2025年高三数学秋季开学摸底考（广东专用）解析版

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）

数学•全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

3-i0

1.已知z=H，则|z『=（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】C

3-i(3-i)(l+i)4+2i

【详解】贝=22+12=5.

(l-i)(l+i)-2

故选：C

2.已知集合/=卜卜2-5》一62。}5={-3,-2,-1,0,1,2,3},则()

A.卜1,-2,-3}B.{-2,—3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【详解】对于不等式X2-5X-6N0,解得XW-1或XN6,即集合4={X|XVT或X26}.

已知8={-3,-2,-1,0,1,2,3},在集合B中满足-1的元素有一3,-2,-1,所以4C8={-3,-2,-1}.

故选：A.

3.已知双曲线（=1（。>0,6>0）的离心率为乎，则其渐近线方程为（）

A.x+42y=QB.V2x±v=0C.x+2y=0D.2x+y=0

【答案】A

【详解】双曲线U=l（a>0,6>0）的离心率为当，

可得e=二="，即°=儿,

a22

可得6=Vc2—a2=a，

由题意得双曲线的渐近线方程为y=±2x,即为y=±Y2x,

a2

即为x±=0

故选：A.

4.已知奇函数/（x）的图象的一条对称轴为直线x=1,那么/（无）的解析式可以为（）

1/15

A.y=sin(37uc)B.y=cos[x+：

C.J=sin^x+^D.y=tan(nx)

【答案】A

【详解】对于A,函数了=/(耳=5出(3⑪)的定义域为口，

因为/(-x)=-sin(3m)=-/(x),所以/(x)为奇函数，

因为=所以工=；是了=$也(3")的图象的一条对称轴，故A符合题意；

对于B,函数y=/(x)=cos[x+?的定义域为R,

因为所以函数>=。。5“+£|不是奇函数’故B不符题意；

对于C,函数了=/(x)=sin[5x+]J的定义域为R,

因为/(2)=sin(7r+]J=_曰,/(_2)=sin(_7r+]]=一¥，

所以函数、=41115》+弓]不是奇函数，故C不符题意；

对于D,函数y=tan(欣)的图象不是轴对称图形，故D不符题意.

故选：A.

5.若〃x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=r-4,则不等式/(x)20的解集为()

A.[-2,2]B.[—2,0]O[2,+oo)

C.[-2,0)U[2,+«)D.(-8,-2]U[2,+8)

【答案】B

【详解】因为Ax)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

结合题意作出Ax)的大致图象，如图所示，

由图可知，不等式f(x)20的解集为[-2,0]u[2,+»).

2/15

故选：B.

6.如图所示，质点P从点/出发，沿48,BC,CD运动至点。，已知48//。,48=4,3。=2,。。=3,

ABRC^-2,则质点尸位移的大小是（)

C.2713D.746

【答案】D

【详解】由题意可得质点P位移为同=方+南+无，

因为48=4,8。=2,CD=3,ABBC^-2，所以诟•丽=12,

设AB,BC的夹角为。，所以AB-BC=|5C|cos0=­2=cos0=——,

所以西=而.

故选：D

7.若直线/：息-y+2-左=0与圆。：/+「-4》_2>+1=0交于43两点，且直线/不过圆心C,则当V/2C

的周长最小时，V/8C的面积为（）

A.V2B.2C.4D.372

【答案】B

【详解】由C:x2+r-4x-2y+l=（^Wy+（y-l『=4,

故圆心C（2,l）,半径r=2,

直线/：息-y+2-左=0的方程可化为了-2=才（尤-1）,

所以直线/恒过定点。（1,2）,

H^l2+22-4xl-2x2+l=-2<0

所以点。在圆内,

由圆的性质可得当CD_!_/时，|/刈最小，V48c周长最小,

3/15

又C(2,l),£>(1,2)

所以砧=T，此时左=1,即直线/：x7+l=0,

12-1+11厂

所以圆心C(2,l)到直线/的距离d=旷=Y2,

所以|48k24_屋=2V4T2=2A/2,

所以S△皿c=g|/2H=；x272x拒=2,

故选：B

8.已知函数〃无)=i二'若关于X的方程|/(x)卜加(加为实常数)有四个不同的解否,马，七,七,

log3(x-l),x>l,

且X]</<X3<X4,贝!J1—।—](三+%)的取值范围为()

IX]x2J

A.卜1)B.(8,16)C.(8,+⑹D.(-»,-8)

【答案】A

【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，

-5-4-3-2-10

由图知，Xj<0<x2<1<x3<2<x4fl.me(0,1),

,X}Xrr,,11^

由"j-----=----7-,得再一项々=再次2-％2，即演+、2=2再%2，故—H---=2,

1X][X?X]"2

由log3(退-1)=-能，则工3=1+3-'"，由log?@4-1)=加，则匕=1+3'",

mm

(X3+X4)=4+2(3-+3),且在〃1€(0,1)上？=3-"+3"，单调递增,

所以

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，点尸在正方体-44GA的面对角线8G上运动，则下列四个结论正确的是()

4/15

A.三棱锥/-2PC的体积随P的运动而变化

B.4尸〃平面NCR

C.DP'BC、

D.平面尸OBJ平面NCR

【答案】BD

【详解】A选项，因为4D"A8G，4D]U平面ADC，而3C；（Z平面AD。,

所以8G〃平面gC,故2cl上任意一点到平面AD.C的距离均相等，

△40。的面积为定值，则三棱锥4-。尸。的体积不变，故A错误；

B选项，由正方体的性质可得/C〃4G且力。"/3。，

又/CIGu平面48G，/C，他都不在平面48G内,

所以NC//平面43G，/，//平面42G，

X^CIADt=A,u平面NCR,

所以平面NCR〃平面//「，又4Pu平面48G，

所以4P//平面4c口，故B正确；

C选项，当P与3重合时，DP=BC\=DC、=①,所以ADBCJ为等边三角形,

则DP与BG的所成角为三，所以DP-8G不成立，C选项错误；

D选项，因为月4_L平面/BCQ,4Cu平面45。。，故

又因为皮）_L4C,BDRBB[=B,BD,BB、u平面AD4,

5/15

所以/C_L平面,5Qu平面AQ8],故NC_LZ)4，

因为/e_L平面AA}DTD,ADXu平面AAtDtD,AtBt.LADt,

又因为4DJ4。，4及;瓦4口/田产平面/百。，所以4D1,平面4与0,

因为U平面44。，所以

因为ADtn/C=44D],/Cu平面ACDlt所以。片，平面ACD,,

又。qu平面。所以平面。为平面/C2,故D正确.

故选：BD.

10.已知抛物线少：y2=2px(p>0)与圆W：(x-6『+(y-4)2=64相交于A,B两点，线段48恰为

圆”的直径，且直线过抛物线〃的焦点尸，又C。是抛物线少过焦点厂的另一动弦，则以下结论正确

C./M的周长可以为14D.当S△加=35谶。尸时，|CD|=12

【答案】AC

分别过A,B,M作抛物线准线的垂线，垂足分别为4，与，Mx,

由于圆的直径过焦点尸，则河(6,4)到准线的距离为

\AA^+\BB^_\AF\+\BF\_\AB\

111222

又|7Wj=6+4,；.6+K=8,解得夕=4,故A正确；

1122

对于B,设直线CD的方程为x=my+2,C(XQi),。(乙,％),

6/15

x=my+2.

又抛物线W：/=8无，由2C可得y—8my-16=0,

歹=8%

22

贝1%+%=8〃？，XX,=^--^-=4,

88

|CF|+9|DF|=X+2+9（X+2）=X+^+20>2

121二32

xi

（当且仅当再=6时等号成立），故B错误；

对于C,；M（6,4）,F（2,0）,：.\MF\^4S/2,设的周长为/,

过点C向抛物线准线作垂线，垂足为C「

则1=\CF\+\FM\+\CM\=4V2+|CF|+|CM|=442+\CQ\+\CM\>4也+pWj=472+8,

周长的最小值为4逝+8<14，故C正确；

2

x{x2=4,则（3工2+4）%2=4,解得％2=^或一2（舍），

232

；.%=6,|CZ）|=xr+x2+p=6+―+4=,故D错误.

故选：AC

11.记V48c的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且2（a-3cosC）=csin5,b=2c,3c边上的高

为2,则（）

A.tang=2B.6=2/

7/15

C.V/BC的周长为3+3出D.V/5C的面积为3

【答案】AB

【详解】对A,已知2（Q—/）cosC）=csin5,由正弦定理得到2何以一5111灰05。）=5抽。51曲，

因为sirU=sin（%一（B+C））=sin（B+C）=sinScosC+cos5sinC,

代入上式可得：2（sin5cosC+cos5sinC-sin5cosC）=sinCsinS,

2cosBsinC=sinCsinfi,因为。£（0,乃），所以sinCwO,得到2cosB=sin5,则tan5=2,故选项A正确.

对B,由taiR=2=1^,且sin2B+cos23=l,因为tarR〉0,所以BE/］）,

可得cosB=，sinB=.

已知b=2c,由正弦定理得sinS=2sinC,贝（JsinC=——，cosC=

5

因为/e（O/）,所以/=].

设8c边上的高为九=2,因为N=工,h=csinS,已知〃=2,sio5=-----，贝!1°=布，b=2c=2#>,选

25

项B正确.

对C,因为/=1,6=20，C=V5，根据勾股定理0="2+°2=J(2遥＞+(病2=5,

VABC的周长为0+Hc=5+2若+右=5+3石，故选项C错误.

对D,VA8C的面积S==L5x2=5,故选项D错误.

22

故选：AB.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.

12.若函数=的图象在点处的切线过点(2,4),贝.

【答案】2

【详解】因为/(x)=ax-『所以r(x)=a+j,则/'⑴=a+3,又〃1)=°-3,

所以切线方程为：y-a+3=(a+3)(x-l),

因为切线方程经过点(2,4),

8/15

所以4—〃+3=(。+3乂2—1),

解得a=2.

故答案为：2

z.1n+1n

13.已知数列｛%｝满足%=：,--------=2",则其通项公式为_____.

2an+\an

【答案】册吟

【详解】不妨设1=一*则6—,

an

由6〃=6〃~bn_x+bn_l-bn_2+--+b2-bi+bx

―—2*…兀2(1-2〃T)

1-2

经检验当〃=1时满足，故一=2",解得%=*,

an2

即数列｛叫的通项公式为％宁.

故答案为：见专.

14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另

外两人中的任何一人.设第"次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为4，纥，G，〃eN*,则第3次传

球后球在甲手里的概率4=，第〃次传球后球在丙手里的概率G=.

【答案】：/。25

【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0,当球不在甲手中，则传给甲的概率为

11111

且4=0,4+1=AnxO+(l-An)x-=-(l-An)f即4+1=_§)，

又4-g=-g,即数列｛4-g是首项为-5公比为的等比数列，

所以4十一，"则故"W，

当球在丙手中，则传给丙的概率为o,当球不在丙手中，则传给丙的概率为

111111

且Q+1=CnxO+(l-CJx-=-(l-CJ,即=C),

又即数列｛C,「3是首项为公比为的等比数列，

36362

所以，易得。,一；=：(一；尸，则C"=；+：•(―!"[

9/15

故答案为：〜g+g

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱

花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下

流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查,

得到数据如表所示:

樱花迷非樱花迷

男5m5

女402m

(1)求加的值；

(2)根据小概率值a=0.01的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？

(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非

樱花迷”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2n[ad-bc^~

附：参考公式:,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中w=a+b+c+d.

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【详解】(1)由题意可得5机+5=30,解得m=5；......................................................................................1分

(2)零假设〃“樱花迷”与性别无关联,

根据列联表中的数据，经计算得到：2=80X(25X]0_5X40).=$0]37<6.635,.......................3分

30x50x65x15117

根据小概率值c=0.01的z2独立性检验，没有充分证据推断〃。不成立，

即“樱花迷”与性别无关联；................................................................5分

(3)用分层抽样方法抽取10人，贝广樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，

故X的可能取值为0,1,2,

3

则尸(X=0)=/C°C7尸(X=l)=舍d=57,尸(X=2)=c；c；1

...................................................7分

jo〜0C1015

所以X的分布列为

X012

10/15

771

P

151515

11分

7713

故E（X）=0x—+lx—+2x—=—13分

V71515155

16.（15分）已知数列｛4｝满足％=1,%=6,且对任意的〃22,WGN\都有%+I+%T=2%+3

⑴设6“=《用-。“，求证：数列｛，｝是等差数列，并求出其的通项公式;

⑵求数列｛4｝的通项公式;

213

（3）^cn=-an+-n-2f求的前〃项和&

（详解]⑴由%+«„_1=2%+3有an+1=2an-%+3,

所以%=2%+3,又q=1,a3=6,解得出=2,

又因为2=an+x-an=2an-an_x+3-a“=an-an_x+3=bn_t+3,即“一bn_x=3,3分

所以数列也｝是以公差为3,首项为4=%-q=2-1=1的等差数歹U,

所以4=1+（〃-1）x3=3〃-2,6分

（2）由⑴有6“=a“+]-a“=3〃一2,

所以a”_=3（〃—1）—2,a”——an_2=3（〃—2）—2,—a?=3x2—2,%—4=3x]—2,8分

上式相力口有%—%=3（〃一1）—2+3（〃一2）—2+…+3x2—2+3x1—2=

2

（77-1）（3H-4）3"-7〃+6

所以%=+1=-2—

2

*1、[3〃2—7〃+6

所以。“二——-——10分

,八七213c23〃2一7〃+613,/

（3）由⑵^c=-a+-n-2=-x---------------+——n-2=n（n+2）,

nn323v7

所以'=1111

12分

C”〃（〃+2）2nn+2

1IL111_____l_+j__1

所以••H-----二-1-------1------「J」++

g232435n-1H+1nn+2

3〃（/+3）

1+1-J

22〃+ln+22（几+1）（〃+2），

所以心可3〃力（〃+3马）

15分

17.（15分）如图，在四棱锥尸—中，尸/，平面NBC。，BCLCD,ABIIDC,BC=CD=2,AB=4,

11/15

M,N分别为尸3,PC的中点.

(1)若平面与直线PD交于点“，求器PH的值;

(2)若平面AMN和平面PCD所成角的余弦值为平，求点C到平面AMN的距离.

【详解】(1)在平面48CA内作ZS_L/B,

因为尸4_1_平面N8CD,48u平面/BCD,4s*u平面48CA,

所以尸N_LAB,尸/_L/S,2分

所以以A为原点，AB,AS,/P所在直线分别为x轴，了轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

设P4=2a,AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCJ_CD,

8（4,0,0）,C（4,2,0）,尸（0,0,2a）,£＞（2,2,0）,PD=（2,2,-2a）,

又；M,N分别为PB,尸C的中点，

：.AM^（2,0,a）,诉=（2,1,a）,设配=7而，

=AP+/LP5=（0,0,2a）+/l（2,2,-2a）=（2/l,2/l,2（l-A）a）,

AM)不共面，二存在实数x,V,使得屈=xN应+y不，........................4分

即（22,2/1,2（1—2）a）=x（2,0,a）+y（2,1,a）=（2x+2y,y,ax+ay）,

2A=2x+2y

npH7

所以v22=y,解得石"所以访十................................................................................7分

=ax+ay

(2)设平面4W的法向量为为=(r,s,f),

12/15

n-AM=2r+at=Q

，解得s=0,令"-a得/=2,

n-AN=2r+s+at=0

万=（一。,0,2）,......................................................................................................................................................9分

又•.•友=(2,0,0),DP=(-2,-2,2a),

设平面CDP的法向量为丽=（x,y,z）,

,解得x=0,令z=i得y="，

m•DP=-2x-2y+2az=0

.•.玩=(0，〃,l),......................................................................................................................................................11分

设平面ZMN和平面CD尸所成的角为e,

八\fi'm\2而"

•・•cos3=,,=,-----,

同HVa2+4>/a2+l5

整理得+5。2—6=o,,••a>()，:.a=\,........................................................................................................13分

■.■AC=(4,2,0),.-.t^=A=lV5，

\n\455

故点C到平面/AW的距离为g店.........................................................15分

22

18.（17分）已知椭圆E：=+J=1（a>b>0）的左、右顶点为/（一2,0）,8（2,0）,焦距为2百.。为坐

ab

标原点，分别过椭圆的左、右焦点片，石作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P,Q.

（1）求椭圆E的方程；

（2）求四边形尸耳鸟。的面积的最大值.

【详解】（1）由已知得a=2,c=5则〃=/-c2=i,

故椭圆的标准方程为片+廿=1.

.......................................................................................................................3分

4

(2)

如图，设过点耳，巴的两条平行线分别交椭圆于点尸，R和。，S,

利用对称性可知，四边形尸尺5。是平行四边形，且四边形的面积是口尸及S0面积的一半.....5分

13/15

显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线网的方程为/：x=my-

代入£：—+y2=1,整理得(小+4)/-20卯-1=0,显然A>0,...........................................................7分

4'

2>/3m

m+4

设P（x”必），R（x2,y2）,则，9分

1

y^2=--

m+4

于是，IPR|=J]+冽2•J(必+%)2=J1+/•12m?।4

(m2+4)2m2+4

+164(m2+l)

=J1+加2.11分

+4)2m2+4

—my+A/3=0的星巨离为d=/".

点鸟到直线/：尤

vm2+1

+

则四边形PF内。的面积为S=口尸划，=！x4（"：+1）x*=4⑸、14分

22

22m+4yjm+1m-+4

,_____4^_4V34V3_

令:47万，贝心21,且苏=»-1,代入得，=云万=5

当/=/时，等号成立，此时Smax=2.17分

19.（17分）若定义域为。的函数y=/（x）满足：非空集合/1。，Vxe/,若/⑺川，则称/（X）是一个

/上的“非负函数"；若/'（xb。，则称/（x）是一个/上的“非正函数”.

⑴分别判断工（无）=lnx+5x+10,6（x）=e2-4x是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由.

⑵已知函数Mx)=；x3+4sinx-4x+a为[-1川上的“非负函数”，求a的取值范围.

、*212231

(3)设〃EN*,且〃22,证明：cosl+cos—+cos—+cos—+•••+cos—<n——+------.

325n2n+1

【详解】(1)对于工(x)=lnx+5x+10,

定义域(0,+s),找一个x值代入看函数值正负.

mx=e-2S<(。2)=1“2+563+