2026人教A版高考数学一轮复习专练：随机事件、频率与概率

第4节随机事件、频率与概率

考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的意义以

及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.

■知识诊断自测

【知识梳理】

1.样本空间和随机事件

⑴样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,常用o表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有几个可能结果02,…，COn,则称样本

空间。={01,①2,…，工}为有限样本空间.

（2）随机事件

①定义：将样本空间。的壬集称为随机事件，简称事件.

②表示：大写字母A,B,C,….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.事件的关系

定义表示法图示

包含若事件A发生，事件3一定发生,称事

或AQB）

关系件B包含事件A（或事件A包含于事件B）o

互斥如果事件A与事件B不能同时发生,称若AHB=0,

事件事件A与事件B互斥（或互不相容）则A与3互斥

如果事件A和事件B在任何一次试验中若ACiB=0,

对立

有且仅有一个发生,称事件A与事件3且AU5=0,

事件,

互为对立，事件A的对立事件记为A则A与3对立

3.事件的运算

定义表示法图示

并事件事件A与事件3至少有一个发生，称这（或A+B）

个事件为事件A与事件B的并事件(或和

事件)

事件A与事件B同时发生，称这样一个

交事件事件为事件A与事件B的交事件(或积事AHW或AB)

件)

4.概率与频率

⑴频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，

即事件A发生的频率以A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这

个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用：可以用频率%(A)估计概率P(A).

［常用结论与微点提醒］

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组

成的集合的补集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，

即P(AiUA2U-UA„)=P(AI)+P(A2)H------PP(4).

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.()

(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则OWP(A)WL()

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中

奖的概率.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

解析随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误.(4)中，

甲中奖的概率与乙中奖的概率相同.

2.(必修二P235Tl改编)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次

中靶”互为对立的是（）

A.至多一次中靶

B.两次都中靶

C.只有一次中靶

D.两次都没有中靶

答案D

解析连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次

都没有中靶，故选D.

3.（必修二P235T2改编）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件

A,“向上的点数是1或5”为事件3,则（）

A.AU3表示向上的点数是1或3或5

B.A=B

C.AUB表示向上的点数是1或3

D/AB表示向上的点数是1或5

答案A

解析设4={1,3},B={1,5},

则AnB={l},AUB={1,3,5）,

：.A^B,AA3表示向上的点数是1,AUB表示向上的点数为1或3或5.

4.（必修二P257T1改编）把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次

正面向上，504次反面向上，则掷一次硬币正面向上的概率为.

答案0.5

解析掷一次硬币正面向上的概率为05

■考点

考点一随机事件与样本空间

例1（1）在1,2,3,…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个

数字的和大于5”这一事件是.（填“必然事件”或“不可能事件”）

答案必然事件

解析从1,2,3,…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字

和的最小值为1+2+3=6,

・•.事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，

由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.

(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次

摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()

A.5B.6C.7D.8

答案D

解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为。={(红，红，

红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，

(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}.共8个.

感悟提升确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件.

(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,

按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

训练1(1)下列说法错误的是()

A.任一事件的概率总在［0,1］内

B.不可能事件的概率一定为0

C.必然事件的概率一定为1

D.概率是随机的，在试验前不能确定

答案D

解析任一事件的概率总在［0,1］内，不可能事件的概率为0,必然事件的概率为

1,概率是客观存在的，是一个确定值.

(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x,y)表示结果，记A为“所得点数之和小

于5”，则事件A包含的样本点的个数是()

A.3B.4C.5D.6

答案D

解析事件A包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个样本

点.

考点二事件的关系与运算

例2(1)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对

立的两个事件的是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球

B.恰有一个红球；都是白球

C.至少有一个红球；都是白球

D.至多有一个红球；都是红球

答案B

解析对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个

白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；

对于B,“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，

而任取两球还可能都是红球，故两事件不是对立事件；

对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与'‘都是白球”显然是对

立事件；

对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事

件.

（2）（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A=｛两弹

都击中飞机｝,事件3=｛两弹都没击中飞机｝,事件C=｛恰有一弹击中飞机｝,事

件。=｛至少有一弹击中飞机｝,则下列关系正确的是（）

A.AAD=B.BAD=

C.AUC=DD.AUB=BUD

答案BC

解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚

击中，

“至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都

击中，

故AADW,BHD=,AUC=D,

感悟提升1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同时发

生的事件，但也可以同时不发生；（2）对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的

两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥

事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一

定是互斥事件.

训I练2(1)(多选)口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从

中取出两个球，事件A=”取出的两个球同色”，B="取出的两个球中至少有一

个黄球"，C="取出的两个球至少有一个白球”，。="取出的两个球不同色”，

E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断正确的是()

A.A与D为对立事件B.B与C是互斥事件

C.C与E是对立事件D.P(CUE)=1

答案AD

解析当取出的两个球为一黄一白时，3与。都发生，B不正确；

当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；

显然A与。是对立事件，A正确；

CUE为必然事件，P(CUE)=1,D正确.

(2)(多选)下列说法正确的是()

A.对立事件一定是互斥事件

B.若A,3为两个互斥事件，则尸(AU为uPlQ+P。)

C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P0)+P(O=1

D.若事件A,3满足尸(A)+P(5)=l,则A,3互为对立事件

答案AB

解析对于C,概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一

定是必然事件，错误；

对于D,对立事件和的概率公式逆用不正确，例如两种没有联系的事件，概率和

满足P(A)+P(B)=1,但A,B不对立,故D错误.

考点三频率与概率

例3如图，A地到火车站共有两条路径Li和Li,现随机抽取100位从A地到达

火车站的人进行调查，调查结果如下：

4

所用时间(分钟)10-2020〜3030-4040〜5050〜60

选择Li的人数612181212

选择工2的人数0416164

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

⑵分别求通过路径Li和山所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能

在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16

+4=44(人)，

44

•••用频率估计相应的概率为2=诉=0.44.

⑵选择L的有60人，选择心的有40人，

故由调查结果得频率为

所用时间(分钟)10-2020〜3030〜4040〜5050〜60

Li的频率0.10.20.30.20.2

Li的频率00.10.40.40.1

(3)设Ai,A2分别表示甲选择L和心时，在40分钟内赶到火车站；Bi,比分别

表示乙选择Li和上时，在50分钟内赶到火车站.

由(2)知P(Ai)=0.1+0.2+0.3=0.6,

P(A2)=0.1+0.4=0.5,

VP(AI)>P(A2),I.甲应选择Li.

同理，尸(30=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

・•.乙应选择L2.

感悟提升1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率

是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频

率来作为随机事件概率的估计值.

2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率

会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.

训练3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售

价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往

年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于

25℃,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25),需求量为300瓶；如

果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前

三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的

进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃,由

表中数据可知，最高气温低于25。。的频率为2+&36=06

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为06

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温低于20℃,

则Y=200X6+(450-200)X2—450X4=-100；

若最高气温位于区间［20,25),

则y=300X6+(450—300)X2—450X4=300；

若最高气温不低于25℃,

则7=450X(6-4)=900,

所以，利润y的所有可能值为一100,300,900.

y大于零当且仅当最高气温不低于20℃,

由表格数据知，最高气温不低于20。。的频率为36+2：［7+4=0&

因此y大于零的概率的估计值为08

■课时分层精练

【A级基础巩固】

L下列事件中不可能事件或必然事件的个数是()

①2025年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；

④xGR,则国的值不小于0.

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析①为随机事件，②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件.

2.(2024.三明调研)一个不透明的袋子中装有8个红球、2个白球，除颜色外，球的

大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球.下列事件为不可能事件

的是()

A.3个都是白球B.3个都是红球

C.至少1个红球D.至多2个白球

答案A

解析从8个红球、2个白球中采用不放回的方式从中摸出3个白球，不可能发

生，故选A.

3.(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A="只有一次中靶"，B="两次都

中靶”，则下列结论正确的是()

A.AQB

B.AnB=0

C.AUB="至少一次中靶”

D.A与B互为对立事件

答案BC

解析事件A="只有一次中靶"，B="两次都中靶”，所以A,3是互斥但不

是对立事件，所以A,D错误，B正确；

AUB="至少一次中靶”，C正确.

4.已知随机事件A和3互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=()

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

答案A

解析•••随机事件A和3互斥，且

P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,

P(A)=P(AU5)-P(B)=0.7—0.2=0.5,

P(A)=1—P(A)=1—0.5=0.5.

5.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为

事件3,则()

A.AG3

B.A=B

C.A+B表示向上的点数是1或2或3

D.A3表示向上的点数是1或2或3

答案C

解析由题意，可知A={1,2},B={2,3},则A3={2},A+B=[l,2,3),

...A+3表示向上的点数是1或2或3.

6.(多选)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张

卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有()

A.2张卡片不全为红色

B.2张卡片中恰有一张为红色

C.2张卡片中至少有一张红色

D.2张卡片都为绿色

答案BD

解析C中”2张卡片中至少一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者

并非互斥；

A中”2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B,D正确.

7.(多选)(2024.太原段考)下列说法正确的是()

A.若事件A与3互斥，则AUB是必然事件

B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著

中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E="甲取到《红楼梦》”，

事件F="乙取到《红楼梦》”，则E与R是互斥但不对立事件

C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A="向上的点数不大于5”，事件3

“向上的点数为质数”，则5GA

D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个

样本点

答案BCD

解析对于A,事件A与3互斥时，AU5不一定是必然事件，故A错误；

对于B,事件E与R不会同时发生，所以E与R是互斥事件，但除了事件E与歹

之外还有“丙取到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》"，所以E与R不是对立事件，

故E与R是互斥但不对立事件，故B正确；

对于C,事件A={1,2,3,4,5},事件3={2,3,5),

所以3包含于A,故C正确；

对于D,样本空间。={正品，次品},含有2个样本点，故D正确.

8.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动

物的脚数.则该试验的样本空间。=.

答案{0,2,4,6,8)

解析最少需要取3次，最多需要取7次，

那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，

所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.

9.某城市2024年的空气质量状况如下表所示：

污染指数T3060100110130140

111721

概率「

1063301530

其中污染指数TW50时，空气质量为优；50VTW100时，空气质量为良；100<

TW150时，空气质量为轻微污染，则该城市2024年空气质量达到良或优的概率

为.

3

答案5

1113

解析由题意可知2024年空气质量达到良或优的概率

10.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮

鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已

知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是

尺码为40〜42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40〜42的皮鞋约为

________双.

答案60

解析•.•第1,2,4组的频数分别为6,7,9,

...第1,2,4组的频率分别为

679

布=0.15,布=0.175,而=0.225.

•.•第3组的频率为0.25,

・•.第5组的频率是

1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,

售出的这300双皮鞋中尺码为40-42的皮鞋约为0.2X300=60(双).

n.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续

保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数01234三5

保费0.85〃a1.25〃1.5〃1.75〃2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数01234>5

频数605030302010

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值;

⑵记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的

160%”，求尸(3)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.

由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为与常=0.55,

故尸(A)的估计值为0.55.

⑵事件3发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

30+30

由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为『5一=03，

故尸(3)的估计值为03

(3)由所给数据得

保费0.85〃a1.25〃1.5〃1.75。la

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为

0.85aX0.30+oX0.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75。X0.10+2。X0.05

=1.1925a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a

12.(2024.荆州调考)在试验E：“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，观察

每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件”第一次掷出的点数为1”，事件40

=L2,3,4,5,6)表示随机事件”第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数

为)"，事件3表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事

件”第二次掷出的点数比第一次的大3”.

(1)试用样本点表示事件An3与AU&

(2)试判断事件A与事件3,事件A与事件C,事件3与事件C是不是互斥事件；

(3)试用事件却表示随机事件A

解由题意可知试验E的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,

3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,

4),(6,5),(6,6)).

(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1"，所以满足条件的样本点

有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).

因为事件3表示随机事件“两次掷出的点数之和为6"，所以满足条件的样本点

有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).

所以An3={(l,5)},AUB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)).

(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3"，所以C={(1,

4),(2,5),(3,6)).

因为An3={(l,5)}W,AAC={(1,4)}W,BAC=，所以事件A与事件

B,事件A与事件C不是互斥事件，事件3与事件C是互斥事件.

(3)因为事件40=1,2,3,4,5,6)表示随机事件”第一次掷出的点数为1,第

二次掷出的点数为r',

所以4=｛（1,1）｝,A2=｛（1,2）｝,A3=｛（1,3）｝,

A4=｛（1,4）｝,A5=｛（1,5）｝,A6=｛（1,6）｝,

所以A=A1UA2UA3UA4UA5UA6.

【B级能力提升】

13.（多选）（2024.昆明诊断）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）

随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：

所需时间（分钟）30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是（）

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事

件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.08

答案BD

解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,

A错误；

线路一所需的平均时间为30X0.5+40X0.2+50X0.2+60X0.1=39（分钟），线路

二所需的平均时间为30X0.3+40X0.5+50X0.1+60X0.1=40（分钟），所以B正

确；

线路一所需时间小于45分钟概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟概率为0.8,

小张应选线路二，故C错误；

所需时间之和大于100分钟则线路一，线路二的时间可以为（上班线路一5