2026人教A版高考数学一轮复习专练：离散型随机变量及其分布列、数字特征

第7节离散型随机变量及其分布列、数字特征

考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求

离散型随机变量的数字特征.

■知识

【知识梳理】

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点①，都有唯一的实数X(加与之

对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为

离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为XI,X2,…，扬，我们称X取每一个

值方的概率P(X=»)=2(，=1,2,…，〃)为乂的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量的分布列的性质

(1)跖20(，=1,2,…，”)；

(2)/71+〃2~1-----!-〃"=1.

4.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

・・・

XXIX2Xi・・・Xn

・・・・・・

PPiP2PiPn

⑴均值

n

E(X)+x2〃2~l-----------------=苫第也为随机变量X的均值或数学期望.它

反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)方差

n

2H2

D(X)=(XI-E(X))2pi+3—E(X))p2\-(Xn-E(X))2p"="Qxi—E(X))5为

随机变量X的方差，并称、(X)为随机变量X的标准差,记为负X),它们都可

以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.

5.均值与方差的性质

(l)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2>D(aX-\-b}=a2D(X)(a,6为常数).

［常用结论与微点提醒］

1.若X是随机变量，Y=aX+b,a,6是常数，则Y也是随机变量.

2.E(Xi+X2)=E(Xi)+E(X2);

D(X)=E(X2)-(E(X))2.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现

象.()

(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或

标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()

答案(1)J(2)X(3)V(4)V

解析对于(2),离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和

等于1,故不正确.

2.(选修三P63例1改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果

某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为()

A.0.2B.0.4C.0.8D.1

答案C

解析某运动员罚球1次的得分为X,X的取值可能为0,1,

P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=l)=0.8,

E(X)=0X0.2+IX0.8=0.8.

3.(选修三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X表

示一次试验的成功次数，则P(X=0)=.

答案3

解析设P(X=l)=p,则P(X=0)=1—p,

2

依题意得p=2(l—p),解得p=q,

故P(X=O)=1—/?=1.

4.(选修三P70T2改编)随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=1,E(X)

=1,则£>(&=.

答案I

解析设P(X=l)=p,P(X=2)=q,

C1

0Xg+p+2q=l,

由题意得彳］

g+p+q=l,

31

解得P=§,q=g，

1312

.,.D(X)=^X(O-I)2+^X(I-I)2+-X(2-I)2=^.

■考点

考点一分布列的性质

例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X-101

1

P2

2i—qq-q

则q=.

答案喙

解析由离散型随机变量分布列的性质得

1+1-q~\~q_q2=l,

1、历

J0W1一衿》解得尸学

(2)设随机变量X满足「(X』)=&，=1,2,3),则k=；P(XN2)=.

答案3]

解析由已知得随机变量X的分布列为

X123

kkk

p

248

.kkk.,8

--2+4+3=1>•♦左二］.

・••随机变量X的分布列为

X123

421

P

777

213

・•.P(XN2)=P(X=2)+P(X=3)=-+-=-

感悟提升离散型随机变量分布列的性质的应用

⑴利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

⑵利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些

特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

C.(l,2]D.(l,2)

答案C

解析由随机变量X的分布列知，P(X<l)=0.5,P(X<2)=0.8,

故当P(X<a)=0.8时，实数a的取值范围是(1,2].

(2)若随机变量X的分布列为

X-101

1

Pac

3

则P(|X|=1)=.

2

答案5

解析由随机变量x的分布列得

12

P(因=1)=P(X=-1)+P(X=l)=a+c=1-3=3.

考点二离散型随机变量的数字特征

例2（2024.运城模拟）为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办

了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深学生对新中国成立

以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经

济、政治时事的了解.组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两位选

手.每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道供两位选手抢答,

每位选手抢到每道试题的机会相等.比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得

10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手

得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜.已知甲、乙两位选手被分在同一组进

24

行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为？乙回答正确的概率为亍两位选手回

答每道试题是否正确相互独立.2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总

得分.

⑴求乙总得分为10分的概率；

（2）记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望.

解（1）由题意知，乙得10分的样本点有乙抢到2题且1道回答正确、1道回答错

误或没有回答，甲、乙各抢到1题且都回答正确，甲抢到2题都回答错误或没有

回答,

所以乙总得分为10分的概率

141114121111337

7?=2X-X-X-X-+2X-X-X-X-+-X-X-X-=

乙J乙D乙J乙乙J乙J900-

(2)由题意得,甲的总得分X的可能取值为0,5,10,15,20,

111111141414289

P(X=0)=^X-X-X-+2X-X-X-XT4-»X-X-X-=TTT；

P(X=5)=2X^X-^X^X^+2X^X^X^X-^=-j^r；

乙JD乙J乙JJLJU

121111111214349

P(X=10)=2X-X-X-X-+-X-X-X-T+2X-X-X-X-=TTT；

乙J乙J乙J乙J乙D乙J

P(X=15)=2X^X'|x^X'|=^；

P(X=20)=^x|x^x1=^.

X的分布列为

X05101520

2891734911

P

900150900159

289173491123

所以E(X)=0X—+5X—+10X—+15Xj^+20X-=—

感悟提升求离散型随机变量4的均值与方差的步骤

(1)理解^的意义，写出^的所有可能取值；

⑵求〈取每个值的概率；

(3)写出f的分布列；

(4)由均值、方差的定义求E(f),p(e).

训练2(2024.石家庄调研)在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目

的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完

全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将

纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1

个节目，摸到黑球不用表演节目.

⑴求。同学摸球三次后停止摸球的概率；

⑵记X为。同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方

差.

解(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E,

A21

3

则0

3--

A44

故。同学摸球三次后停止摸球的概率为点

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

p(x=o)=z，

P(X=D=专

1

6-

F(X=2)=AI+AI=

P(X=3)WW

P(X=4)=^I=1

所以随机变量X的分布列为

X01234

11111

P

46664

期望E(X)=0x1+lx|+2x|+3x1+4x1=2,

方差。(田=(0—2)2乂卜(1_2)2></+(2_2)2乂春+(3—2)2></+(4—2)2x1=,.

考点三均值与方差中的决策问题

例3(2024.厦门、福州等市质检)校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引

进各类急救设备.某学校引进M,N两种类型的自动体外除颤器(简称AED)若干,

并组织全校师生学习AED的使用规则及方法.经过短期的强化培训，在单位时间

2I

内，选择N两种类型AED操作成功的概率分别为)和假设每次操作能否

成功相互独立.

⑴现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进

行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；

(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两

次设备操作展示，下面是两种方案：

方案甲：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，若第一

次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型

AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作.

方案乙：在第一次操作时，随机等可能地选择M或N型AED中的一种，无论第

一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备.

假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分

析哪种方案更好？

解设''操作成功”为事件S,“选择〃型AED”为事件A,“选择N型AED”

为事件3,

1?

由题意，知P(A)=P(B)=1,P(SH)=',

P(S⑻弓

(1)恰好在第二次操作成功的概率

P=P(S)P(S),

P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|5)

l2I1^

=-2x3+22=-125

则P(S)=1—P(S)=总

5735

所以恰好在第二次操作成功的概率为3X==^.

(2)设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为x,y,

则x,y可能取值均为o,1,2,

P(X=O)=P(A)P(S|A)P(S|B)+P(B>P(S|B)P(SH)

1iiii

xiX拉卜-

42f4142H2xI-226'

P(X=1)=P(A)P(S|A)P(S|B)+P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S\B)P(S\A)+

P(B)P(S|B)P(S|B)

=1|xfi-|)x^1+1|x|2xfi2+1|xfi-|k|2+|1x|1xfi-1135

22232322272,

P(X=2)=P(A)P(SIA)P(SIA)+

P(B)P(S|B)P(S|B)

=1X2X2111=25

―233十222-72'

1QCOCQC

所以E(X)=0X-+lX—+2X—=—

O/z/z/z

P(y=0)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)

=9(1-,)x(1—1)+913

72f

P(y=l)=P(A)P(S|A)P(SH)+P(A)P(SH)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)

+P(B)P(S|B)P(S|B)

1(2、212(1-0x^+^x^x17

=TX1—TX-+-X-XJ

乙\/JJ36

P(Y=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S\B)P(S\B)

=1X2X2111=25

—233十222-72'

1317?57

所以E(y)=ox—+1x—+2X—=-

/ZJo/zo

决策一：因为E(x)>e(r),故方案甲更好.

决策二：因为E(&与E(y)差距非常小，所以两种方案均可.

感悟提升随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际

中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

训练3某投资公司准备在2024年年初将1000万元投资到“低碳”项目上，现

有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可

72

能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为《和东

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能损

失30%,也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为|,g和七.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300,-150.

则Xi的分布列为

Xi300-150

22

P99

72

.*.E(Xi)=300X-+(-150)X-

=200(万元).

若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500,-300,0.则

X2的分布列为：

X2500-3000

311

P

5315

311

E(X2)=500X^4(-300)X^+OX—

=200(万元).

7?

D(Xi)=(300-200)2X-+(-150-200)2X-=35000,

3I1

D(Xi)=(500-200)2X-+(-300-200)2X-+(0-200)2X—=140000.

所以E(Xi)=E(Xi),D(XI)<D(X2),

这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥.

综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

■课时分层精练

【A级基础巩固】

1.已知下列随机变量：

①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；

②一位射击选手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击

选手在一次射击中的得分X；

③一天内的温度X；

④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.

其中X是离散型随机变量的是（）

A.①②③B.①②④

C.②③④D.③④

答案B

解析①中，X的可能取值为0,1,2,符合要求；

②中，X的可能取值为0,1,符合要求；

③中，一天的温度变化是连续的，所以X不是离散型随机变量；

④中，在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数是离散且随机的，符合要求.

2.（2024•陕西部分名校模拟）已知随机变量X的分布列为

X023

1

Pm2m

2

则E(X)=()

54

A.2B.§C.§D.l

答案c

解析由:+3加=1,解得机=1,

2o

1114

则E(X)=0X-+2X-+3X-=-

3.已知随机变量X的分布列为

X123

111

P

236

且丫=。乂+3,若E(y)=—2,则a等于()

A.13B.-2C.gD.3

答案A

解析E(X)=1X^+2X^+3X^=1.

VY=aX+3,

'.E(Y)—aE(X)+3=^a+3——2,

解得a=-3.

4.随机变量X的取值范围为{0,1,2},若P(X=0)$E(X)=1,则。(X)等于()

1V2

A—R-^―CD

A，4224

答案c

解析设尸(X=l)=p,P(X=2)=q,

由题意得E(X)=0X(+p+2q=l,

且:+p+q=i，解得p=；，q=(，

所以D(X)=1x(0—l)2+|x(l—1)2+1X(2—1)2=；.

5.(2024.绵阳诊断)若离散型随机变量X的分布列如下,E(X)=0,D(X)=l，则尸(X<1)

=()

X-1012

1

Pabc

12

答案D

解析由题意知，a+b+c+==l.①

由E(X)=0,即E(X)=—IXa+OX匕+lXc+2X*=0,得一。+。+焉=0.②

由D(X)=1,

即D(X)=(—l—0)2Xa+(0—0)2X6+(l—0)2Xc+(2—0)2x==l,

得a+c+g=l.③

11

--

联立①②③解得。C-4

49

又因为P(X<D=P(X=—1)+P(X=O),

2

所以P(X<l)=a+b=y

6.(多选)(2024.哈尔滨质检)若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=g,E(X),

。(㈤分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

4

C.D(3X+2)=4D.D(X)=g

答案AB

解析随机变量X服从两点分布，

12

由尸(X=0)=§,得尸(X=l)=w，

122

E(X)=0X-+lX-=~,

22

D(X)=[o-j)x|=|.

在A中，P(X=1)=E(X),故A正确；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3X~+2=4,故B正确；

2

在C中，D(3X+2)=9D(X)=9X-=2,故C错误；

2

在D中，D(X)=g,故D错误.

7.(多选)(2024.潍坊段考)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过,2个已使用过，

现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,

则()

A.X的所有可能取值是3,4,5

B.X最有可能的取值是5

C.X等于3的概率为3

D.X的数学期望是3

答案AC

解析记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为g

任取3个球的所有可能是1A2B,2A1B,3A,

A使用后成为3,故X的所有可能取值是3,4,5,故A正确;

G2

P(X=5)=@=],

所以X最有可能的取值是4,故B错误，C正确；

14?29

E1(X)=3X-+4X-+5X-=—,故D错误.

8.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球

和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设《为取出的4个球中红球的个

数，则尸(。=2)=.

3

答案10

解析由题意可知P4=2)=C©C黑产

9.(2024.湘潭质检)随机变量X的分布列如下：

其中a,b,c成等差数列，则P(|X|=1)=,公差d的取值范围是.

答案

解析'：a,b,c成等差数列，••.20=a+c,

又〃+b+c=l,:・b=q,

2

P(因=1)=〃+c=§.

又d,c=§+d,根据分布列的性质,

一1212

得OWg—dW1,OWg+dWg,

••3WdW3.

10.某老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如下表:

尽管“！,，与“？”处无法完全看清，但能肯定两个“？»处的数值相同，据此,

E(X)=.

答案2

解析设P(X=l)=P(X=3)=a,P(X=2)=b,

则2a+b=1.

于是E(X)=a+2b-\-3a=2(2a+b)=2.

n.设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个.

(1)若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率；

(2)若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为X,求随机变量X的概

率分布列及数学期望值.

解(1)记“甲从中一次性摸出2个球，两个球颜色不相同”为事件A,甲从中一

次性摸出2个球共有C?=21种，

两个球颜色不相同有aa+a=i2+6=i8种，

所以P(A)=H=y.

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

LC?4CM18

且尸(x=o)=干为P(X=I)=7T=4，

ClCs121

尸(X=2)=F=分，P(X=3)=^=^)

所以随机变量X的概率分布列为

X0123

418121

P

35353535

418121459

E(X)=0X^+lX—+2X—+3X—=—=-

12.某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门

的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点.游戏规定：不重

复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束.

(1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值；

(2)甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案.

方案一：2人共同行动；

方案二：2人分头行动.

分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的均值.

解（1）设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X（单位：分钟），

则X的所有可能取值为3,6,9,

P（X=3）=|,

P（X=6）=|+|x^=^,

P（X=9）=|x|=|,

所以E（X）=3xg+6X；+9x/=?（分钟）.

即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值为?分钟.

（2）由（1）知，按照方案一：2人共同行动所用时间和的均值为?X2=U（分钟）.

按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为y（单位：分钟），

则I的所有可能取值为912,15,

P（y=9）=2X（jX^+|x^x|^=1,

P（y=12）=2X^jX^