2025年人教版八年级数学下册期末复习：一次函数（解析版）

专题05一次函数

【知识回顾】

【思维导图】

【知识清单】

【自变量的取值范围考虑因素】

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

【一次函数的图像与性质】

正比例函数一次函数

概念一般地，形如y=kx（k是常数，kWO）的一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，kWO）,那么y叫

函数叫做正比例函数，其中k叫做比例做x的一次函数.当b=0时，是y二kx,所以说正比例函

系数数是一种特殊的一次函数.

自变量X为全体实数（实际问题根据实际情况判断）

范围

图象一条直线

必过点(0,0)、(1,k)b

(0,b)和0)

k

走向k〉0时，直线经过一、三象限；k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限

k〈0时，直线经过二、四象限k>0,b<0直线经过第一、三、四象限

k<0,b>0直线经过第一、二、四象限

k<0,b<0直线经过第二、三、四象限

增减性k>0,y随x的增大而增大；（从左向右上升）

k<0,y随x的增大而减小。（从左向右下降）

倾斜度|k|越大，越接近y轴；1k1越小，越接近x轴

图像的

b>0时，将直线y=kx的图象向上平移”个单位，得到y=kx+b；

平移

b<0时，将直线y=kx的图象向下平移”个单位，得至Uy=kx+b.

平移口诀：左加右减，上加下减

【函数解析式的确定】

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方

程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

二、【考点类型】

考点1:函数的定义

典例1：（22-23八年级下•吉林长春•阶段练习）下列关系式中y不是x的函数的是（）

A.y2=xB.y=xC.y=x2D.y=­x

【答案】A

【分析】根据函数的定义，在一个变化的过程中，有两个变量y与％,若%每取一个值，y都有唯一的

一个值与它相对应，贝Uy是"的函数，逐项进行判断即可.

【详解】解：选项B、C、D中，每一个X值都有一个y值与它对应，

选项B、C、D中y是x的函数，

选项A中，给%一个正值，y有两个值与之对应，

选项A中y不是％的函数，

故选：A.

【点睛】本题考查了函数的定义，解此类题的关键是掌握，在一个变化的过程中，有两个变量y与x,

若x每取一个值，y都有唯一的一个值与它相对应，贝的是x的函数.

【变式1］（22-23八年级下•陕西西安•期中）下列图形中，不能表示y是x函数的是（）

【答案】D

【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此

即可确定答案.

【详解】A、对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是x的函数，

不符合题意；

B、对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是x的函数，不符合

题意；

C、对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是x的函数，不符合

题意；

D、对于自变量x的每一个确定的值，y都有两个值与之对应，不能表示y是x的函数，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x,y,对于x的每一

个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是％的函数，x叫自变量.

【变式2］（22-23八年级下•福建福州•期中）下列图象中，能表示y是x的函数的是

【答案】B

【分析】对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，根据函数的概念即可求出

答案.

【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，

其中A,C,D选项中的图，对于自变量尤的某个值，y有两个值与自变量x的值对应，不符合函数定

义，不符合题意；

所以能表示y是x的函数是B选项的图.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了函数的概念.函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直

线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.

【变式3］（22-23八年级下•北京石景山•期末）如图，用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，小石发

现矩形的邻边a,6及面积S是三个变量，下面有三个说法：①6是a的函数②S是a的函数③a

是S的函数.其中所有正确的结论的序号是（）

---------------\D

b

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根据题意可得b+a=20,从而可得b=20-a,即可判断①:再利用矩形的面积可得S=ab,

从而可得S=-a2+20a,即可判断②；根据-a?+20a=S,然后利用配方法可得（a-10）2=100-S,

从而可得a=10±V100-S,即可判断③.

【详解】解：由题意得:

2(a+Z))=40,

・•・b+Q=20,

・•・6=20—a,

•••b是。的函数，

故①正确；

vS=ab,

••・S=a(20—a)

=-Q2+20a,

・•.S是。的函数，

故②正确；

—a2+20a=S,

•，.Q?-20a=-Sf

a?-20a+100=100—S,

(a-10)2=100-S,

・•・a-10=±“00-S,

・•.a=10±“00-S,

・•.a不是S的函数，

故③不正确；

所以，所有正确的结论的序号是：①②，

故选：A.

【点睛】本题考查了函数的概念，常量与变量，熟练掌握配方法是解题的关键.

考点2：自变量的取值范围

典例2：(23-24九年级下.广东江门•阶段练习)函数y=W中，自变量x的取值范围是()

A.%>2B.%>2且%丰3C.%>2D.%3

【答案】B

【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据二次根式被开方数非负，以及分式分母不为零，建立

不等式求解，即可解题.

【详解】解：由题意得，％-220且％-340,

解得x>2且x*3,

故选：B.

1

【变式1］（23-24九年级下•四川绵阳•阶段练习）函数y=-V^TT自变量x的取值范围在数轴

上表示为（）

r1

n「I>

>O2O

2C

-1

0厂A

D2

【答案】A

【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件、一元一次

不等式组的解集在数轴上的表示.利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件即可求得X>1,

把解集在数轴上表示出来即可求解.

【详解】解：由题意得：

（2-x>0

1%+1>0>

解得：-1Wx<2,

把-1<%<2在数轴上表示为：

1_<!>~>

-102

故选：A.

【变式2］（22-23八年级下.宁夏固原.期末）若函数y=高有意义，则自变量》的取值范围在数轴

上表示正确的是（）

'i'

IO

X

B-2

—1

1

1o2

-2X

D

【分析】根据被开方数大于等于。以及分式有意义的条件，进行计算即可得出x的取值范围，然后在数

轴上表示即可.

【详解】解：根据题意可知2-x20且V2—x*0,

2—x>0,

解得：x<2,

在数轴上表示如下：

-2-1012

故选：B.

【点睛】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑:

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母

不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

【变式3（2023•黑龙江绥化•二模）在函数丫=熹+（%—3）。中，自变量x的取值范围是（）

A.%>-3B.%>-3C.x43D.%>一3且x牛3

【答案】D

【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的。次方没有意义即可得.

【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：仔十^?

1%—3W0

%>—3

为H3

即自变量X的取值范围是x>一3且％羊3

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幕的定义，掌握各

性质和定义是解题关键.

考点3：函数图像的识别

典例3：（22-23七年级下•四川成都•期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以

近似的刻画甲容器的水面高度场（cm）随时间t（min）的变化情况的图形是（）

【答案】C

【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力，根据三个阶段甲容器的水面高度随时

间的增长速度确定出此题正确的结果.

【详解】解：刚开始时注水都在甲容器，水面高度增长速度不变；

当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变；

当乙容器水位也到达连通部分后，甲、联通部分和乙三个容器水面一起升高，但升高速度较慢；

当水面超过联通部分，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升比三个容器一起上升的快,

但速度比只有甲容器时慢，

选项C中图象符合该变化过程.

故选：C.

【变式1］（2023•北京石景山•一模）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这

个注水过程中，水面高度力与注水时间t之间函数关系的大致图象是（）

【答案】A

【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的

关键.

根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题.

【详解】解：由题知，

因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，

所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来

越高.

因为瓶子的上半部分是圆柱，

所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升.

故选：A.

【变式2］（2023•黑龙江绥化•模拟预测）一段笔直的公路4C长20千米，途中有一处休息点B,4B长

15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑

至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C,下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时

内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（）

【答案】A

【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间，再结合已知条件即可解决问题.

【详解】解；由题意得：甲跑到B地所花费的时间为：15+15=lh,甲在B地休息的时间为0.5h,甲

从B地跑到C地花费的时间为：（20-15）+10=0.5h,总共花费时间为l+0.5+0.5=2h,

乙跑到C地所花费的时间为：20+12=|h<2h,

由此可知正确的图象是A,

故选：A.

【点睛】本题考查函数图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是理解题意求出两人到达C地

的时间，属于中考常考题型.

【变式3］（22-23八年级下•江苏镇江•期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：

第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：

第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与

时间的关系；

第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费

与通话时间的关系.

用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（）

y.

A.(1)(2)(3)B.(2)(1)(3)C.(1)(3)(2)D.(2)

(3)(1)

【答案】C

【分析】小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系；小丽去奶奶家吃

饭，小丽离家的距离从0开始变大，到达奶奶家吃饭的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小

直至变为0；奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数的

关系，据此即可得到答案.

【详解】解：,•・小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系，

•••该变化对应图象(1),

•••小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，

二该变化对应图象(3),

•••奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数关系，

•••该变化对应图象(2),

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定

的生活经验.

考点4：由函数图像获取信息

典例4：(2023・河南周口•模拟预测)根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原

因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动

员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度

运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是()

图中实线衣示采用慢跑活动力式放松

时向乳酸浓懂的变化情况：

本线衰示采用静坐方式休息时血乳程

浓度的变化情况。

A.体内血乳酸浓度和时间是变量

B.当t=20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L

C.采用静坐方式放松时，运动员大约30min后就能基本消除疲劳

D.运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松

【答案】C

【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横

纵坐标表示的意义是解题的关键.

【详解】解：由题意可知，

A、体内血乳酸浓度和时间t均是变量，该说法正确，故选项A不合题意；

B、当t=20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L,该说法正确，故选项B不合题意；

C、采用静坐方式放松时，运动员大约70min后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项C符合题意；

D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法

正确，故选项D不合题意；

故选：C.

【变式1】（23-24七年级下・河南•期中）如图1,四边形4BCD是长方形，点P从边AD上点E出发,

沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点8,最后沿2C运动到点C,设点P运

动的路程为的面积为》图2是y关于x变化的函数图象.根据图象下列判断不正确的是（）

C.当x=3时，△APE的面积为6

D.当3W久W8时，4P长度的最小值为1

【答案】D

【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形面积的相关计算，垂线段最短，在解题时根据

函数的图象求出有关的线段的长度，分析各个选项即可得到答案.

【详解】解：由题意知，当尸与8重合时，%=8,SACDP最大，

当点尸在上运动，SACDP逐渐减小，直至尸与C重合时，贝卜=16,

二8C=16-8=8,SACDP的最大值=-CD=24,

•••CD=AB=6,A正确;

由函数图象可知，当0WxW3时，△CDP的面积始终为12,

设ACDP边CD的高为力，

此时SACDP=~CD-h,

SACDP~]CD-DE—12,

•••DE=4,

.•.点E是4D的中点，B正确;

•••点E是的中点，EF=3,

•••AE=4,

.•.当x=3时，ShAEP=^AE-EF=6,C正确;

点尸从4。的中点出发，作GF1AB,连接4F,

则BF=8—EF=5,GF=AE=4,

-SAABF=\AB-GF=\BF-AH,

：.AH=y,

・••当3WxW8时，AP长度的最小值为孩，

•••D错误.

故选：D.

【变式2］（23-24八年级下.上海闵行•期中）已知：如图，甲、乙两个工程队合作修一条长为3000

米的公路，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的.甲队单独做了20天后，乙队加入合作完成

剩下的全部工程.完成的工程量y（米）与工程时间无（天）的关系如图所示.下列结论中错误的是

八米）

3000b..................7

O2030“天）

A.完成该工程一共用了30天B.乙工程队在该工程中一共工作了10天

C.甲工程队每天修路50米D.乙工程队每天修路200米

【答案】D

【分析】本题考查了函数图象获取信息以及一元一次方程的工程问题，正确掌握相关性质内容是解题

的关键.根据甲队单独做了20天，完成1000米，得出甲工程队每天修路50米，因为甲、乙两个工

程队的工作效率是一定的，则列式3000—1000=10x（x+50）,得出乙工程队每天修路150米，结

合图象性质，即可作答.

【详解】解：从图象可知，工程时间久=30,所对应的是y=3000

完成该工程一共用了30天，故A是正确的；

V30-20=10（天）

，乙工程队在该工程中一共工作了10天，故B是正确的；

:甲队单独做了20天，完成1000米，

/.10004-20=50

即甲工程队每天修路50米；故C是正确的；

设乙工程队每天修路x米，

则3000-1000=10x（x+50）

解得％=150

，乙工程队每天修路150米，故D是错误的

故选：D

【变式3］（23-24八年级下.重庆.阶段练习）甲、乙两工程队分别同时铺设两条600米长的管道，所

铺设管道长度y（米）与铺设时间工（天）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（）

A.甲队每天铺设管道100米；

B.从第三天开始，乙队每天铺设管道50米；

C.甲队比乙队提前3天完成任务；

D.当无=2或6时，甲乙两队所铺设管道长度相差100米.

【答案】C

【分析】本题考查了函数图像，从函数图像获取信息是解题的关键；由图像知，甲队6天铺设了600

米，则可求得甲队每天铺设管道的长度，从而判断选项A；由图像知，乙从第三天开始到第六天，4

天共铺设了200米，则可求得每天铺设管道的长度，从而判断选项B；根据乙从第三天开始铺设的速

度可计算出完成管道铺设的时间，与甲完成的时间比较即可判断选项C；根据前面选项A与B的计

算，即可对选项D作出判断，最后确定答案.

【详解】解：由图像知，甲队6天铺设了600米，则甲队每天铺设管道的长度为600+6=100（米），

故选项A正确；

由图像知，乙从第二天后到第六天,4天共铺设了200米,则每天铺设管道的长度为（500-300）+（6-

2）=50（米），故选项B正确；

..•乙从第三天开始铺设的速度为每天50米，

，乙完成剩下管道铺设的时间为：（600-300）+50=6（天），完成整个管道铺设的时间为2+6=8

（天），

甲比乙提前完成的时间为8-6=2（天），故选项C错误；

当x=2时，甲乙两队所铺设管道长度相差（100-50）x2=100（米）；

当x=6时，甲乙两队所铺设管道长度相差600-500=100（米），

故选项D正确，

故选：C.

考点5：动点问题的函数图像

典例5：（23-24八年级下•河南关B州•期中）如图1,在AABC中，NB=60。动点尸从点A出发沿折线

AB-BC匀速运动至点C后停止.设点P的运动路程为龙，线段力P的长度为“图2是y与龙的函数

关系的大致图象，点M为曲线DE的最低点，贝UBC边的长为（）

图1图2

A.2V3B.2C.3V3D.3

【答案】C

【分析】作4。1BC,当动点P运动到点。时，线段4P的长度最短，此时2B+BD=3H，当动点P

运动到点C时，运动结束，此时4。=何，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：作力D1BC,垂足为D,

当动点尸运动到点。时，线段2P的长度最短，此时点尸运动的路程为3g,即4B+BD=3g,

当动点P运动到点c时，运动结束，线段4P的长度就是47的长度，此时ac=&T,

,JZ.ABC=60°,

J.ABAD=30°,

：.AB=2BD,

：.AB+BD=3BD=3后

：.BD=V3,AB=2V3,

：.AD=7AB2-BD2=3,

在RtAACD中，AC=VH,

：.CD=<AC2-AD2=2V3,

：.BC=BD+CD=3V3,

故选：C.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的特征.读

懂函数图象是解题的关键.

【变式1］（2024•甘肃天水.一模）如图：菱形4BCD的对角线力C上有一动点P,BP的长y关于点P运

动的路程x的函数图像如图，则该菱形的面积为（）

【答案】D

【分析】本题考查了函数图象，菱形的性质，点到直线的距离，连接BD,根据函数图象知当BP14C

时，BP=6,\AC=8,即可得到BD=12,根据菱形的面积公式即可求解.

【详解】解：连接交B0于点。，

由函数图象知当BP，AC时，BP最短，

此时BP=6,即8。=6,4。=8,

BD=12,AC=16,

该菱形的面积为：\AC-BD=96,

故选：D.

【变式2】（23-24八年级下•湖南郴州•阶段练习）如图①，在四边形4BCD中，BC||AD,〃=90。，

点尸从点A出发，沿4-8-C一。运动到点。.图②是点尸运动时，△PAD的面积S与点P运动的

路程龙之间的关系图象，则。的值为（）

图①图②

7

A.-B.4C.5D.6

2

【答案】D

【分析】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是明确题意，能

从函数图象中找到我们需要的信息，利用数形结合的思想解答.

过点C作CE14。于点E,首先根据八4DP的面积是g得到4。=7,然后得到四边形48CE是矩形，

设BC=尤，则DE=7-x,CD=8-x,根据勾股定理求解即可.

【详解】如图，过点C作CE140于点E,

由图象可知，点P从A到3运动的路程是3,

当点尸与点8重合时，AADP的面积是

.ADAB_AD3_21

"2一2一2，

解得AD=7,

又BC||AD,4力=90°,CELAD,

•••乙B=90°,/.CEA=90°,

••・四边形4BCE是矩形，

CE=AB=3,BC=AE,

设BC=x,则DE=7-x,CD=8-x,

在RtADCE中，DE2+CE2=CD2,

即(7—£)2+32=(8-x)2,

解得x=3,

•••a=3+3=6.

故选：D.

【变式3](2023•江苏苏州•模拟预测)图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计)，A为入口，

F,G为出口，其中直行道为ZB,CG,EF,且ZB=CG=EF,弯道为以点。为圆心的一段弧，且

CS,北所对的圆心角均为90。.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同

出口驶出，其间两车到点。的距离y(m)与时间式(s)的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说

法错误的是()

A.甲车在立交桥上共行驶8s；B.从F口出比从G口出多行驶40m；

C.甲车从G口出，乙车从尸口出；D.立交桥总长为160m

【答案】D

【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，由图象可知，两车通过品，CD,"弧时每段所用时

间均为5-3=2s,通过直行道力B,CG,EF时，每段用时为3s,据此逐一判断即可.

【详解】解：由图象可知，两车通过此，⑶,处弧时每段所用时间均为5-3=2s,通过直行道

AB,CG,EF时，每段用时为3s.

因此，甲车所用时间为3+2+3=8s,故A正确，不符合题意；

根据两车运行路线，从尸口驶出比从G口多走弧长6,051之和，用时为4s,则多走4X10=40m,

故B正确，不符合题意；

根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，乙车从F口出，故C正确，不符合题意；

根据题意立交桥总长为（3x2+3x3）x10=150m,故D错误，符合题意；

故选：D.

考点6：一次函数、正比例函数定义

典例6：（2023八年级下•全国•专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（）

A.正方形的周长C和它的一边长a

B.距离s一定时，速度v和时间t

C.长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y

D.正方体的体积V和棱长相

【答案】A

【分析】根据正比例函数定义即可得答案.

【详解】A.根据正方形的周长公式可得C=4a,这是一个正比例函数；

B.根据速度=路程+时间可得这是一个反比例函数；

C.根据剩下的长度=总长-减去的长度可得y=40-x,这是一个一次函数；

D.根据正方体的体积公式，可得了=巾3,是一个三次函数，不是正比例函数.

故选：A.

【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键.

【变式1］（22-23八年级上•江苏扬州•期末）规定：［k,0是一次函数y=kx+b（k、b为实数，kA

0）的“特征数".若“特征数”是［4,m-4］的一次函数是正比例函数，则点（2+ni,2-m）所在的

象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据正比例函数的定义求出，〃的值，然后求出点的坐标即可判断.

【详解】解：由题意得：

:“特征数''是［4,m-4］的一次函数是正比例函数，

m-4=0,

2+m=6,2-m=-2,

•••点（6,-2）在第四象限，

故选：D.

【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键.

【变式2］（23-24八年级上•江苏连云港•阶段练习）下列函数：①y=-%；②y=2x+11；③丫=-%2+

（%+1）（%-2）；④y=（中，关于x的一次函数的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题主要考杳一次函数的定义，掌握一次函数的定义（y=kx+6的定义条件是：k、b为常

数，k70,自变量次数为1）是解题的关键.

根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可.

【详解】解：一次函数有：①y=-x；②y=2x+11；③y=-x2+（%+1）（%-2）=-%-2；©y=［

不是一次函数；

综上所述，正确的有3个，

故选：B.

【变式3］（22-23八年级上•湖北宜昌・期中）如果y=（根-2）万―-3+2是一次函数，那么机的值是

（）

A.2B.-2C.±2D.±V2

【答案】B

【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意,

一次项系数不能为0,列式求解即可得到答案.

【详解】解：-（m-2）x7n2-3+2是一次函数,

/.m2—3=1,且m—2K0,解得m=-2,

故选：B.

【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高

次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为0,准确列式是解决问题的关键.

考点7：判断一次函数图像

典例7：（22-23八年级上•江苏盐城•期末）下列图象中，可以表示一次函数y=依-b与正比例函数

y=kbx（k,b为常数,且kb70）的图象不可能的是（）

【答案】A

【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象,

可以得到协的正负和晨b的正负，然后即可判断哪个选项符合题意.

【详解】A、由一次函数的图象可知k<0,b<0,由正比例函数的图象可知kb<0,故选项A不可

能，符合题意；

B、由一次函数的图象可知k>0,b<0,由正比例函数的图象可知协<0,故选项B可能，不符合

题意；

C、由一次函数的图象可知k<0,b<0,由正比例函数的图象可知协>0,故选项C可能，不符合

题意；

D、由一次函数的图象可知k>0,b>0,由正比例函数的图象可知协>0,故选项D可能，不符合

题意；

故选：A.

【变式1］（2024九年级下•广东•专题练习）关于x的正比例函数y=依与一次函数y=kx+x—k的

大致图象不可能是（）

A.B.

【答案】D

【分析】本题考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，根据正比例函数与一次函数的图象性质作

答，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象及一次函数的图象

的性质.

【详解】解：令kx+x-k=kx时,x=k,

当k>。时，正比例函数y=fcr图象经过一、三象限，一次函数y-kx+x—k-(k+l)x-k的图象

经过一、三、四象限，两直线的交点在第一象限；

当一1<k<0时，正比例函数y=kx图象经过二、四象限，一次函数y=kx+x—k=(k+l)x-k的

图象经过一、二、三象限，两直线的交点在第二象限；

当k<—1时，正比例函数y=kx图象经过二、四象限，一次函数丫=fcr+x—k=(k+l)x—k的图

象经过一、二、四象限，两直线的交点在第二象限；

故选：D.

【变式2](2024八年级.全国.竞赛)在同一坐标系内，直线匕:丫=依和/2：y=(k-3)x+k的位置

可能是().

【答案】c

【分析】本题考查一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题词的关键.

衔求得两一次函数图象的交点，根据交点可排除A,D选项，再根据当k>0时，C选项符合题意，

当k<0时，排除B选项.

【详解】解：联立两函数解析式得：f_1=

（y—一^5JX-T-K

（k

X=-

解得：3

Qi"

与％的交点坐标为竹，?），

•・,k手0,

>0,

3

•••交点必在x轴上方，故可排除A,D选项.

当k>0时，C选项符合题意，

当k<0,%与y轴的交点应在y轴下方，故又可排除B选项.

故选：C.

【变式3］（22-23八年级下•福建福州•期末）已知函数丫=kx+b的图象如图所示，函数y=bx+k的

图象大致是（）

【答案】C

【分析】根据一次函数y=kx+b的图象可知k>0,b<0,然后根据一次函数是性质即可判断.

【详解】解：由一次函数y=k尤+b的图象可知k>0,b<0,

•1•一次函数y=+k的图象经过一、二、四象限，

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是通过图像知道k和b的取值范围以及熟知一次函数

的图像性质.

考点8：一次函数图像性质一一增减性

典例8：（23-24八年级上•贵州贵阳•期末）下列函数中，y的值随无增大而增大的是（）

1

A.y=-2x+1B.y=--xC.y=2x+1D.y=—x+2

【答案】c

【分析】本题主要考查了一次函数的增减性.熟练掌握一次函数丫=/«+〃卜片0）中，当k>0时，y

随x的增大而增大.当k<0时，y随x的增大而减小，是解决问题的关键.

根据一次函数自变量的系数的正负，判定一次函数的增减性，进行解答即可.

【详解】A.y=-2x+1,

V-2<0,

的值随x增大而减小，

•••此选项不符合题意；

1

B.y=--x,

V--<0,

3

y的值随x增大而减小，

,此选项不符合题意；

C.y=2%+1,

V2>0,

.'.y的值随x增大而增大，

此选项不符合题意；

D.y=—X+2,

V-1<0,

的值随x增大而减小，

此选项不符合题意.

故选：C.

【变式11（23-24八年级上•浙江宁波・期末）若一次函数y=（4—3k）x-2的图象经过点4（右,月）和

点B（久2，%），当％1>久2时，、1<丫2，则々的取值范围是（）

2244

A.k<-B.k>-C.k<-D.k>-

4433

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题

的关键.

根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围.

【详解】解：当久1>%2时，％<丫2，则y随X的增大而减小，

：.4-3k<0,

解得：

故选：D.

【变式2］（23-24八年级上•浙江•期末）已知（%,月），（%2,%），（孙，丫3）为直线y=2x—1上的三

个点，且%I<%2<%3，则以下判断正确的是（）

A.若％i%3<。，则y/z>oB.若％2的<。，则y,2>o

C.若％1%2>0，则y2y3>0D.若久2%3<°，则>0

【答案】B

【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交y轴于（0,-1）,交x轴于0）,画出图象，

结合一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的

思想是解此题的关键.

【详解】解：当％=0时，y=-1,则此直线交y轴于（0,-1），

当y=0时，2%—1=0,解得：x=|,则此直线交久轴于G，0）,

画出一次函数y=2x-1的图象如图所示：

若％I%<°，且％1<%2<%3，

・,・V0,%3>0,

此时丫1<0,但为的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意;

右X2刀3<°，且X1<%2<%3，

*'•比1<%2<0,Xg>0,

此时乃<0,y2<0,故yi>2>。，故B选项正确，符合题意；

若％1刀2>°，且<x2<x3,

xr<x2<0或0<久1<久2，

当X1<%2<0时，％<、2<0,此时丫3的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意；

右X2“3<。，且X1<%2<%3，

X1<%2<。，丫3>0,此时y1<0,但丫3的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意；

故选：B.

【变式3]（23-24七年级上.山东泰安・期末）一次函数y=—x+3的图像过点Oi，%），（/+1,%），

01+2/3），则（）

A.y3<y2<yiB.y!<y2<y3

c.y2<yi<y3D.为<%<y2

【答案】A

【分析】根据一次函数的增减性求解即可.

本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b"为常数，k羊0）,当々>。时，y随

x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.

【详解】-3<0,

随尤增大而减小，

•••<%]+1<+2,

•*yi>Y2>为，

即为<%<%，

故选：A.

考点9：一次函数图像性质一一与k、b关系

典例9：（2023•云南•模拟预测）一次函数y=7x+b（b>0）的图象一定不经.（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，尤其是图象的位置与人b的关系.根据y=7%+

6（620）确定鼠b的符号，然后根据一次函数的图象和性质即可确定其所过象限，即可解题.

【详解】解：,•・一■次函数解析式为y=7x+b（b20）,7>0,b>0,

二一次函数图象可能经过一、二、三象限，

.,.一次函数y=7x+b（b>0）的图象一定不孥.第四象限，

故选：D.

【变式1】（23-24八年级下•四川攀枝花•期中）一次函数y=（m+l）x+5的图像不经过第四象限，

则m的取值范围是（）

A.m>—1B.m<—1C.m=—1D.m<1

【答案】A

【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系：①k>0,b>Ooy=kx+b的图象在一、二、三象

限；@k>0,b<0Qy=kx+b的图象在一、三、四象限；@k<0,6>0=y=kx+b的图象

在一、二、四象限；@k<0,b<0oy=/«+b的图象在二、三、四象限.

【详解】解：=（m+1）%+5的图象不经过第四象限，

m+1>0,

解得：m>-1,

故选：A.

【变式2】（23-24九年级下•甘肃定西•阶段练习）直线y=（2小一l）x+n经过第一、三、四象限，则

点P（-ni,n）所在象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】此题考查了各象限点的特征，根据直线y=（2巾-l）x+n经过第一、三、四象限得到机、«

的取值范围，即可得到答案.

【详解】解：•••直线y=（26一1次+71经过第一、三、四象限，

'.2m—1>0,n<0,

1

m>-,n<0

2，

・'・一THV—<0,71V0

2

.•.点P（-小，切所在象限为第三象限，

故答案为：C

【变式3］（22-23八年级下•新疆乌鲁木齐•期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则匕6的

取值范围是（）

A.k>0,b>0B.k>0,b<0

C./c<0,b>0D.fc<0,b<0

【答案】D

【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即

可，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键.

【详解】解：•••一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象限，

.'.k<0,b<0,

故选：D.

考点10：一次函数图像性质一一平移问题

典例10：(2024・湖南长沙•模拟预测)直线y=依沿y轴向下平移2个单位后与x轴的交点坐标是(-2,0),

以下各点在直线y=质上的是()

A.(-3,0)B.(0,-3)C.(-2,2)D.(2,2)

【答案】C

【分析】本题考查一次函数的图像与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函

数的解析式，根据“上加下减”的原则求解即可.熟知函数图像上点的坐标满足解析式是解题的关键.

【详解】解:直线y=依沿y轴向下平移2个单位后与x轴的交点坐标是(-2,0),

将x