高考数学第一轮复习教案-专题8平面向量

PAGEPAGE25专题八平面向量一、考试内容：

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．

二、考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

（2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．三、命题热点高考对解析几何的考查主要包括以下内容：平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。在高考中重点考查：平面向量的数量积、平面向量的几何意义等。四、知识回顾（一）本章知识网络结构（二）向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则向量的减法三角形法则,数乘向量1.是一个向量,满足:2.>0时,同向;<0时,异向;=0时,.向量的数量积是一个数1.时，.2.4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则＝＋(线段的定比分点的向量公式)(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或(5)平移公式设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则＝+a或曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即]则：①AE==1/2（b+c-a）②BN==1/2（a+c-b）③FC==1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.⑹在△ABC中，有下列等式成立.证明：因为所以，所以，结论！⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则.证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化简可得，（斯德瓦定理）①若AD是BC上的中线，；②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；③若AD是BC上的高，，其中为半周长.⑻△ABC的判定：△ABC为直角△∠A+∠B=＜△ABC为钝角△∠A+∠B＜＞△ABC为锐角△∠A+∠B＞附：证明：，得在钝角△ABC中，⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①①式叫做平面的向量表达式7空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使8空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.9．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.10．向量的数量积：．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.可以证明的长度．11．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）．12．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）（3）（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a1,a2,a3),，则∥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)②空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.五、典型例题例1在下列各命题中为真命题的是()①若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则·=x1y1+x2y2②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则｜｜=③若=(x1,y1)、=(x2,y2),则·=0x1x2+y1y2=0④若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0A、①②B、②③C、③④D、①④解：根据向量数量积的坐标表示；若=(x1,y1),=(x2,y2)，则·=x1x2+y1y2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于·=0=或=或⊥x1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，⊥x1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0时，可以是x1=y1=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0⊥)，所以命题(4)是个假命题、例2已知=(－,－1),=(1,)，那么，的夹角θ=()A、30°B、60°C、120°D、150°解：·=(－,－1)·(1，)=－2｜｜==2｜｜==2∴cosθ===例3已知=(2,1),=(－1,3),若存在向量使得：·=4,·=－9，试求向量的坐标、解：设=(x,y),则由·=4可得：2x+y=4；又由·=－9可得：－x+3y=－9于是有：由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,将它代入(1)可得：x=3∴=(3,－2)、说明：已知两向量，可以求出它们的数量积·，但是反过来，若已知向量及数量积·，却不能确定、例4求向量=(1,2)在向量=(2，－2)方向上的投影、解：设向量与的夹角θ、有cosθ===－∴在方向上的投影=｜｜cosθ=×(－)=－例5已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、解：设点D的坐标为(x,y)∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥又∵C、B、D三点共线，∴∥又=(x－2,y－1),=(－6,－3)=(x－3,y－2)∴解方程组，得x=,y=∴点D的坐标为(，)，的坐标为(－，)例6设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，、解：∵｜｜＝｜｜=1，∴可设=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)、∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)由(2)得：sinα=－sinβ……(4)∴cosα=1－cosβ=∴sinα=±,sinβ=或例7对于向量的集合A={=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意两个向量、与两个非负实数α、β；求证：向量α+β的大小不超过α+β、证明：设=(x1,y1)，=(x2,y2)根据已知条件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1又因为｜α+β｜==其中x1x2+y1y2≤≤1所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β例8已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB、求证：AC⊥BC证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴=(－1,1),=(1,1)·=－1×1+1×1=0∴BC⊥AC、例9已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值、解，设C(x,0)(x＞0)则=(－x,a),=(－x,b)则·=x2+ab、cos∠ACB==令t=x2+ab故cos∠ACB=当=即t=2ab时，cos∠ACB最大值为、当C的坐标为(,0)时，∠ACB最大值为arccos、例10如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF(2)PA⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜｜=λ,则A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)∴=(－λ,1－λ),=(λ－1,－λ)(1)｜｜2=(－λ)2+(1－λ)2=λ2－λ+1｜｜2=(λ－1)2+(－λ)2=λ2－λ+1∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF(2)·=(－λ)(λ－1)+(1－λ)(－λ)=0∴⊥∴PA⊥EF、例11已知求；②当k为何实数时,k与平行,平行时它们是同向还是反向？解：①=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴==.②k=k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).设k=λ(),即(k－2,－1)=λ(7,3),∴.故k=时,它们反向平行.例12已知与的夹角为,若向量与垂直,求k.解：=2×1×=1.∵与垂直,∴()=,∴2k=－5.例13如果△ABC的三边a、b、c满足b2+c2=5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线,求证：BE⊥解：∴⊥,即BE⊥CF.例14是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足，，，两两不共线，有(+)·(+)=(+++)·(++)=(2++)·(2+)=(2－)·(2+)=42－2=42－2=0有(+)与(+)垂直、同理证其他情况、从而，，，满足题意、故存在这样4个平面向量、利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例15已知向量满足条件，，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即①②①②两式平方和为，，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.例16求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=..利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例17已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，，则，.=，从而，.利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例18已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，，所以，易求，设.例19如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.利用向量的数量积解决两直线垂直问题例20如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求证：C1C⊥BD(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.(1)证明：设=a,=b,=c,依题意，|a|=|b|，、、中两两所成夹角θ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥由=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥∴=1时，A1C⊥平面C1BD.例21如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A(1)求的长；(2)求cos<>的值；(3)求证：A1B⊥C1M解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴||=.(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴==(0，1，2)=1×0+(－1)×1+2×2=3||=(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()∴∴A1B⊥C1M利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例22求平面内两点间的距离公式解：设点，,而点与点之间的距离为：利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例23证明:证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例24证明柯西不等式证明：令当或时，，结论显然成立；当且时，令为的夹角，则.又（当且仅当时等号成立）.（当且仅当时等号成立）平面向量的坐标运算1、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝________.解析ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由于ma＋nb与a－2b共线，则有eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，∴n－2m＝12m＋8n，∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)六、近几年高考试题分析(2009·湖南文)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若则x＝___________________________，y＝__________.解析又又设则由题意知又∵∠BED=60°,显然与的夹角为45°.∴由得eq\f(\r(6),2)×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝eq\f(\r(3),2)＋1.同理,在两边与数量积可得y＝eq\f(\r(3),2).答案1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)（2011湖南文科）14、在边长为1的正三角形中，设，则。答案：解析：由题，，所以。(2010年湖南文科)七、总结由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。八、命题预测高考对给部分考查的主要内容为：平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。高考对该部分的考查重基础，试题的难度一般是中等偏下。在高考中重点考查：平面向量的数量积、平面向量的几何意义等。预测1.已知向量，其中，函数的最小正周期为，最大值为3。（1）求和常数的值；（2）求函数的单调递增区间。解析：（1），，由，得。又当时，得.（2）由（1）当，即，故的单调增区间为，。动向解读：本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。三角函数解答题的命题方向：（1）考查三角函数的图像与性质为主，一般需要求出函数的解析式，通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。（2）考查三角形中的三角恒等变换，其核心为根据正余弦定理实现边角之间的互化。（3）考查利用正余弦定理解三角形（包括实际应用题），这在近几年课标区高考试题中经常考到。九、巩固练习【平面向量练习】一、选择题：1、下列各式中正确的是（C）（1）(λ·a)·b=λ·(ab)=a·(λb),（2）|a·b|=|a|·|b|,（3）(a·b)·c=a·(b·c),（4）(a+b)·c=a·c+b·c A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.2、在ΔABC中,若(+)·(－)=0,则ΔABC为（C） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定3、若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为（A）A．30° B．60° C．150° D．120°4、已知|a|=1,|b|=,且(a－b)和a垂直,则a与b的夹角为（D）A．60° B．30° C．135° D．45°5、若·+=0,则ΔABC为（A） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形D．等腰直角三角形6、设|a|=4,|b|=3,夹角为60°,则|a+b|等于（C） A．37 B．13 C． D．7、己知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为600,c=3a+b,d=λa－b,若c⊥d,则实数λ A． B． C． D．8、设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则（D）①(ab)c－(ca)b=0②|a|－|b|<|a－b|③(bc)a－(ca)b不与c垂直④(3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|其中真命题是 （） A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空题：9、已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=－18的向量a=__________.－18e10、设a=(m+1)i－3j,b=i+(m－1)j,(a+b)⊥(a－b),则m=________.－211、|a|=5,|b|=3,|a－b|=7,则a、b的夹角为__________.120°12、a与d=b－关系为________.a⊥b三、解答题：13、已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求：①a·b；②(2a－b)·(a+3b)解：①|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2=.②（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b=2×42+5×（－10）－3×52=－93.14、四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，判断四边形ABCD是什么图形？分析：在四边形ABCD中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对a+b=－（c+d），两边平方后，用a·b=b·c=d·c代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|∵a·b=c·d，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……①同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……②①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|.∴ABCD为平行四边形.又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c，∵b·（2a）∴a⊥b，∴四边形ABCD为矩形.15、已知：|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,问当且仅当k为何值时,向量ka－b与a+2b垂直？解：.【平面向量的综合应用练习】一、选择题1.设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四边形解析：=(1，2），=(1，2），∴=，∴∥，又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四边形，又||=，=(5，3），||=，∴||≠|},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故选D答案：D2.已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是()A.30° B.－150° C.150° D.30°或150°解析：∵·3·5sinα得sinα=,则α=30°或α=150°.又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C二、填空题3.将二次函数y=x2的图象按向