2025年新高一数学暑假检测卷（人教A版）含答案

新高一数学暑假检测卷（含答案）-2025年新高一数学暑假衔接讲练（人教

A版）（满分：15。分限时：120分钟范围：人教A版必修第一册全部内容）

第一部分（选择题共58分）

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={1,2,3,4},B={0,1,2,3},则AB=()

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

2.不等式（x+D（3-2尤）<0的解集为（）

3.已知函数则〃2）=（）

1-/1,

A.-2B.-1C.1D.4

4.已知角。的始边为x轴的非负半轴，终边经过点贝！Jtand的值为（）

A.2B.1C.72D.6

5.函数y=2x+Jl-3尤的值域是（）

一25）

B.—'+00

24J

三,至

(24

X2+4x-l,x<0

6.已知函数〃尤）=1c八，若函数.v=〃x）的图象与函数y=左的图象有3个交点，则实数上的

—x—2,x>0

[2

取值范围是（）

A.[—5,+oo)B.(-2,+a))

C.(-5,-2]D.(-2,-1]

7.要得到函数>=sin2x的图象，只要将函数y=cos（2x+/j的图象（）

A.向右平移g个单位B.向左平移自个单位

OO

C.向左平移三个单位D.向右平移三个单位

8.若函数/0）=1。81，-依+30）在区间Q,+⑼上是减函数，则。的取值范围为（）

2

A.（-8,4]B.（T4]

C.M,4）D.[-4,4]

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

25

9.已知尤＞3,那么x+三的值可以是（）

x-3

A.11B.12C.13D.14

10.若函数“X）同时满足：①对于定义域上的任意x,恒有〃力+〃-力=0@对于定义域上任意玉,马,

当石内2时，恒有（辿＞0，则称函数/'（X）为“加函数”，下列函数中的“加函数”（）

A.f（x）=x2B./（%）=x3

r

C.f（x）=2-2-D./（x）=log2|x|

11.已知函数〃x）=2sinx（cosx-sinx）+l,则（）

A.〃尤）的最小正周期为兀

B.的图象关于直线x=?对称Sir

o

c.“X）的图象关于点卜中心对称

D.在上单调递增

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知“X）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x3+2x2,贝！Jx＜0时，，（尤）=

13.已知角a为第二象限角，sina=|,角£为第四象限角，cos^=^,贝！Itan（a+月）的值为.

|log2x|,x＞0

14.已知函数八，方程=a有四个不同根4,X2,£，匕，且满足玉＜工2＜退＜匕，

—尤+x+2,x＜0

14

则区-小伊的最大值为

x32

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步果。

15.（13分）

计算：

1O&3

(2)log3V27-log32.Iog23-6-1g夜-lgV5

16.（15分）

已知全集0=区，集合4=卜,2-7x+10<。｝,B=[x\m-l<x<m+\\.

⑴当机=3时，求A低8）；

⑵若AB=B,求加的取值范围.

17.(15分)

已知函数y=的表达式为=2cos2x+cosf2x—|U1.

⑴求函数y=/（尤）的单调增区间；

（2）求方程“X）=，在xe[0,兀]上的解.

18.（17分）

近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深

挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹醇、鲍鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某婚鱼养殖场

计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池43。，矩形一边A5在。M上，点C在圆弧MN上，

JT

点。在边ON上，S.ZMON=-,OM=30米，设=

（1）求扇形OMN的面积；

⑵求矩形ABCD的面积5（a）；

⑶当。为何值时，5（a）取得最大值，并求出这个最大值.

19.（17分）

对于函数/⑺，若在定义域内存在实数无。，满足则称/（x）为“局部奇函数”.

⑴求证：函数/。）=/+天-4是“局部奇函数”；

⑵若函数gabjT?"?是定义域为R上的“局部奇函数”，求实数上取值范围；

[KX+2,X>0

⑶类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数〃（龙）=（x-3>|x+l|是这两种函数吗？说

明理由.

新高一数学暑期检测卷

（满分：150分限时：120分钟范围：人教A版必修第一册全部内容）

第一部分（选择题共58分）

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={1,2,3,4},3={0,1,2,3},则AB=()

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】B

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据交集含义得A3={1,2,3}.

故选:B.

2.不等式5+1）（3-2》）＜0的解集为（）

【答案】C

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】不等式（尤+D（3-2尤）＜0等价于（x+1）（2尤-3）＞0,

3

解得x＜—1或

所以原不等式的解集为（-8，T）U|（，+8）,

故选：C.

3.已知函数贝!|〃2）=（）

A.-2B.-1C.1D.4

【答案】B

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值

【分析】根据自变量x的值选择对应的函数关系求值即可.

【详解】时，/（尤）=1一〃x-2）,.•."2）=1—62-2）=1-〃0）,

又•."1时，/（X）=X2+2,.-./（0）=2,

••.〃2）=1-2=-1.

故选：B

4.已知角夕的始边为x轴的非负半轴，终边经过点尸（1,应），则tan。的值为（）

A.1B.1C.72D.V3

【答案】C

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值

【分析】根据根据三角函数定义计算即可.

【详解】因为角。的始边为X轴的非负半轴，终边经过点尸（1,后）,

所以tan6==\/2.

故选：C.

5.函数y=2x+Jl-3x的值域是（）

【答案】D

【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域

【分析】利用换元法设f=可得＞=矢2+/,结合二次函数性质可得值域.

,_______1_f

[W1=r>0,贝！|尤=3

2-2r25

所以y十一

24

所以当t二时，，取最大值为彳

即函数的值域为—00.——

24

故选：D.

X2+4x-l,x＜0

已知函数/（%）=1。八，若函数y=〃可的图象与函数,=左的图象有3个交点，则实数左的

一%—2,x>0

2

取值范围是（

A.[—5,+oo)B.(-2,+oo)

C.(-5,-2]D.(-2,-1]

【答案】D

【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参

数范围

【分析】作出＞=/（办，=左的图象，根据图形即可得出结果.

【详解】当xWO时，/W=X2+4X-1,图象为开口向上的抛物线，

对称轴为x=—2,顶点坐标为（-2,-5）,作y=/（x）、y=k的图象如下,

由图可知，函数>=/（办>=后图象有3个交点，

则-2</41,

即实数兀的取值范围为

故选：D.

7.要得到函数.v=sin2x的图象，只要将函数y=cos[2x+g）的图象（）

A.向右平移三个单位B.向左平移g个单位

66

C.向左平移置个单位D.向右平移三个单位

【答案】D

【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程

【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数.

【详解】y=cos(2xH•—)=sin(2xH--F—)=sin(2xd----)=sin[2(xd---)],

332612

所以将函数y=cos（2x+?J的图象向右平移普个单位即得函数y=sin2x的图象,

故选：D.

8.若函数/（此=氏二,一依+30）在区间（2,+8）上是减函数，则a的取值范围为（）

2

A.（-oo,4]B.«4]

C.[-4,4）D.[-4,4]

【答案】D

【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求

参数

【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数定义域列式求解即得.

【详解】设〃—ax+3a9贝!I函数/CO由V一一奴+3〃复合而成,

2

而y=log["是减函数，贝!!“=三一6+3。在(2,+8)上单调递增，从而£<2,

22

解得aW4,又当xe(2,+oo)时，〃=/—冰+3。>0怛成立，

则当尤=2时，w=4-2a+3a>0,解得aNT,

所以a的取值范围为-4WaV4.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

25

9.已知尤>3,那么x+三的值可以是()

x-3

A.11B.12C.13D.14

【答案】CD

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为x>3,所以x-3>0,

贝!|x+^-=_r-3+^-+322j(x-3>^-+3=13,

x—3x—3\x~3

当且仅当尤-3=二25，即x=8时取等号，

x-3

所以了+令25213.

x-3

故选：CD.

10.若函数同时满足：①对于定义域上的任意x,恒有/(*)+"-力=0@对于定义域上任意为,马，

当药/天时，恒有"？二3)>0，则称函数7•")为“加函数”，下列函数中的“YM函数”()

A.f(x)=x2B./(%)=x3

C./(x)=2，_2TD./(x)=log2|x|

【答案】BC

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】根据函数的单调性、奇偶性的知识来确定正确答案.

【详解】由于〃x)+〃r)=O,所以是奇函数；

由于对于定义域上任意再,3,当百二々时，恒有"％)一’3)

玉-x2

所以/(X)在R上单调递增.

A选项，，(力=/是偶函数，不符合题意.

B选项，，(%)=丁是奇函数，且在R上单调递增，符合题意.

C选项，/(%)=2*2J(-x)=-2,=—〃x),

所以了(元)是奇函数，且/(可=2'-《在R上单调递增，符合题意.

D选项，〃x)=log2国是偶函数，不符合题意.

故选：BC

11.已知函数〃尤)=2sinx(cosx—sinx)+l,贝(j()

A.的最小正周期为兀

B.的图象关于直线片?对称

O

c.“X)的图象关于点中心对称

D.〃尤)在(号,m上单调递增

【答案】ABD

【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化

简问题、求sinx型三角函数的单调性

【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得/(x)=Ain(2x+：］,结合正弦函数的图象与性质依次判断选

项即可.

【详解】/(x)=2sinx(cosx-sin_x)+l=sin2x+cos2x=夜sin+.

A：7=m=兀，所以的最小正周期为兀，故A正确；

Ac兀兀T’r式kll,r

B：2xH———Fkit,keZ,4^x——i----,kwZ,

4282

5jr

当左=1时，x=W，

8

所以X=?STT为函数的一条对称轴，故B正确；

o

jrjrKTT

C：令2x+—=fai,%£Z,得力=---1----GZ,

482

jr

当k=0时，x=~—

89

所以,5，。］为函数/(元)的一个对称中心，故C错误；

D：+Iku<2x+—<—+2far,A;GZ,+far<x<—+fai(Z:GZ),

24288

当左=0时，~<x<^,即“X)的单调递增区间为-寿常,

ooL33_

71兀、、r「3兀兀[辽士一f

而一彳，高为一"—^—的真子集，故D正确.

k41UyL83_

故选：ABD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知/(x)是R上的奇函数，且x>0时，/(X)=X3+2X2,则x<0时，/(%)=

【答案1x3-2x

【知识点】由奇偶性求函数解析式

【分析】设x<0,~x>0,代入求出〃r),由奇函数的性质即可求出〃x).

32

【详解】设x<0,T>。，贝U：/(-X)=-X+2^=-/(X);

二/(%)=X3-2X.

故答案为：x3-2x.

35

13.已知角。为第二象限角，sina=|,角月为第四象限角，cos£=\,贝!]tan(a+尸)的值为

【答案】M

lo

【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、已知弦(切)求切G玄)、用和、差角的正切公式化简、求值

【分析】结合角。、/所在象限与同角三角函数基本关系可得tane,tan#,再利用两角和的正切公式计算

即可得.

【详解】由角。为第二象限角，则cosa=-V1-sin2a=-Jl-W-

由角尸为第四象限角，则sin£=_Jl_cos2£=_

312

tancc=-~ftan/3———,

312

tana+tan063

贝［|tan(«+y0)=4

1-tana-tan016,

1-

故答案为：

lo

|log2x|,x>0

14,已知函数=＜12c八，方程/（1）=。有四个不同根4,工3,X4,且满足为＜工2＜工3＜兀4,

—x+x+2,x＜0

14

则巴-"a的最大值为

七2

【答案】f129

O

【知识点】根据函数零点的个数求参数范围

【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的各根取值范围，求出实数f的取值

范围，将代数式转化为关于f的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.

【详解】作出函数图像可得与上=-2,-log2忍=log?Z

从而得石%4=1，且Tog2W«l，2],从而得（e（2,4],

1名（%+々）

••原式飞―一L

令'=/+2后，—e(2,4],^-G(4,16],

1o

令”宕，贝!I"。=/+：，，44,16],

在（在+勾单调递增，由詈，

二最大值为9129.

O

129

故答案为：

O

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步果。

15.（13分）

计算：

log63

（2）log3V27-log32.log23-6-lg^-lg75

【答案】（1）2

⑵-3

【知识点】指数塞的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用

【分析】（1）借助指数募的运算法则计算即可得；

（2）借助对数运算法则计算即可得.

【详解】⑴怎J国I无-3）。=03"25+1

1O&3

(2)log3V27-log32-log23-6-1gV2-lgV5

21

2

=log33-l-3--(lg2+lg5)

16.（15分）

已知全集U=R,集合4={小，-7x+10<。卜B=\x\m-l<x<m+\^.

⑴当机=3时，求A低8）；

⑵若AB=B,求机的取值范围.

【答案】⑴A低B）=R

（2）{m|3</77<4^

【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算

【分析】（1）求出集合A,当m=3时，写出集合2,利用补集和并集的定义可得出集合A（。町；

（2）分析可知，BcA,且根据集合的包含关系可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数

机的取值范围.

【详解】⑴解：因为A=J7尤+10<。}=词2<尤<5},

当“2=3时，3={x[2<x<4},则％3={耳尤V2或x24},

此时，A低8）=R.

（2）解：因为AB=B,则3=

fm-1>2

显然5W0,贝叫/J解得3WmW4,

因此，实数机的取值范围是{机|3W机W4}.

17.（15分）

已知函数y=〃x）的表达式为“X）=2cos2x+cosf2x-|U1.

⑴求函数y=〃尤)的单调增区间；

(2)求方程〃尤)=1在xe[0,兀]上的解.

57r7T

【答案】(1)k兀-豆,麻+记,(kwZ)

⑵T或詈.

【知识点】已知三角函数值求角、二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性

【分析】(D利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可；

(2)利用(1)求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可.

/兀\兀兀

【详解】(1)由/(x)=2cos2x+cosI2x~—\-1=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

=^-sin2%+』cos2%=6sin(2x+巴)，

22I3)

令2E一542%+]<2E+],解之得X£E—+,(^GZ),

，冗IT

即该函数的单调增区间为kK--,lat+-，化eZ)；

(2)由(1)知：/(x)=7^sin(2x+；],

所以若〃x)=咚,即石sin[2x+]j=岑nsin[2x+]]=g,

因为无目0,兀],所以2尤-|,y,

则满足题意的2x+卜号或等，即x=5或詈.

366412

18.(17分)

近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深

挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳍、鲍鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某编鱼养殖场

计划在如图所示的扇形区域0MN内修建矩形水池A3C。，矩形一边A3在OM上，点C在圆弧MN上，

JT

点。在边ON上，且NMON=1,OM=30米，^ACOM=a.

M

B

(1)求扇形OMN的面积;

⑵求矩形ABCD的面积S(a)；

⑶当。为何值时，S(a)取得最大值，并求出这个最大值.

【答案】⑴150兀平方米

⑵300氐in(2a+印1506,0<a<-

(3)a=j1505/3

6

【知识点】扇形面积的有关计算、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式

【分析】(1)由扇形面积公式可得；

(2)利用直角三角形利用半径与0分别表示出ABIC,进而可得矩形面积表达式；

(3)利用辅助角公式将S(a)化简变形，结合角1的范围求S(a)最大值可得.

TT

【详解】(1)由题意，ZMON=~,扇形半径即=30米，

1冗

则扇形OMN的面积为QX1X302=150兀平方米.

(2)在RLO3C中，BC=30sin«,OB=30cosa,

在RtVO4D中，AD=BC=30sina,贝！J。4=华=走x30sina,

3

AB=OB-OA=30cos«-10^/3sina

则停车场面积

S(a)=AB-BC=30sin30coscr-104sina)

2

=300A/3^A/3sin«cosa-sina)=150^^A/3sin2a+cos2a-1j

=3006sin2a+—cos2a--

1222j

=300瓜in12a+看)150君，0<a<-|.

71

所以S(a)=300宕sin2々+己-1506，其中0<a<一.

3

71

(3)S(a)=300/sin2a+6一1504,其中0<6Z<一.

3

171c兀5兀

由一<2a+一<——,

666

则当2e+g=W时，即a=?时，S(a)1mx=150^.

o2o

当a=B时，S(a)取得最大值，最大值为150』.

O

19.(17分)

对于函数/(x),若在定义域内存在实数%,满足〃-毛)=-〃%)，则称/⑺为“局部奇函数”.

⑴求证：函数/。)=/+天-4是“局部奇函数”；

⑵若函数g("=E+?’尤是定义域为R上的“局部奇函数”，求实数k取值范围；

KX+2,X>\J

⑶类比“局部奇函数”，写出“局部偶函数”的定义，并由此判断函数〃(x)=(x-3>k+l|是这两种函数吗？说

明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵4《2-2立

⑶对于函数“X),若在定义域内存在实数面,满足称"X)为"局部偶函数”；〃⑴是“局

部偶函数”，不是“局部奇函数”，理由见解析

【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义

【分析】⑴根据题意分析方程尤)，即£-》-4=-(/+X-4)的解的情况，即可得证；

(2)根据题意分析可得g(r)=-g(x)在R上有解，根据条件得g(-x)=/:一

[-KX+2,X<0

f—了?—2无尤<0

—g(x)=(,,从而转化成》2-2元=-爪-2在xe(0,+8)上有解，或_》2_2彳=_爪+2在xe(y,0)

[-kx-2,x>Q

上有解，即可求解；

(3)由“局部奇函数”的定义类比可得“局部偶函数”的定义，再分析为(X)=〃(T),=的解得情

况，即可得答案.

【详解】(1)因为〃