北师大版八年级数学下册 第18章《平行四边形》期末知识点复习题（含解析）

第18章《平行四边形》期末知识点复习题

【题型1四边形中的多解问题】

1.在正方形4BCD中，对角线AC、BD交于点。，/4DB的平分线交ZB于点E,交2C于点G.过

点E作EF1BD于点F,NEDM交2C于点M.下列结论：①（遮+1）&E；②四边形2EFG

是菱形；③BE=20G；④若NEDM=45°,则GF=CM.其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在菱形2BCD中，AB=2曲,4BC=60。，点£为对角线8。上一动点（不与点6

重合），且连接CE交ZM延长线于点?

®^AFE=ZBAE-,

②当AZEF为直角三角形时，BE=2；

③当aaEF为等腰三角形时，4FC=20。或者4FC=40

④连接BF,当BE=CE时，FC平分4FB.

以上结论正确的是（填正确的序号）.

3.如图，在矩形幺的中，。是对角线的交点，AB=1,ZBOA=60°,过。作CE1BD于点

E,EC的延长线与的平分线相交于点〃，AH与BC交干点F,与BD交于点〃.给出下列

四个结论：①BF=BO；②AC=CH；③BE=3DE；®S^ACF=⑤2"=*>+&..其

中正确的结论有（填写正确的序号）.

4.勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研

究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这

个定理使用的图形.以Rt2\4BC（N%BC=90°）的三边a,b,c为边分别向外作三个正方形：正

方形ACE。、正方形正方形BCNM,再作CG1F”垂足为G,交于尸，连接BD,CF.

则结论：®^DAB=ZCAF,②A/MB三力F,③S正方形〃ED=2S&ADB，④S矩形AFGP=

2SNCF.正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2四边形中的动点问题】

1.如图，在正方形2BCD中，£是边上的一动点，点/在边BC的延长线上，且CF=2E,连

接DE、DF.

(1)求证DEIDF；

(2)连接EF,取EF中点G,连接DG并延长交BC于“，连接BG.

①依题意，补全图形：

②求证BG=DG；

③若NEGB=45°,用等式表示线段BG、HG与2E之间的数量关系，并证明.

2.如图，在平行四边形2BCD中，ZBAC=90。，CD=6,2C=8.动点P从点4出发沿以

2cm/s速度向终点。运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s速度沿射线CB运动，当点P到达终点

时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒(t>0)

(1)CB的长为.

(2)用含t的代数式表示线段BQ的长.

(3)连结PQ.是否存在t的值，使得PQ与ZB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说

明理由；

⑷若点P关于直线2Q对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值.

3.如图，已知菱形ZBCD的边长为2,/ABC=60°,点M、N分别是边BC、CD上的两个动点,

/MAN=60。，连接MN.

(口△4MN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由.

(2)在M、N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存

在，请说明理由.

4.如图，在矩形纸片ABC。中，ZB=2,4。=2<2,E是的中点，F是边上的一个动点（点

F不与点4。重合）.将AaEF沿EF所在直线翻折，点a的对应点为a',连接a'。，A7c.当

△a'DC是等腰三角形时，4F的长为.

【题型3四边形中的最值问题】

1.如图，在菱形ZBCD中，AB=6,^BAD=60°.£是对角线BD上的一个动点（不与点民

。重合），连接2E,以2E为边作菱形2EFG,其中，点G位于直线的上方，且/E2G=60°,

点9是的中点，连接PG,则线段PG的最小值是.

2.如图，正方形2BCD的边长为5,点E,F,G,H分别在正方形的四条边上，且GH〃EF,G”=

EF,则四边形EFG”的周长的最小值是.

3.在平面直角坐标系久。y中，四边形O4BC是矩形，OB=2g,^AOB=30

(1)如图1,点夕为射线。B上的动点，连接P4若是等腰三角形,求P4的长度;

(2)如图2,是否在x轴上存在点瓦在直线BC上存在点以0,B,E,厂为顶点的四边形是

菱形？若存在，求出点£,户的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)如图3,点〃是BC边上的动点，过点〃作。B的垂线交直线。4于点”求0M+MN+NB的

最小值.

4.如图，矩形ZBCD中，AD=4,AB=m,E、6分别在边BC、CD上，并且aaEF为等边三角

形，则口的取值范围为,若点G是边上的一点，且G4=2,则随着R的变化，GE的最

小值为,

【题型4四边形中的折叠问题】

1.通过对下面几何图形的？作探究，解决下列问题.

E

图1

【操作发现】

如图1,探究小组将矩形纸片4BCD沿对角线BD所在的直线折叠，点C落在点E处，DE与AB边

交于点F,再将纸片沿直线DM折叠，使边落在直线DE上，点N与点N重合.

(1)ZMDB=度.

(2)若4B=6,AD=3,求线段DF的长.

【迁移应用】

(3)如图2,在正方形纸片2BCD中，点E为CD边上一点，探究小组将△4DE沿直线4E折叠得

到△4FE,再将纸片沿过N的直线折叠，使与2F重合，折痕为4”，探究小组继续将正方形

纸片沿直线E”折叠，点C的对应点恰好落在折痕2”上的点M处，EM与2F相交于点N,若BH=

1,求aaEN的面积.

2.如图1,一张矩形纸片/BCD,其中/D=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD折叠，点C落在

点C'的位置，BC'交AD于点G.

(1)求证：BG=DG-,

⑵求C'G的长；

(3)如图2,再折叠一次，使点。与/重合，折痕EN交2D于M,求EM的长.

3.问题原型

(1)如图1,在菱形4BCD中，NB=60AE1BCTE,6为CD中点，连结4F,EF.试猜

想AZEF的形状，并说明理由.

⑵如图2,在。2BCD中，AE1BCTE,户为CD中点，连结ZF,EF.试猜想△2EF的形状,

并说明理由.

(3)如图3,在中，/为C。上一点，连结BF,将/C沿BF折叠，点。的对应点为C'.连

结DC'并延长交于G,若4G=C'F,求证：户为CD中点.

(4)如图4,直角坐标系中有。4BCD,点幺与原点重合，点8在x轴正半轴上，CD与y轴交

于点反将其沿过N的直线折叠，点8对应点B'恰好落在y轴上，且折痕交BC于〃,B'M交C。

于点儿若口48。。的面积为48,AB=8,AD=3V5,求点〃的坐标和阴影部分面积(直接

写出结果).

4.课本再现：

（1）如图1,2BCD是一个正方形花园，E,6是它的两个门，且DE=CF.要修建两条路BE和

AF,这两条路等长吗？它们有什么位置关系？BE和2F的数量关系是：——；BE^AF

的位置关系是;（无需证明）

知识应用：

（2）如图2,ZBCD是一个正方形草地，现要在内部修建两条路MN、EF,且MN1EF,

①请问这两条路MN、EF还相等吗？为什么？

②如图3,将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点。落在BC边上的点N处，若折痕EF的长

为13,求此时DE的长；

拓展延伸：

（3）如图4,将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点。落在BC边上的点N处，DN与EF交于

点R取4。的中点〃，连接PM、PC,则PM+PC的最小值为,此时EF的长度是

图1图2图3

【题型5矩形与等腰三角形】

L【问题背景】

某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，

在习题中发现了这样一个问题：如图1,在等腰AABC中，ZB=ac,点。、£分别是边ZB、AC

上的点，点夕是底边BC上的点，且4DB=NPEC=90°,过点8作BF12C于点R请写

出线段P。、PE、BF之间满足的数量关系式.

同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：

解决思路1：如图2,过点尸作PG1BF于点G-,

解决思路2：如图3,过点8作BH1PE,交EP的延长线于点〃；

⑴上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证

得线段P。、PE、BF之间满足的数量关系式为

图1图2图3

【类比探究】

⑵如图4,在等腰△ABC中，AB^AC,点。、£分别是边ZB、4C上的点，点夕是底边BC上

的点，且NPDB=/PEC=a,过点8作BF||PE交AC于点片请写出线段PD、PE、BF之间

满足的数量关系式，并说明理由.

⑶如图5,在△2CP与ABOP中，4=NB=75°,NAPC=NBPD=60°,点4反产

在同一条直线上，若4B=6,PC=2,则PD=

2.已知在矩形ABC。中，4。=9,4B=12,。为矩形的中心，在等腰中，ZEAF=90°

AE=AF=6.则EF边上的高为;将42EF绕点幺按顺时针方向旋转一周，连接CE,

取CE中点M,连接FM,则FM的最大值为.

3.画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半.

(1)如图1,已知等腰△ABC,D,后分别是ZB,2C的中点，画四边形。BCE；

(2)如图2,已知四边形ABC。，AC1BD.四边的中点分别为及F,G,H,画四边形EFG”；

(3)如图3,已知平行四边形2BCD,点及G分别在4。，BC上，且EG||4B.点?〃分别在

AB,C。上，画四边形EFG”.

以上三种画法中，所有正确画法的序号是()

图1图2图3

A.(1)(3)B.(2)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

4.如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y=—：％+3分别与x轴和y轴交于点4点且

4

四边形OACB为矩形.

备用图

⑴如图②，点〃在8。上,连接把AZCF沿着幺/折叠，点。刚好与线段N8上一点重

合.

①求点6的坐标;

②请直接写出直线FC,的解析式：;

(2)如图③，动点P(%,y)在一次函数y=2x-3(1.5<%<4)的图象上运动，点〃在线段NC上，

是否存在直角顶点为夕的等腰直角△BDP,若存在，请求出点2的坐标；若不存在，请说明理

由.

【题型6菱形中的全等三角形的构造】

1.如图，已知菱形ZBCD的边长为2,ZABC=60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点,

/MAN=60°,连接MN.

（口△4MN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由.

（2）在M、N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存

在，请说明理由.

2.如图，菱形。2BC的一边OC在x轴的正半轴上，。是坐标原点，8点坐标为（8,4）,点。是

对角线OB上一点，连结D4,DC,AE1OC,垂足为£.

(1)求证：DA=DC；

⑵求菱形。ABC的面积；

(3)连接DE,当，DAE=2时，求点。的坐标.

3.已知在菱形2BCD中，/4BC=60°,连接对角线AC.

(1)如图1,E为力。边上一点，尸为。C边延长线上一点，且=连接/凡BE交于点G.

①求证：BE=AF；

②过点C作C”_LBE,垂足为“，求证：C”=/BG；

(2)如图2,已知ZB=4,将△ac。沿射线ac平移，得到△a‘c'。'，连接BA',BD'，请直

接写出B4'+BD'的最小值.

4.如图，在菱形ABCD中，M,N分别是边AB,8。的中点，MPLAB交迫切于点尸，连接NM,NP.

(1)若N后60°,这时点夕与点C重合，则N阴度;

(2)求证：N后NP；

(3)当△极为等腰三角形时，求N8的度数.

【题型7正方形中线段的和差倍分关系】

1.如图，在正方形ABCD中，动点M在CD上，过点M作MN1CD,过点C作CN12C,点E是4V

的中点，连接BE交AC于点F.

(1)求证：BELAC；

(2)请探究线段BE、AD.CN长度之间的等量关系，并证明你的结论；

(3)设4B=2,若点M沿着线段CD从点C运动到点。，则在该运动过程中，线段EN所扫过的图

形面积为(直接写出答案).

2.过正方形2BCD(四边都相等，四个角都是直角)的顶点2作一条直线MN.

(1)当MN不与正方形任何一边相交时，过点8作BE1MN于点瓦过点。作DF1MN于点£

如图(1),请写出EF,BE,DF之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)若改变直线MN的位置，使MN与CD边相交如图(2),其它条件不变，EF,BE,DF的关系

会发生变化，请直接写出EF,BE,DF的数量关系，不必证明；

(3)若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图(3),其它条件不变，EF,BE,DF的

关系又会发生变化，请直接写出EF,BE,。尸的数量关系，不必证明.

3.感知：如图(1)所示，四边形ZBCD是正方形，点G是线段上的任意一点，DE12G于点

E,BF//DE,且交4G于点F,求证：AF—BF=EF.

探究一：如图(2)所示，若点G在CB的延长线上，上述其余条件不变，则4F,BF,EF存在

怎样的等量关系？猜想并证明这一结论.

探究二：若点G在BC的延长线上，上述其余条件不变，则力F,BF,EF又存在怎样的等量关系？

直接写出结论.

4.已知：在△ZBC中，2D为中线，以4B、2C为边向△ABC的形外作正方形2BEF、正方形ZCGH.

E

图③

(1)如图①，当NB4C=90°时，求证：FH=2AD.

(2)如图②③，当NBZCW9O°时，F”与2。有怎样的关系？在图②和图③中可任选一个图,

证明你的结论.

【题型8坐标系中的四边形】

1.如图1,在/CEF中，CE=CF,ZECF=90°,点4是NEC尸的平分线上一点，4G1CE于

G,交FE的延长线于B,4。12E交CF的延长线于。，连接BC.

D

图1

(1)直接写出4BF的大小；

(2)求证：四边形2BCD是平行四边形；

(3)建立如图2所示的坐标系，若BG=2,BC=历,直线绕点。顺时针旋转45°得到

2.如图，在坐标系中放置一菱形的8a已知/幺a一60。，0A=\,先将菱形物比1沿X轴的正

方向无滑动翻转，每次翻转60。，连续翻转2019次，点8的落点依次为5,B2,B3,则

6Mg的坐标为.

3.如图，在坐标系中，正方形04BC的边长为2,点P是％轴上一动点.若BP与/4BC的两边所

组成的角的度数之比为1:3,则点P的坐标为

o

4.如图，在AABC中，AC=BC=1,ZC=90°,E、F是AB上的动点，且NECF=45°,分别过E、

F作BC、AC的垂线，垂足分别为H、G,两垂线交于点M.

(1)当点E与点B重合时，请直接写出MH与AC的数量关系」

(2)探索AF、EF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，请画出坐标系并利用(2)

中的结论证明MH-MG=

【题型9四边形中存在性问题】

1.如图，四边形04BC是矩形，点4、C在坐标轴上，B点坐标(—4,12),△ODE是△OCB绕点。顺

时针旋转90。得到的，点。在X轴上，直线BD交y轴于点F,交OE于点”.

(1)求直线BD的解析式；

(2)求△B。”的面积；

(3)点M在为轴上，平面内是否存在点N,使以点小F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，矩形(MBC的顶点。，幺分别在x轴，y轴上，。为坐标原点,

8点的坐标为(8,6),过幺点的直线/与x轴交于点K(—3,0),产是线段BC上一动点，设PC=TH.

(1)。是第一象限直线/上一点，作PEly轴于£,DFly轴于？若NPZD=90°,ADAP.

①求证：/^APE=^DAF-,

②求直线1的表达式及。点的坐标；

(2)将直线/向下平移12个单位得到直线厂，在直线上方的直线〃上，是否存在这样的点

D,使得NNPD=90°,且aP=DP,若存在，请求出点〃的坐标，若不存在，请说明理由.

3.如图1所示，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形ZBC。是菱形，点2的坐标为(一3,4),

点C在％轴正半轴上，直线AC交y轴于点〃，连接BM,边交y轴于点

(1)求MH的长；

⑵如图2所示，动点P从点a出发，沿折线a-B-c方向以每秒1个单位的速度向终点c匀

速运动，设APMB的面积为S(SAO),点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；

⑶在(2)的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，

直接写出t的值；如不存在，说明理由.

4.定义“点P对图形Q的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点夕和图形Q,若图形Q上所有

的点都在NP的内部或NP的边上，则NP的最小值称为点P对图形Q的可视度.如图1,点。对

线段的可视度为的度数.

(1)如图2,已知点4(一3,1),C(0,2),。(1,3).连接D4,DB,则4DB的度数为点。对

△4BC的可视度.求证：^ADB=90°；

⑵如图3,已知四边形2BCD为正方形，其中点2(—1,1),B(-l,-1).直线y=+b与久轴

交于点E,与y轴交于点F,其中点F对正方形2BCD的可视度为60°.求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点M,使以点4B,E,M为顶点的四边

形为平行四边形?若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.D

【分析】设ZE=%，则8后=/为，可算出4。=(a+1)%=(/+1)2号故①正确；先证明

△AEGNAFEG,再由4G〃EF得4GE=4EG,即4E=4G,四边形AEFG是菱形，故②正

确；由4G—x,AB—(V2+1)%得2。=疆=《+1)%，可求出0G=^-x—：BE,故③正确；

由四边形ZEFG是菱形证明AGDF三△MDC,即可得GF=CM,故④正确.

【详解】解：•.•£)£■平分4DB,EF1BD,AE1AD,

AE=EF,

•••四边形4BCQ是正方形，

/ABD=45°,

EF=BF,

设ZE=X,则BE=V2x,

=ZE+BE=(迎+l)x=(/+V)AE,故①正确；

在^AEG^AFEG中，

AE=FE

ZAEG=NFEG，

-EG=EG

AEG三△FEG(SAS),

4G=FG,ZAEG=ZFEG,

••・四边形ABC。是正方形，

OA1OB,

又；EF1OB

AG//EF,

：.NFEG=^AGE,

NAGE=ZAEG,

AE-AG,

:.AE—AG—EF—FG,

四边形ZEFG是菱形，故②正确；

由①②知，AG=%,4B=(VI+1)%,

OG^AO-AG=故③正确；

BD-AC-20A-(V2+2)x,EF—BF—AE-x,

DF=(V2+l)x=CD,

•••四边形4EFG是菱形，

NEFG=ZBAC=45°,

/DFG=45°=/DCM,

•••/EDM=45°=NODC,

NGDF=ZMDC,

GDF=△MDC(ASA),

：.GF=CM,故④正确.

故选：D.

2.①②③④

【分析】连接ac,交BD于点0,由题意易得2C1BD,AZBC是等边三角形，/ABD=/ADB=

30°,AB=CB,/ABE=NCBE,则有BO=7AB?-AO2=3=加,则BD=6,然后根

据等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质可进行求解.

【详解】解：连接4C,交BD于点0,如图所示，

:四边形ZBCD是菱形，AB=2V3,ZABC=60

：.AC1BD,△ABC是等边三角形,/ABD=/ADB=30°,AB=CB,ZABE=NCBE,

：.AC^AB=2V3,则2。=百，

：.BO=yjAB2-AO2=3=|BD,则BD=6,

：.BE<3,

VBE=BE,

•.△ABE=△CBE,

：./BCE=/BAE,

'：AD||CB,

：.^AFE=/BCE,

：.^AFE=ZBAE,故①正确；

当AZEF为直角三角形时，即N72E=90

,?ZADB=30°,ZEAD=90°,

1

：.AE=-ED,

2

：.AD=yjED2-AE2=yj3AE=2瓜

'.AE-2,则DE=4,

；.BE=BD-DE=2；故②正确；

当AaEF为等腰三角形时，则可分当时，即4FE=/4EF,

在菱形ABC。中，ZBAD=/BCD,

：./EAD=NECD,

"?ZEAD=2^AFE=NECD,

：.在^FCD中，ZAFE+NECD+ZADC=180°,

：.3^AFC+60°=180°

/.ZAFC=40°；

当ZF=EF时，即4EF=ZFAE,

'：ZFAE=NFAB+ZBAE=60°+ZAFE,

：.在^AFE中，/AFE+ZFAE+ZFEA=180°,

：.3^AFE+60°+60°=180°

，ZAFC=20°；

当4E=EF时，则4FE=N7ME=NBZE,此时点£与点8重合，不符合题意;

故③正确；

连接BF,当BE=CE时，则ZCBE=4CB=30°=ZAFE=ZBAE,

：.ZEAF=/BAD-NBAE=120°-30°=90°,

由②可知BE=CE=AE=2,

'.AF-y[3AE-2-\/3,

：.AF=AB,

ZFAB=60°,

...△AFB是等边三角形,

ZAFB=60°,

：.NBFE=30°=ZAFE,

平分/4FB,故④正确；

故答案为①②③④.

3.①②③⑤

【分析】先证明AOZB是等边三角形，得。B=2B,再证AABF是等腰三角形，得BF=AB,

即可得出BF=B。，可判定①正确；求得=15°,得出4C=C”，可判定②正

确；利用含30°的直角三角形的性质得出DE=1CD,AB=^BD,再由CD=AB,BD=DE+

BE,即可求得BE=3DE,可判定③正确；过程点"作MN1ZB于“分别求出工女尸=jCF•

AB=^,SABFM=MX1X"=?,即可得出S-CF=2SABFM，可判定④错误；过点〃

作HQ14B交延长线于。，延长DC交HQ于尸,先求出P”=1,从而求得4Q="Q=次+1,

即可求得a”=V^4Q=①+声，可判定⑤正确.

【详解】解：:.矩形/比〃

/.OA=OC=OD=OB,/BAD=/ABC=^ADC=90°,

,?/BOA=60°,

...△(MB是等边三角形,

/.OBAB,^OAB=^ABO=60°

•.•4”平分/84。，

/.ZHAB=45°,

ZAFB=/HAB=45°,

：.BF=AB,

：.BF=OB,

故①正确；

/.NCAH=NOAB-ZBAF=60°-45°=15

/.ZEMF=ZAMB=180°-60°-45°=75

■:CE1BD,

：./HEM=90°,

=90°-75°=15°,

：./H=/CAH,

：.AC=CH,

故②正确；

•.•矩形2况》,

：.AB//CD,AB=CD,

：.NCDE=60°,

二./DCE=ZADB=30°,

11

：.DE=±CD,AB=-BD,

22

：.DE=4BD,

'：BD=DE+BE,

：.BE=3DE,

故③正确；

在RtZkZBC中，48=1,ZBAC=60°,

：.AC=2,BC=V3,

VBF=AB=1,

：.CF=V3-1,

•••SucF=1CF.4B=第，

过程点〃作MN，ZB于其如图,

H

D

,/ZHAB=45°,

/AMN=/HAB=45°,

：.AN=MN,

'：/MBN=60°,

：.MN=V3BN,

\'MN+BN=AN+BN=AB=1,

：.BN

2

.„1«V3-1V3-1

..S^BFM=5x1x---=---,

,•S*CF-2SABFM，

故④错误；

过点〃作HQ148交延长线于Q,延长DC交”Q于P,

■:HQ1AB,

：.NAQH=90°,

,NAHQ=NHAQ=45

：.AQ=HQ,NCHP=45°+15°=60°,

：.PC=V3PH,

*.•/BQP=NCBQ=NBCP=90°

：.四边形BCPQ是矩形，

：.PQ=BC=瓜BQ=PC=y/3PH,

：.1+V3PH=V3+PH,

：.PH=1,

.,.AQ—HQ-V3+1,

：.AH=y[2AQ=V6+V2,

故⑤正确，

，正确的结论有①②③⑤

故答案为：①②③⑤.

4.D

【分析】根据题意，^DAB=ZDAC+NCAB,ZCAF=ZBAF+NC4B得到=/CAF,

得到△/MB三△CZF(SAS),延长D4至点3过点B做垂线BL1DL,由题意可知四边形DLBE为

矩形，求出面积即可，延长F2至点K,过点C做垂线CK1KF,由题意可知四边形KFGC为矩

形，求出面积即可.

【详解】解：由题意可得2。=4C,=4尸，NEMC=NB4F=90°,

・••NDAB=ZDAC+ZCAB,^CAF=ZBAF+ZCAB,

/DAB=^CAF,

"DA=AC

VNDAB=ZCAF,

AB=AF

DAB=△CAF(SAS),

故①、②符合题意，正确；

延长D4至点3过点B做垂线BL1DL,

由题意可知四边形DLBE为矩形，

・•.DE=BL=b,

故SAD4B=3XD4-BL=/2,

SUACED=块，

故S正方形4CED=2s-DB，③符合题意，正确;

延长凡4至点K,过点C做垂线CK1KF,

由题意可知四边形KFGC为矩形，

故KC=FG,

S矩形人的二川以二八成

11

S卜/=--AF-CK=-c-FG,

△A522

故S矩形AFGP=2s2ACF，④符合题意,正确.

故选：D.

【题型2四边形中的动点问题】

1.（1）证明：••・四边形2BCQ是正方形，

ADCD,4==/BCD=^ADC=90°,

/DCF=90°,

又•.・ZE=CF,

ADE=△CDF(SAS),

^ADE=/CDF,

•••^ADE+NCDE=90°,

NCDF+NCDE=90°,

即NEW=90°,

:.DE1DF；

(2)①解：依题意，补全图形如图所示:

②证明：由（1）可知，和ABEF都是直角三角形,

・•・G是EF的中点，

11

/.DG=-EF,BG=-EF,

22

:.BG=DG；

③解：BG2+HG2=4AE2,证明如下：

由（1）可知，AADENACDF,DE1DF,

DE=DF,

・•.△DEF是等腰直角三角形，

/DEG=45°,

・•・G为EF的中点，

11

DG1EF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

/EGD=/HGF=ZDGF=90°,NGDF=45°,NEDG=/DEG=45°,NGBF=

ZGFB,

•••NEGB=45°,

NGBF=NGFB=22.5°,

•••/DHF+NHFG=/DHF+/CDH=90°,

ZHFG=NCDH=22.5°,

NCDF=/GDF-NHDC=22.5°=NCDH,

又：ZDCH=ZDCF=90°,CD=CD,

CDH=△CDF(ASA),

CH=CF,

在RtZkGHF中，由勾股定理得：GF2+HG2=HF2,

•••HF=2CF=2AE,GF=BG,

BG2+HG2=(2ZE)2,

BG2+HG2=4AE2.

2.(1)♦..四边形ABC。是平行四边形，

.9.AB=DC=6,

ZBAC=90°,

：.BC=y/AC2+AB2=V82+62=10,

(2)在二ABC。中，AD=BC,AD//BC,

由题意得，CQ=8t,

当点0与点8重合时，8t=10,

.工5

••t=1S,

当点0在线段BC上时，QB=BC-CQ=10—8匕

当点0在线段CB的延长线上时，QB=CQ—BC=8t-10,

综上所述，QB=10-8t(0<tO或QB=8t-10(t>Q；

(3)存在，理由如下：

如图,连接PB,AQ,

若PQ与ZB互相平分，则四边形2PBQ是平行四边形，

：.AP=BQ,

2t=St-10,

•.工•t5―S,

3

.•.当t=|s时，PQ与AB

(4)当点夕关于直线2Q对称的点落在点幺下方时，如图,

由对称得，ZPAQ=NP'ZQ,

'/AD//BC,

：.ZPAQ=/AQB,

：.ZP/AQ=^AQB,即NB2Q=4QB,

••BQ=AB=6,

ACQ=BC-BQ=4,

：.8t=4,

解得t=j;

当点尸关于直线2Q对称的点落在点幺上方时，如图,

由对称得，/I=N2,

'JAD//BC,

二/1二^3,

：2=d

.•.^3=4,

BQ=AB=3,

：.CQ=BC+BQ=16,

：.8t=16,

解得t=2,

综上所述，0的值为1或2.

3.(1)是，理由如下:

如图，连接ac,

A

BMC

...四边形ABC。是菱形,

NB—ND=60°,AB—BC=CD=AD,

.♦.△ABC,△ac。都是等边三角形，

：.AB=AC,NB=ZBAC=ZACD=/MAN=60°,

/.ZBAM=/CAN,

在484闻和AC4V中，

(ZB=/ACN

(AB^AC,

=/CAN

：.△BAM=△CAN(ASA),

：.AM=AN,

'：/MAN=60°,

...△ZMN是等边三角形；

(2)ZkCMN的面积存在最大值，理由如下：

由(1)得：△BAM=△CAN,

•♦SABAM=S&CAN，

•・S四边形AMCN=S^AMC+SAACN=SAAMC+SAABM=S^ABC，

•・S四边形4MCN=S4ABe

•,S四边形4MCN不发生变化，

则AAMN的面积最小时，AMCN的面积最大，

•..△2MN是等边三角形，根据垂线段最短可知，4M1BC时，的值最小，ZkAMN的面积最

小,

，ZAMB=90°,

由（1）得：△ABC是等边三角形，则有：BM=MC=|x2=1,

在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM=^AB2-BM2=V22-l2=V3,

.・S四边形AMCN=^^ABC=-X2XV3=V3,

同理：ME=-AM=—,

22

在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE=VT4M2-ME2=J(V3)2-(y)2=|

,SAAMN=：xgx：=^,即：ZkAMN的面积最小值为当，

2244

...△知。可的面积的最大值=8—2=过，

44

4./或鱼或1

【分析】存在三种情况：当a'D=DC,连接ED,勾股定理求得ED的长，可判断E,2‘，。三

点共线，根据勾股定理即可得到结论；当a'。=a'c,证明ZEa'F是正方形，于是得到结

论；当a'C=DC时，连接EC,FC,证明点E,a',C三点共线，再用勾股定理可得答案.

【详解】解：①当4'。=DC时，连接EQ,如图:

•••点E是ZB的中点，AB=2,BC=2V2,四边形ZBCD是矩形,

:.AE-1,AD-BC-2V2,=90°,

DE=^AE2+AD2=3,

••・将△ZEF沿EF所在直线翻折，得到△A,EF,

AE=AE=1,

vAD=DC=AB=2,

・•・DE=3=AE+AD,

.•.点E,A',。三点共线，

•••4=90°,

：.A'E=A,。=90°,

设ZF=x,则a'F=x,FD=2a-x,

在Rt2\Fa'。中a'。2+a’尸2=。92,

22+%2=（2V2—%）2,

解得:X=y,

AF=—；

2

A/。=小C,

点小在线段CD的垂直平分线上,

•••点小在线段的垂直平分线上,

•••点E是的中点，

EA7是的垂直平分线，

ZAEA=90°,

••・将尸沿EF所在直线翻折，得到△A'EF,

：.ZEA'F=90°,AFA',

.♦.四边形2£2‘F是正方形，

”=ZE=1；

③当a'C=DC时，连接EC,FC,如图：

•••点E是ZB的中点，AB=2,BC=2V2,四边形ABC。是矩形,

BE=1,=90°,

CE=y/BE2+BC2=3,

•・•将△4EF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF,

AE=AE=1,

・・•力/C=DC=AB=2,

'•CE=3=力E+AC,

•••点E,A7,C三点共线，

•••4=90°,

：.A'E=A'C=90°,

设2F=x,则4'F—x,FD=2V2—x,

在Rt^Fa'c中，a'C2+Z'F2=FC2,

在Rt^DFC中，FD2+DC2=FC2,

：.A'C2+A'F2=FD2+DC2,

2

即22+久2=（2夜一%）+22

解得：x=V2,

AF—V2；

综上所述，”的长为弓或鱼或1,

故答案为：子或企或1.

【题型3四边形中的最值问题】

1一百

2

【分析】连接。G,过点P作PG'1CD,则当G点位于G'点时，PG有最小值即PG'的长，根

据条件证明AZBE三△ZDG(SAS),可得NDPG'=90°-60°=30°,进而用勾股定理求

解即可.

【详解】解：连接DG,过点尸作PG'1CD,则当G点位于G'点时，PG有最小值即PG'的长，

如图，

四边形ZBCD是菱形，ZBAD=60。，

：.AB=AD=6,AB||CD,

是等边三角形，^ADC=120°,

:.NABD=60°,

,/四边形ZEFG是菱形，ZEAG=60

AE-AG9

/./BAE=ZDAG,

/.△ABE三△ZDG(SAS),

/ABE=^ADG,

AZADG=60°,

：.aD、G三点共线,

•.•点尸是4。的中点，AD=6,

：.PD=3,

VZDPG'=90°—60°=30°,

:.DG'=-DP

22

：.PG'=JPD2-DG，2=|V3,

即线段PG的最小值是|g,

故答案为：|V3.

2.10V2

【分析】根据垂线段最短及平行四边形的判定与性质可知当G”IE“时，”G、EF最短，E”、GF

最短，四边形EFG”是正方形即可解答.

【详解】解：VGH//EF,GH=EF,

：.四边形EFG”是平行四边形，

/.ZEFG+ZFGH=180°,EH=FG,即四边形EFG”的周长=2(EF+FG)

•.•四边形ZBCD为正方形，

^AEF+^AFE=90°,NGFB+/FGB=90°,4==90°,

:ZGFB+ZAFE+NEFG=180°,ZFGH+ZHGC+/FGB=180°,

^AEF=NHGC,

：./^AEF=△CGH,即ZE=CG

：.AE+BG=5,

过作G点的对应点N,连接EN,过N点作MN1EA,交瓦4延长线于M,

则EM=E4+AM=E2+NB=E4+BG=5,MN=5

EF+FG最短为EN=VFM2+MN2=5/，

/.四边形EFG”的周长最短=2EN=10V2,

故答案为10迎.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质.掌握将

军饮马问题是解题关键.

3.(1)解：如图1,

图1

当点刀在OB上时，

...四边形是矩形,

?.ZBAO=90°,

•:ZAOB=30

/.ZABO=90°-/AOB=60。，AB=gOB=®OA=3；

•..△2BP是等腰三角形，

..•△4BP是等边三角形，

'.AP-AB—V3,

当点P(图中P，)在。B的延长线上时,

"?ZABO=60°,

/./ABP'=120。，

•/△ABP'是等腰三角形，

：.AB=BP',

:.NP，=30°,

:.NP'=ZAOB,

：.AP'=04=3,

综上所述：AP=g或3；

(2)如图2,

存在点£和人使以0,B,E,6为顶点的四边形是菱形，理由如下:

OB是边时，

当点尸在BC的延长线时，

,/OE=BF=OB=2V3,

：.CFBF-BC2V3-3,E（—2百，0）,

/.F（3-2V3,V3）,

当点）在。3的延长线上时，

,/CF'=CB+BF'=CB+OB=3+28，OE'=OB+2百,

：.Fr（3+V3,V3）,E，（2V3,0）

当。B是对角线时，（菱形BE〃OF,）

设。E=BE—m,则4E—3—m,

在Rtz\2BE"中，由勾股定理得，m2-（3-m）2=（V3）,

/.m=2,

，E"（2,0）,F/Z（l,V3）,

综上所述：E（-2V3,0）,F（3—28,旧）或E（2g,0）,F（3+28，8）或E（2,0）,F（1,V3）；

（3）如图3,

作点。关于BC的对称点。’，作£点关于。4的对称点B',

连接。'B',交BC于点M',。2于点N',

此时OM+MN+NB的最小值为。M'+M'N‘+N’B的长，即。'B’的长,

作0'T1y轴，作B‘T1T。’于T,

,：OT'=CB=3,BT=AB+AB'+BT=3®

：.o'B'=VozT2+BZT2=J32+(3V3)2=6,

：.OM+MN+NB的最小值为：6.

4.2V3<m<|V34-V3

【分析】当点少与点〃重合时，此时有最小值，当点后与点8重合时，此时有最大值,

由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，即可求加的范围；可证△GAENA

HAF(SAS),即”F=GE,当点〃，点也点少共线时，有最小值，即可求解.

【详解】解：如图，当点户与点。重合时，此时有最小值，

•..△2EF为等边三角形,

，■=ZE=EF=4,ZFAE=60°,ZBAE=30

：.BE=^AE=2,AB=43BE=243,

如图，当点£与点6重合时，此时有最大值，

•..△2EF为等边三角形，

：.AFAEEFm,ZEAF=600,ZDAE=30

：.DF=-AF=-m,AD=43DF=4,

22

.*.m=-V3,

3

/.2V3<m<|V3.

如图，当64=2时，以4G为边作等边△4G”，作HN14B,连接HF,

：.AG=AH,AE=AF,/GAH=ZEAF=60°,

/.ZBAE=ZHAF,

：.△GAE=△HAF{SAS},

：.HF=GE,

二当点〃，点”点6共线时，有最小值，

此时，:/BAD=/D=/ANH=90°,

四边形2DFN是矩形，

：.AD=NF=4,

•.•△4G”是等边三角形，NHLAG,

.'.AN-~AG——1,NH——WAN-V3,

：.HF=4-V3.

故答案为：2百工血工日四；4-V3.

【题型4四边形中的折叠问题】

1.解：(1)二•四边形2BCD是矩形，

A^ADC=90°,

由折叠可知，^ADM=/NDM=|ZADE,NCDB=NEDB=|/CDE,

：./NDM+NEDB=-ZADE+-NCDE=-(^ADE+/CDE)=-^ADC=45°,

222vJ2

/./MDB=/NDM+/EDB=45

故答案为：45°

(2)•.,四边形ABC。是矩形，AB=6,AD=3,

CD-AB—6,BC—AD—3,^A.—NC=90°,

由折叠可知，DN=AD=3,DE=CD=6,4=NC=4=90°,BE=BC=AD=3,

在^ADF^A.EBF中，

4=%=90°

^AFD=NEFB，

AD=EB

：.△ADF=△EBF(AAS),

：.AF=EF,

设2F=EF=x,

则DF=D