2017-2018学年高中数学北师大版选修4-1阶段质量检测（二）圆锥曲线

阶段质量检测(二)圆锥曲线(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的)1．一组平行平面与一圆锥面的交线，具有()A．相同的焦距 B．相同的准线C．相同的焦点 D．相同的离心率2．如图，三棱锥S－ABC中，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，且AB⊥SC，则四边形EFGH是()A．平行四边形 B．矩形C．正方形 D．菱形3．下列叙述中，不是圆锥曲线的是()A．平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹B．平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹C．平面上到定点和定直线的距离相等的点的轨迹D．到角的两边距离相等的点的轨迹4．方程x2－3x＋2＝0的两根可作为()A．两个椭圆的离心率B．一双曲线、一条抛物线的离心率C．两双曲线的离心率D．一个椭圆、一条抛物线的离心率5．已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为eq\f(\r(2),2)，则平面β与圆柱母线的夹角是()A．30° B．60°C．45° D．90°6．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．1＋eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)7．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．2 D．38．一平面与圆柱母线的夹角为45°，则该平面与圆柱面交线是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线9．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为()A．2 B．3C．5 D．710．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1内一点P(1，－1)，F是右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|＋2|MF|的值最小，则点M的坐标()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2\r(6),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，－1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(6),3)))二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两母线的夹角)为120°.当圆锥的截面与轴成60°时，截得的二次曲线是________．12．水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆(如图)，在平面直角坐标系中，O为原点，设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，篮球与地面的接触点为H，则|OH|＝________.13．将两个半径为2cm的球嵌入底面半径为2cm的圆柱中，使两球的距离为6cm；用一个平面分别与两个球相切，所成的截线为一个椭圆，则该椭圆的长轴长为________cm，短轴长为________cm，焦距为________cm，离心率为________cm.14．有半径为13的球面上有A，B，C三点，AB＝6，BC＝8，CA＝10，则(1)球心到平面ABC的距离为________；(2)过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，求截得二次曲线的形状及离心率．16．(本小题满分12分)P是椭圆上的任意一点，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，椭圆离心率为e.求证：e＝eq\f(sinθ,sinα＋sinβ)，并写出在双曲线中类似的结论．17．(本小题满分13分)如图所示，用一个平面分别与球O1，O2切于F1，F2，截圆柱轴截面于G1，G2点，求证：所得截面为椭圆．18.(本小题满分13分)一个顶角为60°的圆锥面被一个平面γ所截，如图所示的“焦球”均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则截线的形状是什么曲线？其离心率是多少？答案1．选D因为平行平面与圆锥轴线夹角相等．由离心率定义e＝eq\f(cosβ,cosα)，故e相同．2．选B∵EF∥AB、HG∥AB，∴EF∥HG，同理EH∥FG.∴四边形EFGH为平行四边形．又AB⊥SC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH为矩形．3．选DD是角平分线，故不是圆锥曲线，A，B，C分别描述的是椭圆、双曲线、抛物线．4．选B方程x2－3x＋2＝0，两根x1＝1，x2＝2.故表示双曲线与抛物线的离心率．5．选C设平面β与圆柱曲线的夹角是φ∴cosφ＝eq\f(\r(2),2)，∴φ＝45°.则2R＝eq\r(12＋12＋12)，∴R＝eq\f(\r(3),2).又直线EF与球O的球心距离为eq\f(1,2)，∴直线EF被球O截得的线段长MN＝2eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\r(2).7．选B由4b＝2a＋2c，∴2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋2ac＋c2，∴4c2－4a2＝a2＋2ac＋c2，∴5a2＋2ac－3c2＝0，∴eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).8．选B由定义知为椭圆．9．选D因P在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，设左、右焦点分别为F1，F2，则PF1＋PF2＝10，∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7.10．选B设M(x，y)，由M引右准线的垂线，垂足M1，由第二定义知|MM1|＝2|MF|，∴|MP|＋2|MF|＝|MP|＋|MM1|.显然，当P，M，M1三点共线时有最小值，过P引准线的垂线y＝－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12，,y＝－1，))解得M点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，－1)).11．解析：由题知α＝60°，β＝60°，满足β＝α.∴截得的是抛物线．答案：抛物线12．解析：接触点H是椭圆的一个焦点，证明如下：椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，设焦距为2c.球的半径为R，则b＝R，则AA′∥BB′∥OO′.∠AO′B＝180°－∠O′AB－∠O′BA＝180°－eq\f(1,2)(∠A′AB＋∠B′BA)＝180°－eq\f(1,2)×180°＝90°，在Rt△AO′B中，OA＝OB＝OO′＝a，又由O′H＝R＝b，O′H⊥AB，得OH＝eq\r(O′O2－O′H2)＝eq\r(a2－b2).答案：eq\r(a2－b2)13．解析：由圆锥曲线的定义知长轴长为6cm，短轴长为4cm，焦距2eq\r(5)cm∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).答案：642eq\r(5)eq\f(\r(5),3)14.解析：∵AB2＋BC2＝CA2，∴∠ABC＝eq\f(π,2)，∴△ABC外接圆圆心为AC中点，且半径为5.(1)如图，BO1＝5且OO1⊥面ABC，又OB＝13，∴OO1＝eq\r(132－52)＝12.(2)作O1D⊥AB于D，则O1D綊eq\f(1,2)BC，∴O1D＝4，连接OD，则OD⊥AB，∴∠ODO1为所求二面角．∴tan∠ODO1＝eq\f(OO1,O1D)＝eq\f(12,4)＝3.答案：(1)12(2)315．解：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截面截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝eq\f(cos45°,cos60°)＝eq\r(2).16．证明：在△PF1F2中，由正弦定理得eq\f(PF1,sinβ)＝eq\f(PF2,sinα)＝eq\f(F1F2,sinθ)，∴PF1＝F1F2×eq\f(sinβ,sinθ)，PF2＝F1F2×eq\f(sinα,sinθ).设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c.由椭圆定义，2a＝PF1＋PF2＝F1F2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinβ,sinθ)＋\f(sinα,sinθ)))＝F1F2×eq\f(sinα＋sinβ,sinθ)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,F1F2×\f(sinα＋sinβ,sinθ))＝eq\f(sinθ,sinα＋sinβ).对于双曲线的离心率e有：e＝eq\f(sinθ,|sinα－sinβ|).17．证明：由平面图形的性质可知，当点P与G1或G2重合时．G2F1＋G2F2＝BD＝AC，G1F1＋G1F2＝AC.当P不与G1，G2重合时，连接PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点分别是F1，F2，过P作圆柱的母线，与两个球分别相交于K1，K2，由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2，所以有PF1＋PF2＝P