竞赛答题情况进行统计分析，发现所有参赛者答题正确的道数都在22道及以上，设x表

示答题正确的道数，并分成四组统计，然后根据部分统计绘制了如图所示的频数分布直方图，已知第二组

29《2<36时频率为0.25,解答：

(1)随机抽取了多少人进行统计？并在答题卡上补全第三组36<2<43时频数分布直方图；

(2)若川渝两地共有2200名参赛者参加此次知识竞赛，估计参赛者中答题正确的道数不低于36道的参赛者

人数？

(3)若某校九年级一班的4,B,C,D四名同学参赛并全部答对，其中4和3是女生，。和。是男生，若要

从4名全部答对同学中随机抽取2名同学接受健康报记者采访，请用画树状图或列表的方法求恰好抽到两

名女生的概率.

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22.(本小题10分)

如图，设抛物线y=ax2-2①与直线y=kx+2交于点4(2,0)和点B.

(1)求a和左的值；

(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式a/_2x>kx+2的解集；

(3)点P是抛物线上的一个动点，当△P04的面积为10时，求点尸的坐标.

23.(本小题10分)

我县某楼盘准备以每平方米5000元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产

开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米4050元的均价开盘销售.

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)刘女士准备购买一套120平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案.方案一：每平方米在

开盘价基础上先降价10。元，再打。折销售，总房款还少6000元；方案二：不打折，一次性每平方米送536

元装修费.当两种优惠方案一样时，求a的值.

24.(本小题10分)

如图，在△48。中，48=3。=6,=120°，动点尸从/点出发，以2个单位/秒沿折线AB―BC

方向运动，运动到点C停止.设运动时间为f,于点£,设以尸£为边长的正方形的面积为必

(1)求y关于1的函数解析式，并注明自变量I的取值范围；

(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，如果沙=6与该函数图象有两个不同的交点，请写出b的取值范围.

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25.(本小题10分)

如图，已知抛物线沙=a/—2c+c与x轴相交于/(一1,0),8(3,0)两点，与y轴相交于点C,设点尸在抛

物线上.

(1)求已知抛物线的解析式；

(2)如图1,当点尸位于第四象限时，若△3CP面积的最大，求点尸坐标；

⑶如图2,过点尸作直线9=-2/+m与抛物线还交于另一点0,直线AP,80分别交y轴于点D,E,

设点尸在〉轴的左侧.证明：点。为线段DE的中点.

26.(本小题10分)

如图，在△48。中，已知48=4。，点。在边上，连接AD

(1)如图1,若AB=3，4D=2，AADC=60°-求线段AD的长度；

⑵如图2,若AD=DE,ABAC=AADE,证明：AC//BE；

(3)如图3,若NBA。=120°，E为△48。内一点，且满足AErDE，AE^V3DE＞连接BE并延长交

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NC于点凡将△AOB绕点。逆时针旋转120°至AG。〃位置，连接8G,证明：BG2=16DE2-CD2.

图1图2的

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：一元二次方程一5/+22—3=0的二次项系数是一5.

故选：A.

根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数.

此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成

如下形式+瓶+c=O(arO).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中a/叫做二次项，a叫做二次项

系数；区叫做一次项；c叫做常数项.

2.【答案】C

【解析】解：元素符号〃既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项。符合题意；

元素符号N、C、S都不是轴对称图形，故选项/、B、。都不符合题意.

故选：C.

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称

图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即

可判断.

本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形定义.

3.【答案】C

【解析】解：2/+8c-3=0，

3

x92+4x--=0>

3

x2+41x=-,

a72+4rc+4=|+4,

(a?+2)2=y,

即23+2)2=11,

故选：C.

利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键.

4.【答案】D

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【解析】解：/、国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中，是随机事件，故/不符合题意；

2、在忠县万达购物广场买彩票中奖，是随机事件，故2不符合题意；

C、48名同学中有两个同学的生日在同一月，是必然事件，故C不符合题意；

D、三角形的内角和是360°，是不可能事件，故。符合题意；

故选：D.

根据随机事件，不可能事件，必然事件的特点，逐一判断即可解答.

本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：将抛物线沙=«+3的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析

式是V=（2一2）2+3—3，即沙=（2—2）4

故选：C.

根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式即可.

本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规

律求函数解析式.

6.【答案】B

【解析】解：・二小+仅孤/一2）立+c=0，

（2通+1）/—2c+c=0,

,关于x的方程/+（2通2-2）刀+c=0有两个相等的实数根，

.•.△=俨_4加=（—2）2—4x（2v/3+l）-c=0,

1<73<2>

.•.0在0和1之间，

故选：B.

若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=匕2一4加=0,建立关于c的方程，求出c的值即

可.

本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程a/+bx+c=0（a#0）的根与△=肥—4ac有如下关系：

（1）A>0O方程有两个不相等的实数根；（2）A=00方程有两个相等的实数根；（3）4<0O方程没有实

数根是解题的关键.

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7.【答案】A

【解析】解：连接BC,设48与CD相交于点E,

•.•直径46,弦CD,

,-.CE=DE=^CD=V3,/AEC=90。,

ACAB=3Q°，

AC=2AE=2\/3'

•.•AB是。。的直径，

.•.ZACB=90%

AC273.

AB=---------==4

cos30°①

~T

故选：A.

连接3C,设48与CD相交于点E,根据垂径定理可得：CE=DE=M，ZAEC=90°＞再在RtZSACE

中，利用含30度角的直角三角形的性质可得4。=2通，然后根据直径所对的圆周角是直角可得

A4cB=90°，再在RtZVICB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：过点N作x轴的垂线，垂足为过点41作x轴的垂线，垂足为N,

,点/坐标为(4,3),

：,AM^3,OM=4.

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由旋转可知，

A4O4=90°,OA=OAx，

又•「ANLc轴，AM±x^,

：,AA1NO=^AMO=90°,

:.NAiON+AAOM=ZA+ZAOM=90°,

ZAiON=ZA.

在△4ON和△O/M中，

ZArNO=ZAMO

AArON=ZA,

{OA=OAi

：./\AxON^/\OAM{AAS),

.-.NO=AM^3,AiN=OM=4,

点41的坐标为(—3,4).

•:点42和点Ai关于x轴对称，

:.点、42的坐标为(—3,—4).

依次类推，

点心的坐标为(4,一3),

点44的坐标为(4,3),

点斗5的坐标为(—3,4),

•••，

所以从点4开始，所得点的坐标按(一3,4),(-3,-4),(4,-3),(4,3)循环，

因为2025+4=506余1,

所以点4025的坐标是(一3,4).

故选：D.

根据所给变换方式，依次求出点Ai，A2,A3,…，的坐标，发现规律即可解决问题.

本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律及关于x轴、y轴对称点的坐标，能根据题意得出

从点41开始，所得点的坐标按(—3,4),(—3,—4),(4,-3),(4,3)循环是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：根据题意，分两种情况：

①当点。在BE上时，如图，过N作4PL/轴于尸，过。作。HLr轴于兄过£作EFLr轴于尸，

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4

H|0F力

•「A的坐标为(—4,5),OA=AB,

：,BP=0P=5,则。8=10，

.•.8(0,10),

设。(a/),则直线OC的函数表达式为v=

a

•.•四边形OCDE是边长为2述的正方形，。。=0后=2述，OC/IDE,ACOE90°，

：,ACOH+/EOF=AEOF+NOEF=90°,

:"COH=NOEF，

又,：NCHO=NOFE=90°，

.-.ACHO^AOFE(AAS),

OF=CH=b，EF=OH=—a,

E(b,-a),

-：OC//DE,

设直线BE的函数表达式为y^-x+t,

a

将E(b,—Q)代入，得—0=)+力,

a

7)2

解得力=—Q—t,

a

bh2

■直线BE的函数表达式为g=%;—a—幺，

aa

由题意，点3在直线BE1上，则(^+川二―10a，

,•_OC2=a2+&2=(2\/5)2-20«

a=-2,b=4(负值己舍去)，

，C(-2,4),

AC=2+4)2+(4—5)2=后

②当点£在8。上时，如图，

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kkA2

设C(a,b)，同理可求得直线OC的函数表达式为沙=与，E(6,—a),直线BE的函数表达式为y=lx_a--,

aaa

由题意，点5在直线5E上，

存

—a----=10,贝!J晶+/=-10a，

a

O。？=Q?+廿=(2A/5)2—20,

.•”=—2,b=-4(正值已舍去)，

・•・。(-2,-4),

AC='(-2+4)2+(-4-5)2=\/85^；

综上，AC=\/5或A/85，

故选：D.

当点。在上时，过4作4PL/轴于尸，过。作。轴于过E作EF1/轴于R先求得点5坐标，

设。(a,b),则直线OC的表达式为？/=°c,证明△CH。咨△0BE(44S)得到点£坐标，进而利用待定系

a

hh2

数法求得直线的函数表达式为夕=-x-a—1由点8坐标和勾股定理求得a=—2,6=4(负值已舍去),

aa

则。(-2,4),再利用两点坐标距离公式求解即可；当点£在8。上时，同理可求解.

本题考查等腰三角形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、正

方形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，利用数形结合、分类讨论及函数思想是解答的关键.

10.【答案】C

99

【解析】解：①+才-

/.yi=x2+a和y2=x2—。不关于?/=।对称，

故①不正确，不符合题题意；

②...函数勿=2/+1和函数y2=kx+b(屏0)为关于y="的对称函数，

阴+"22x+l+kx+b(2+k)x+(b+1)

/.------=---------------=-----------------=力，

222

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/.(2+k]x+(6+1)=2x,

.(2+k=2

b+l=O'

解得{Ei，

故②正确，符合题意；

③•.•两个一，次函数关于u=/的对称函数，

这两个一次函数图象一定关于直线y=力对称；

故③正确，符合题意；

2

yi=ax+bx+c(a^O)和y2=+m为关于沙=工的对称函数，

yi+“2ax2+bx+c+x2+m(a+l)z2+ba;+(c+m)

,------=---------------------=-----------------------=X>

,,222

(a+1)/+bx+{c+m)=2x

a+1=0

「.<b=2,

c=­m

(a=-l

/.xb=2,

[c=­m

yi=—x2-\-2x—m,y2=x2-\-m,

・・・对于任意实数》,都有阴<改，

/.—x2+2x—m<x2+即/一力+机〉。,A<0，

(―l)2—4m<0,

解得m

4

故④正确，符合题意；

综上所述，②③④正确，

故选：C.

由题意可知”期=%根据这一规律逐一判断即可求解.

此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，对称的性质，恒等式的性质，平移的性质，根据定义列出式

子进行计算是解本题的关键.

11.【答案】(0,3)

【解析】解：当/=0时，9=3.

二二次函数沙=—2/+4,+3图象与了轴的交点坐标为(0,3).

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故答案为：（0,3）.

根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键.

12.【答案】/=一2

【解析】解：y=—x2—4/+6=—（X+2）2+10,

.•.对称轴是直线，=—2.

故答案为：x=-2.

把抛物线的解析式化成顶点式，直接得到抛物线的对称轴.

本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键.

13.【答案】12

【解析】解：设白球有x个，

8

根据题意得：^—=04,

8+立

解得：x—12>

经检验：,=12是分式方程的解，

所以估计盒子中白球个数为12.

故答案为：12.

利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为0.4,然后根据概率公式构建方程求解即可.

本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的

幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这

个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确.

14.【答案】，记

【解析】解：在矩形48co中，48=3，BC=2,

,-,AB=CD=3,BC=AD=2,AADC=ACDE=90°.

•.•将△力BC绕点A按逆时针方向旋转到ZVIEF并使点。在/E边上，

,,,AE=AB=3，

DE=AE-AD=1,

在直角三角形CDE中，由勾股定理得：CE=yJCD2+DE2=V10

故答案为：y/w.

根据矩形的性质可得AB=CD=3，BC=AD=2,NAD。=NODE=90°，根据旋转的性质得出

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4E=AB=3，则可求OE=AE—AD=1,然后在Rt^CDE中，根据勾股定理求解即可.

本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质.

9

15.【答案】—7T+A/3

O

【解析】解：连接DE,OE,

-：ZC=90o.NA=30°，

AABC=90°-ZA=60°,

•;BE平分NABC,

NABE=AEBC=|zABC=30°,

/.ADOE=2AABE=60%

是。。的直径，

：.ADEB=^°，

：.DE=^BD=2,BE=V3DE=2V3>

.•.阴影部分的面积=扇形。OE的面积+4BOE的面积

=‘°7r义2?+葭DEB的面积

3602

211

=—7r-\——x—DE・BE

322

211cc居

=—7T—x—x2x2V3

322

=-7T+A/3?

O

2

故答案为：-7T+\/3.

O

连接。£,OE,先利用直角三角形的两个锐角互余可得：ZABC=60°-再利用角平分线的定义可得：

乙4BE=NEBC=30°，从而利用圆周角定理可得：NDOE=60°，然后利用直径所对的圆周角是直角可

得：ADEB=90%从而在RtZVDEB中，利用含30度角的直角三角形的性质可得Z7E=2,BE=2A/3-

最后根据阴影部分的面积=扇形DOE的面积+△BOE的面积进行计算，即可解答.

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本题考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加

适当的辅助线是解题的关键.

16.【答案】-8

【解析】解：二•关于x的一元二次方程(6—2)/—4立+1=0有实数根，

(m—2^0

''(A=(-4)2-4(m-2)>0)

解得：？?1<6且馆#2.

(y+\〈y-2

关于〉的不等式组|:、3整理得［上二,

JL..IU\lib

|一利―啕〉。1

(y+i4y-2

•.•关于y的不等式组］I3的解集为V《一7,

I-利-何>0

m>—7,

又且加壬2，加为整数，

可以为—6,—5,—4,—3,—2,—1,0,1,3,4,5>

二符合条件的所有整数m的和为—6—5—4—3—2-1+0+1+3+4+5=—8.

故答案为：—8.

利用二次项系数非零及根的判别式△〉0,即可得出关于m的一元L次不等式组，解之即可得出m的取值

(y+l^y-2

范围，由关于y的不等式组(:、3的解集为V(-7,可求出加的取值范围，结合6<6且加彳2,

I-m)>0

机为整数，即可得出"7的值，再将其相加后即可得出结论.

本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，利用一元二次方程的定义、根的

判别式△〉0及关于了的不等式组的解集，求出整数机的值是解题的关键.

17.【答案】x(180-4or)20(a;<50

【解析】解：(1)依题意，铁栅栏总长160米，4石=*米，

则/£>的长为(160-4/)米，矩形的面积公式列式得矩形的面积g=,(160-4乃平方米，由题意可

得：/W50,160—4c<80,

20W刀W50.

故答案为：x(180-4a;),20(50.

第17页，共27页

铁栅栏总长160米，4E=c米，则的长为(160—42)米，矩形的面积公式列式得矩形ZDRE的面积

9=2(160-4劝平方米.根据的长为80米，墙/C的长为50,即可求出x的取值范围.

本题考查了一元二次方程的图形几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

18.【答案】12786723

【解析】解：由题意知，最小“和久数”，千位上数字为1,十位上数字为7,百位上数字为2,个位上数

字为8,即最小“和久数”为1278,

•*•一个“和久数”M的千位数字是2a,百位数字是2b+c,十位数字是力则个位数字为(9-2a),

依题意得，2b+c+d=9,F(N)=2ad,K(N)=(2b+c)(9—2a),则d=9—2b—c,

.•.F(N)-K(N)+9(c+4)

=2ad—(2b+c)(9—2a)+9(c+4)

—2ad-186-j-4ab+2ac+36

=2a(9-2b—c)-186+4ab+2ac+36

=18(a—b+2),

F(N)-K(N)+9(c+4)是一个自然数的平方,

,当自然数是6时，18(a—6+2)=62,即&=6,

,二1(a《5,

,当a=3时，千位数为6,个位数为3,此时百位数最大为7,十位数为2,

二.最大的“和久数”是6723,

当自然数是12时，18(a-6+2)=122,即a-b=4,此时不满足题意；

二.最大的“和久数”是6723,

故答案为：1278,6723.

根据“和久数”的定义，即可求出最小“和久数”；一个“和久数””的千位数字是2a,百位数字是2b+c,

十位数字是d,则个位数字为(9-2a),依题意得，2b+c+d=9,十N)=2ad,K(N)=(26+c)(9—2a),

则d=9—2b—c,得到F(N)-K(N)+9(c+4)=18(a-b+2),根据F(N)—K(N)+9(c+4)是一个自

然数的平方，进行分析即可得到答案.

本题考查了新定义下的整式的加减运算.理解题意是解题的关键.

19.【答案】解：63侬+1)-73+1)=0,

(2+1)(3-2)=0,

则z+l=0或3—2=0,

所以①1=—1,3=3.

第18页，共27页

⑵2/-4c=3,

2a?-4z-3=0，

△=(—4)2-4x2x(-3)=40>0,

所以叼

22

【解析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可.

（2）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可.

本题主要考查了解元二次方程-因式分解法及解元二次方程-公式法，熟知因式分解法及配方法及元二

次方程的步骤是解题的关键.

20.【答案】解：（1）如图，即为所求；

⑵如图，△/2口2。2即为所求；

（3）如图，点P即为所求.最小值为A。的长=月西=5.

【解析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出4B,C的对应点Ai，Bi，G即可；

（2）利用平移变换的性质分别作出4，81，G的对应点人2，B.2,G即可；

（3）作点4关于X轴的对称点H,连接AC1交X轴于点尸，连接4P，点尸即为所求.

本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，学

会利用轴对解决最短问题.

21.【答案】解：（1）由题意可知，抽取的总人数为50+0.25=200（人），

二.第三组的人数为：200—20—50—50=80（人），

补全频数分布直方图如图所示：

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答：估计参赛者中答题正确的道数不低于36道的参赛者人数为1430人;

(3)画树状图如下：

开始

ABCD

/KAAA

BCDACDABDABC

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果数为2种，

二恰好抽到两名女生的概率为19=。1

126

【解析】(1)根据第二组294立<36时频率为0.25,频数为50求出抽取的总人数，然后求出第三组的人数,

补全频数分布直方图；

(2)用总人数乘以参赛者中答题正确的道数不低于36道的频率即可解答；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到两名女生的结果数，然后根据概率公式计算.

本题考查频数(率)分布直方图、列表法树状图法求随机事件发生的概率，利用列表法或树状图法展示所有

等可能的结果〃，再从中选出符合事件/或8的结果数目然后利用概率公式计算事件N或事件8的概

率.

22.【答案】解：(1)将点N的坐标分别代入两个函数表达式得：0=4a—8和0=2卜+2,

则a=1,k=—1；

(2)由(1)得：两个函数的表达式分别为：沙=一2+2和g=/—2c,

联立上述两式得：—/+2=/—2妨

则立=2(舍去)或一L即点3(—1,3),

观察函数图象知，不等式a/_2x>kx+2的解集为x>2或re<-1；

(3)Z\PO4的面积=-xAOx\yp\=-x2x\yp\=10,

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则沙P=±10=/—2c,则2=1土y/ll，

即点P(I+Vii,io)或(1一vU,io).

【解析】(1)将点/的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解；

(2)观察函数图象，即可求解；

(3)由△POA的面积=1xAOx\yp\=|X2x\yP\=10,即可求解.

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、解表达式等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键.

23.【答案】解：(1)设平均每次下调的百分率为x,

由题意得：5000(1—2)2=4050,

解得：为=0.1=10%,冲=1.9(不合题意，舍去)，

答：平均每次下调的百分率为10%；

(2)由题意得：120x(4050-10a)x0.1a-6000=120x(4050-536),

整理得：a2-405a+3564=0-

解得：QI=9,。2=396(不合题意，舍去)，

a的值为9.

【解析】(1)设平均每次下调的百分率为x,根据某楼盘准备以每平方米5000元的均价销售，对价格经过两

次下调后以每平方米4050元的均价开盘销售，列出一元二次方程，解方程即可；

(2)根据购买一套120平方米的住房，方案一：每平方米在开盘价基础上先降价10a元，再打。折销售，总

房款还少6000元；方案二：不打折，一次性每平方米送536元装修费；两种优惠方案一样，列出列出一元

二次方程，解方程即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

24.【答案】解：⑴•.•48=8。=6,AABC=120°，

，/4=/。=30°，

分两种情况：

①当点尸在上时，即0〈力W3,如图1,AP=2t,

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图1

■：PELAC^

.•.乙4EP=90°，

,-.PE=^AP=t,

：.y=PE2=t2；

②当点尸在3c上时，即3＜力＜6,如图2,CP=6+6—2力=12—2%,

图2

在Rt^PEC中，ZC=30%

PE=|CF=1(12-2t)=6-t,

：.y=PE2=(6_t)2,

(i2(0(力(3)

综上，y关于/的函数关系式为：y=[2、；

[(6-i)2(3＜t＜6)

(2)如图3,当t=3时，y=9,当0＜力＜3时，y随f的增大而增大(答案不唯一);

第22页，共27页

y

图3

(3)如图3所示，4=6与该函数图象有两个不同的交点，6的取值范围是0＜b＜9.

【解析】(1)分两种情况：①当点尸在4B上时，即0＜tW3,如图1,AP=2t，②当点尸在3c上时，

即3C力＜6,如图2,。尸=6+6—2%=12—2人根据含30°角的直角三角形的性质即可解答；

(2)根据两点法画图象，并确定一条性质：如当力=3时，y=9；当0＜力＜3时，＞随/的增大而增大(答

案不唯一)；

(3)确定5=6与该函数图象有两个不同的交点可得.

本题是三角形和函数的综合题，主要考查了一次函数的图象和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，

掌握画一次函数的图象，分类讨论思想的应用是解题的关键.

25.【答案】⑴解：由题意得，

(。+2+。=0

[9a-6+c=0'

./a=1

•,1c=-3，

：,y=x2—2x—3;

作轴于。，交BC于E,

当力=0时，y=-3,

设的解析式为：y=kx+b,

.J3k+b=0

b=—3'

第23页，共27页

.[k=1

,[b=—3'

：.y=x-

设P(m,m2—2m—3),E(m)m—3),

/.PE=(m—3)—(m2—2m—3)=—m2+3m,

iQQ327

S^BCP=-PE-OB=-(-m2+3m)=--(m--)2+—,

22Z2o

吆一3«_27

.,.当7n=/时，S"cp最大=百，

西33$.315

当？71=2时，y=(-)-2x^-3=

.•.p(|，T；

(3)证明：设P(p,p2一2p一3),Q(q,q2_2q_3),

...KPQ=32"3)—42q-3)="

p-q

:.p+q=0,

，q=一p，

，Q(—P,/+2p—