专题01指数幂的拓展指数幂的运算性质（高效培优讲义）数学北师大版2019

专题01指数幂的拓展，指数幂的运算性质教学目标1.理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。2.掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。3.掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。教学重难点1.重点：掌握无理数、实数指数幂的计算。2.难点：掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算.知识点01整数指数幂的概念及运算性质（重点）整数指数幂的概念(1)=a⋅2、运算法则(1)am⋅a(2)am(3)am【即学即练】1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知a>0，则a13aA．a16 B．a13 C．【答案】D【解析】a1故选：D2．（2425高一上·江西赣州·开学考试）下列运算正确的是（

）A．a2⋅aC．(3a+1)(3a-1)=9a【答案】C【解析】对于A，a2⋅a对于B，(-2a对于C，(3a+1)(3a-1)=9a对于D，(2a3-故选：C知识点02根式的概念和运算法则（重点）1.若xn=yn∈N*,n>1,y∈n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为±ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为2.两个等式（1）当n>1且n∈N*时，na【即学即练】1．（2425高一上·全国·课前预习）下列各式正确的是（

）【答案】B对于B，由3-23对于C，由-22=2对于D，由4a4=a故选：B.2．（2425高一上·全国·课前预习）求下列根式的值．(1)4((3)4(x+1【答案】(1)2(2)2(3)x+1,x（2）原式=2（3）原式=知识点03分数指数幂的概念和运算法则（重难）为避免讨论，我们约定a>0，n，m∈N*(1)a1n=(2)amn=((3)a【即学即练】1．（2425高一上·全国·课前预习）3a⋅aA．a12 B．a32 C【答案】A【解析】原式=32．（2425高一上·全国·课后作业）若m=2，则23⋅A．642 B．323 C．64 D【答案】D【解析】23知识点04有理数指数幂的运算（重难）1.有理数指数幂的运算性质设（1）a（2）(（3）(ab当a>0，p为无理数时，ap2．指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2-b2=(a-b)(a+b)，(a±b【即学即练】1．（2425高一上·全国·课前预习）（1）化简：3a【解析】（1）3a∴x22．（2425高一上·全国·周测）（1）求值：16（2）设m2x=2，且m>0，求m【解析】（1）1==2-=-（2）因为m2x=2，且所以m=m=m知识点05无理数指数幂（重难）一般地，无理数指数幂aα（a>0，α定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．【注意事项】无理数指数幂的两注意(1)它是一个确定的实数；(2)它是有理数指数幂无限逼近的结果．【即学即练】1．计算：(1)(2(2)3【答案】(1)12(2)1．【解析】（1）2=3（2）原式=a2．（2425高一上·全国·周测）已知函数f(1)若fx+fx(2)若gx=fx+【解析】（1）因为fx+fx-1=3，所以（2）gx=fx所以当t=2即x=1时，取最小值为y知识点06实数指数幂的运算性质（难点）将指数幂从整数指数幂拓展到实数指数幂后，有以下运算性质成立：设a>0,r,s∈R，则（1）aras【即学即练】1．（2024秋·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）（1）化简：aπ33（2）化简：a-πb3【解析】（1）原式=a（2）原式=-题型01由根式的意义求范围【典例1】求使等式(a-3)a2-【答案】-要使a-需a-3≤0a+3≥0解得a即实数a的取值范围是-3,3由根式的意义求范围对于奇次方根而言，其被开方数为全体实数，对于偶次方根而言，其被开方数为非负数，若根式位于分母位置，此时其被开方数不能为0，根据各限制条件列不等式组即可求得参数的取值范围.【变式11】若64a2-4a+1=【答案】D可得2a-1⩽0，即a⩽12．∴实数a的取值范围是故选：D．【变式12】求使等式a-3a2【答案】[3，3]需a-3≤0a+3≥0，【变式13】满足方程x+5-4x+1+x+10-6x+1=1【答案】无数个【解析】设x+1=t≥0，则x=故满足方程x+5-4x+1+x+10-6题型02根式的化简与求值【典例2】（2024秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：π-42A．1 B． C．7-2π D．2π-【答案】A【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.【解析】π-故选：A.根式的化简与求值的策略1.此类问题应熟练应用am2.当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．【变式21】若y=x2-4+4-【答案】2所以y=x所以x2+y=4+4=8，所以x2故答案为：2.【变式22】使得等式1+1+a=3a成立的实数【答案】8【解析】解：由题意可得，1+a≥0，所以1+1+a≥1设3a=t，则1+⇔1+⇔1+⇔⇔所以3所以a=8故答案为：8【变式23】计算下列各式的值：(1)(-(2)log3【解析】（1）解：原式=(=(=-（2）解：原式=题型03有限制条件的根式的化简【答案】2故答案为：2 多重根式的化简策略对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可.【答案】2【解析】由a>b>0，a2+b设t=ab，则t>1，则解得t=2+3，（t=2故a2【变式32】若xy≠0，则等式x2A．x>0，y>0 B．x>0，y<0C．x<0，y>0 D．x<0，y<0【答案】C【解析】∵xy≠0，∴x≠0，y≠0．由x2y3>0故选C.【解析】对a12同时由a12-a-

1题型04根式与分数指数幂的互化【答案】-故答案为:-1根式与分数指数幂的互化策略根式是分数指数幂的另一种形式，因此两者之间可以相互转化.A．aB．xC．1D．2【答案】ABD【解析】对于A，a16-对于B，xa-1对于C，1-22对于D，2a3b故选：ABD．【变式42】化简：(1)9(2)a3⋅3【解析】（1）原式=（2）原式=【变式43】计算下列各式（式中字母都是正数）：(1)23(2)27(3)a-(4)23【解析】（1）原式=1+1（2）原式==5（3）原式===-（4）原式=2=1题型05指数幂的化简与求值【典例5】已知a=-827,b=1771【答案】9【解析】a=a因为a=-827故答案为：9指数幂的化简与求值策略指数幂的四则运算是一类常见题型，其运算顺序是:有括号的先算括号里面的，无括号的先作指数运算，再作加减乘除这四则运算(先乘除，后加减).进行指数幂的综合运算的具体方法有:幂的运算性质法、转化法、凑公式法.1.幂的运算性质法即利用书本上所讲述的三条幂的运算性质达到简化运算的目的2.转化法在指数幂的综合运算中，往往需要用到转化的思想，常见的转化技巧有：①小数化为分数,根式化为分数指数幂;②如果指数是负数,底数是分数,那么对调底数的分子和分母并将负指数变为正指数;③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式分解进行变形根式的化简结果.【变式51】下列各式中成立的是（

）A．mn7=C．4x3+【答案】D【解析】对于A选项，mn7=对于B选项，12-34对于C选项，x+y34=对于D选项，39=32故选：D.【变式52】若fx=x23-x【答案】(0,1)所以13x>0，即x>0，故x故答案为：(0,1)【变式53】下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（

）【答案】CB中，x-13故选：C．题型06整体代换法解决条件求值问题【答案】47【解析】由于9=32=这就意味着49=72=故答案为：47整体代换法解决条件求值问题对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．【变式61】已知x>0，x12-x-【答案】5【解析】因为x12-x-因为x>0，所以x12>0，x所以x1又x-所以x1故答案为：53【变式62】已知正数m、n满足3m⋅9n=9【答案】B【解析】因为正数m、n满足3m⋅9n=9所以，2m当且仅当3mn=4n因此，2m+3故选：B.【变式63】若实数a、b、c满足42a+12b=1【答案】15【解析】由42a+即2a+b≥16，当且仅当42由12可得：1+c2a+4×2b所以c=2a+b-1所以c=2a+b-1题型07解指数方程【典例7】解下列方程．【分析】（1）观察方程的特点，两边化成同底数的指数式，利用指数相等解方程；（2）利用换元法将换成，解关于的方程，再求的值．指数方程的类型及求解策略求解指数式方程的关键是通过指数运算进行等价转化，指数式方程常见的类型有：类型(1)通过同底法可解，类型(2)常利用换元法求解.【变式72】解下列指数方程：题型08指数幂的等式证明问题【典例81】证明下列恒等式.(1)(axx-y)(2)a-bc-a【分析】本题主要考查分数指数幂与根式的化简,同一道题中幂的底数均相同,这样就为应用运算性质提供了必备的条件,可用到的性质有(xm)n=xmn,xm·xn=xm+n及nxm=xm【证明】(1)左边=ax(x-=a=ax(y-z∴等式成立.(2)左边=mb+c(a-=m=m(b+c)(b-∴等式成立.【典例82】已知ax3＝by3＝cz3，及eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求证(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3)).【分析】本题考查分数指数幂的内容和证明的有关知识，以及利用“参数法”解决问题的能力，根据已知条件ax3＝by3＝cz3，设一个参数t，用含有t的式子表示ax2＋by2＋cz2与aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3))，从而找到(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))与aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3))的关系，这也是解决本题的关键．【解析】令ax3＝by3＝cz3＝t，则ax2＝eq\f(t,x)，by2＝eq\f(t,y)，cz2＝eq\f(t,z)，aeq\s\up6(\f(1,3))x＝beq\s\up6(\f(1,3))y＝ceq\s\up6(\f(1,3))z＝teq\s\up6(\f(1,3))，∴(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,x)＋\f(t,y)＋\f(t,z)))eq\s\up6(\f(1,3))＝teq\s\up6(\f(1,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)))eq\s\up6(\f(1,3)).又eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，∴(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝teq\s\up6(\f(1,3)).(5分)由aeq\s\up6(\f(1,3))x＝beq\s\up6(\f(1,3))y＝ceq\s\up6(\f(1,3))z＝teq\s\up6(\f(1,3))，得aeq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),x)，beq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),y)，ceq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),z)，∴aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),x)＋eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),y)＋eq\f(t\s\up6(\f(1,3)),z)＝teq\s\up6(\f(1,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋\f(1,z)))＝teq\s\up6(\f(1,3)).∴(ax2＋by2＋cz2)eq\s\up6(\f(1,3))＝aeq\s\up6(\f(1,3))＋beq\s\up6(\f(1,3))＋ceq\s\up6(\f(1,3)).指数幂等式的证明策略1.证明等式A＝B的常用思路：思路一：A＝C，B＝CA＝B.思路二：A－B＝0A＝B.思路三：aA＝aBA＝B.思路四：eq\f(A,B)＝1A＝B.2.有关条件等式的证明方法：对条件等式的证明问题，首先对条件进行化简或变形，对连等式有时要引进字母参数，设而不求，通过转化证明等式的左右两端相等，要注意引用分数指数幂的运算性质．题型09幂的综合应用问题【典例9】已知f(x)=x13-(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(已知y=x13在R(2)分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.【分析】利用函数单调性的定义证明;(2)由特殊到一般,得到猜想,再利用幂的运算性质进行证明.【解析】(1)证明:任取x1>x2>0,∵y=x13在R上是增函数,∴x1又∵(x1x2)-13>0,∴f(x1)f(x2)=15(x1=15(x113x21∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)经计算知f(4)5f(2)g(2)=0,f(9)5f(3)g(3)=0,由此猜想:f(x2)5f(x)g(x)=0.证明:f(x2)5f(x)g(x)=15(x23x-23)15(x13+x-13)(x【点拨】本题第(2)问所用方法为归纳法，归纳法解题的一般步骤为：(1)对特殊现象进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的一般结论，即猜想；（3）检验或证明猜想.幂的综合问题破解策略解决有关幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当的加工、处理、变形，以创设运用公式和幂的有关性质的条件，然后进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、化归与转化、换元等数学思想方法的运用.【变式9】已知f(x)=axax,g(x)=ax+ax(a>1).(1)求[f(x)]2[g(x)]2的值;(2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求g(x【解析】(1)[f(x)]2[g(x)]2=(axax)2(ax+ax)2=2ax·(2ax)=4.(2)∵f(x)·f(y)=4,∴(axax)(ayay)=4,∴ax+y+a(x+y)axyayx=4,即g(x+y)g(xy)=4①.∵g(x)·g(y)=8,∴(ax+ax)·(ay+ay)=8,∴ax+y+a(x+y)+axy+ayx=8,即g(x+y)+g(xy)=8②.由①②得g(x+y)=6,g(xy)=2,∴g(练基础1.（2024秋·北京·高一校考期中）将34⋅2A．276 B．2176 C．【答案】A【解析】34故选：A2．（2425高一上·全国·周测）若3m=5，3n=6，则下列式子值为A．32m-n+1 B．325m-6n C．3【答案】C【解析】因为3m=5，3n=6，所以所以12536故选：C．3．（2425高二下·天津河东·期末）已知p:a=b,q:2a=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知p:a当a=b时，a=b≥0，所以当a=b=-则p是q的充分不必要条件.故选：A.【答案】A所以f(-x)-f1=1所以f1-f-1=-1f-所以fx+f-x故选：A5．（2425高二下·广西·阶段练习）若5m=2，5n=3，A．223 B．23【答案】A【解析】因为5m=2，5n故选：A.6．（2425高一上·全国·课后作业）若a,b>0，则a-1-A．12a-2+b-2 B．-【答案】D【解析】a-故选：D.7．（多选）（2025·河北衡水·高一校考阶段练习）若存在实数a，b，c满足等式9a4+16b=81-24a2A．-92 B．﹣272 C．9【答案】ACD【解析】由式9a4+16b=81-24又9a2-16∴c=∵a2≥0,则c的值可能为-9故选：ACD．8．（多选）（2025·山东泰安·高一泰安一中校考期中）若正实数a，b满足a+2b=1，则下列说法正确的是（

）A．1a+B．2a+C．ab有最大值1D．a2+【答案】AB【解析】1a+2b=(2a+4b=2aa+2b=1≥22ab，则ab≤18，当且仅当a=2b,即a=由a=1-2b，则a2+b所以a2+b2≥1故选：AB【答案】2【答案】2【解析】由题意可知，a<2，所以a-2<0，则6a11．（2025·江苏·高一专题练习）已知a1(1)a+a(2)a2【解析】（1）因为a12+（2）因为a+a-1=312．（2025·山东·校联考模拟预测）计算：(1)(-(2)5【解析】（1）原式=1+=1+1（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，5练提升13．（2425高三上·山东威海·期末）已知集合A=1,2,3,4,8,B=xx1【答案】B当x13=2故选：B.A．2 B．22 C．4 D．【答案】D所以8a+2b=故选：D．15．（2425高一上·全国·课后作业）（多选）已知a-3+a3C．a32+【答案】ACDB.a33+C.由a-3+a3因为a32+a-故选：ACD.16．（2024秋·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）设10a=2，100b【答案】【解析】由题意可知，10故答案为：.17.（2024秋·河南洛阳·高一校考阶段练习