北京市某中学朝阳学校2024-2025学年高一年级下册期中考试数学试题（解析版）

北京市第二中学朝阳学校2024-2025学年第二学期

高一年级数学学科期中考试试卷

考查目标：

1.基础：向量、正余弦定理、复数基础知识、立体几何初步；

2.能力：数学运算、逻辑推理能力、直观想象素养、以及分析问题解决问题的能力.

考生须知：

1.本试卷分为试题卷和答题纸，共8页：其中试题卷4页，答题纸4页.全卷共三道大题，21

道小题.

2.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

3.在试卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、学号、考号.

4.考试结束，将答题纸和机读卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分）

z=-i-

1.在复平面内，复数l-i（'为虚数单位）对应的点所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

iz（l+z）11.

【详解】解：在复平面内‘复数2=匚7=丁而而=一5+5’所对应的点在第二象限.

故选：B.

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，则））=（）

A.45B.60°

C.120D.135

【答案】D

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】设小正方形的边长为1,

建立如图所示的平面直角坐标系,

"y

则。=(3,1),Z?=(2,1)-(3,3)=(-1,-2),

a-b_-3-2_0

cos{a,b

)同丽x君一2

因为04卜，））＜乃，所以＜a,,=135.

故选：D

3.已知加，〃是两条不同直线，aP，7是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若〃ua,nlip,则alipB.若mlln,nila,则"z〃cr

C.若。_L〃，01/,则allyD.若mJ_a,mu/3,则tz_L£

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】对于A：若〃ua,nll/3,则々与夕平行或相交，故A错误；

对于B：若〃nila,则""/a或u,故B错误；

对于C：若,则。与7平行或相交，故C错误；

对于D：若mJ_a,，根据面面垂直的判定定理可得。_L£,故D正确.

故选：D

4.VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosA=bcosB,则VABC为（）.

A.等腰直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理角化边，然后确定VA3C的形状即可.

【详解】因为acosA=Z?cos5,

222

根据余弦定理得=ba+c-b,

2bc2ac

整理得（4—⑹（4+Z?2-c2）=0,

所以a=6或片+匕2=。2,

所以7ABC为等腰三角形或直角三角形，

故选：B.

5.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）

A.且兀B.兀C.夜兀D.2兀

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体

积公式，即可求解.

【详解】由题知，如图，

K4B为圆锥的轴截面，边长均为2,

则圆锥的高产0=2x@=g,

2

底面半径厂=2x^=1,

2

故圆锥体积丫=!兀户•PO=』7ixl2x百=1兀.

333

6.设。，厂是两个平面，加，〃是两条直线，若mua,”ua,贝1]“。〃〃”是“机//尸，〃〃尸”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面平行的性质与判定及充分条件、必要条件的概念得解.

【详解】若加〃4，nllp,则a,夕可能平行，也可能相交，故。〃万不一定成立，

若tz〃/?,则机//4，nlip,

故。〃〃是冽///?,“〃£的充分不必要条件.

故选：A

7.如图，在平行四边形ABCD中，加是A6的中点，DM与AC交于点、N,设AB=a，AD=b＞则

3333

1■2,

C.—aH—bD.—a——b

3333

【答案】A

【解析】

【分析】题意可得CND,即可得到AN=—AC,再根据平面向量线性运算计算即可.

3

【详解】依题意在平行四边形A3CD中，AM//CD,

又〃是A3的中点，则AM=—A3=—C。,

又DM与AC交于点、N,

所以ANMCND,则---=-----=—,

CNCD2

所以AN=」AC,

3

又AB=a,AD=b,

所以BN=AiV—AB=工AC—AB=+AD)—AB=—2AB+工AD=—+工人

33、'3333

故选：A.

8.已知|。4卜］。q=1,|。4=&,OA+OB+OC=0>设OA与OC的夹角为戊，则0=()

A.240°B.225°C.135°D.90°

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的平方等于模的平方来求解夹角即可.

【详解】由OA+QB+OC=0得：08=—(OA+OcjnOB?=(OA+OC『

因为口4=|。q=1,|oc卜应，所以1=1+2+2040。0口4口。105(04,。0=—1,

即cos(OA,阻=X=-*

因为(。4℃》［0,可，所以3,00=很，

故选：C.

9.如图，三棱锥P—ABC中，△R4BAP3c均为正三角形，VA3C为直角三角形，斜边为AC,M为

PB的中点，则直线A",尸。所成角的余弦值为()

I—立B.eC.显D.-

6663

【答案】B

【解析】

【分析】取3c的中点N,连接MN,AN,可得MN,AM所成的角即为直线A",尸。所成的角，设

AB=2,利用余弦定理可求解.

【详解】取3C的中点N,连接MN,AN,易得NMPC,

则MN,AM所成的角即为直线A",尸。所成的角.

设AB=2,因为△PA8,△依。均为正三角形，VA3C为直角三角形，斜边为AC,

则AN=百2+AB?=逐），MNqPC=1,AW=ABsin60。=Q，

在LAAW中，由余弦定理，得cos/9亚=1+二=_B,

2xV3xl6

所以直线A",PC所成角的余弦值为迫.

6

故选：B

10.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有丫升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三

角形，则V的取值范围是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体A3CD4151A和三棱锥A-A3。，从而可得

出答案.

【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，

则如图，水最少的临界情况为，水面为面A出。，

水最多的临界情况为多面体ABCD\BXDX,水面为BCR,

因为匕-ABD=gx；xlxlxl=3,

=Uxlxlxlxl=^

VABCDAB^=^ABCD-AfBiQDi—匕-BGq

1326

第n卷（非选择题）

二、填空题（共6道小题，每题5分，共30分）

11.已知向量a,6的夹角为45。，且同=1,W=0\则,+2可=.

【答案】岳

【解析】

【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.

【详解】因为向量入6的夹角为45。，且同=1,忖=0,

所以|a+2Z?|=J(a+2b)=yja*2+4Z?2+4a-b

=J|tt|2+4|z?|+4|ti|-|z»|-cos45o

=Jl+4x2+4x1x72x^=713.

故答案为：y/13-

12.若复数z满足：（z+2i）（2+i）=3—i,其中i为虚数单位，则|z|=

【答案】回

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模.

【详解】因为（z+2i）（2+i）=3—i,

3-i(3-i)。-i)

所以z=-2i=-2i=l-i-2i=l-3i

2+i(2+i)。-i)

所以d=小2+(—3)2-^10.

故答案为：y/10

13.已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为

7?

【答案】一

2

【解析】

【分析】根据正方体的对角线是球的直径以及球的表面积公式可得结果.

【详解】设正方体的棱长为。，依题意得正方体的对角线是球的直径,

所以球的半径为走a，表面积为4a

=3兀。2,

2

正方体的全面积为6a2,

所以球的表面积与这个正方体的全面积之比为斗=-.

6a22

7T

故答案为：—.

2

14.如图所示，已知三棱柱ABC-A]B|G的所有棱长均为1,且AA]_L底面ABC,则三棱锥B】-ABC1

的体积为

【答案】B

12

【解析】

【详解】三棱锥Bi—ABCi的体积等于三棱锥A—BiBCi的体积，三棱锥A—BiBCi的高为正，底面积为

2

果故其体积为抬呼=冷

15.如图所示，在四边形ABCD中，已知AB=2,CD与以A3为直径的半圆。相切于点。，且

BC//AD,若ACm=—l，则3£>=；此时4。。。=.

3

【答案】①.1②.二

2

【解析】

【分析】利用向量的线性运算、数量积运算化简AC8。=-1，由此求得即再利用向量线性

运算和数量积运算，求得的。。.

【详解】依题意AC-BD=（AB+BC）.BD=AB-BD+BC-BD=—1,

因为3C〃AD,AB是半圆。的直径，则AD1.50,

所以3r)_L3C,所以BCBD=0,

BD

故AB-5。=-1•而cosNABD=，

AB

所以AB•3D=|人⑷也可•(-cosZABD)

=-\AB\-\BD\~IXL=J-H=-^

所以WU=1,即80=1.

ADOD=(AB+BD^OB+BD^^AB+BDy^AB+BD^

1.2-23133

=-AB'+BD+-ABBD=-x4+i2+-x(-l)=-.

2222v72

,..3

故答案为：1；—.

2

【点睛】本小题主要考查向量的线性运算、数量积运算，属于中档题.

16.如图，在单位正方体A5CD-44G。中，点尸是线段上的动点，给出以下四个命题:

①异面直线PC］与直线与C所成角的大小为定值；

②二面角P-BC.-D的大小为定值；

4

③若Q是对角线AG上一点，则PQ+QC长度的最小值为-；

④若R是线段BD上一动点、,则直线PR与直线4c不可能平行.

其中真命题有.

【答案】①②③

【解析】

【分析】利用线面垂直的性质可判断①；利用二面角的定义可判断②；将！和△ACG延展为一个平

面，分析可知，当PCLAD］时，PQ+CQ取最小值，结合三角恒等变换相关知识可判断③；设

TT

ACi3。=O,结合余弦定理可得在A4上必然存在一点E，使得二面角E-3。—C］为,，设平面5QE

与平面A。。A的交线为则ED过尸点作BD的垂线依，结合线面垂直的性质可判断

【详解】对于①，因四边形为正方形，则

因为ABJ_平面351clC,4(?匚平面55℃,所以瓦C,48,

因为AB、BGu平面ABG2，所以耳C，平面ABGA,

因为PGu平面ABCiA,所以PG，5|C,

故异面直线PCi与直线gC所成角为90,为定值，①对；

对于②，平面PBG与平面重合，故二面角尸-BG—。的大小即为A—3。］一。的大小，为定

值，②对；

对于③，将！和△ACQ延展为一个平面，如下图所示：

因为G21平面AA^D^D,ADXU平面A^D^D,所以CR1ADi,

同理可知ACLCG，且明=AC=&,AQ=7AC2+CQ2=Vs,

所以RtAACCj也RtAADjQ,所以NCAG=NRA£,

口•/「dr_CG_1_也_AC_亚6

且sinNCAC]——(—―,cosNCAC)—一«——

A£631AC,：3

A/3V6272

所以sinNCAA=sin(2NC4G)=2sinNCAGcosNG4G=2x----x----=------

333

当PC_LAR时，PQ+CQ取最小值，

且最小值为PC=ACsinNC4D]=0x2f=g,③对；

对于④，在正方体ABC。—ABIGR中，

因为四边形ABC。为正方形，所以AC/3。,

因为平面ABC。，6Du平面ABC。，所以BDLAA，

因为A&AC=A,A4、ACu平面441GC,所以8D上平面出。。，

因为A£u平面441G。，所以AC，5。，同理可证ACLBG，

因为3。BQ=B,BD、5£u平面3DG，所以4。，平面3。。],

设ACBD=O,因为AOu平面441GC,所以

则NAOG即为二面角A—5。—£的平面角，

又正方体棱长为1,故AG=JLAO=OC=—,则C0=皆0=QAA；+co,=/^二逅

2V22

由余弦定理得COS/AOG=42^^£&=£,故NAOG<],同理]<NAOG<TI,

jr

故在AA上必然存在一点£,使得二面角E-BD-q为3,

即平面EBD，平面BDC],平面5QE与平面ADD^的交线为DE,

则EDA。=P,过点p在平面BDE内作BD的垂线PR，

因为尸Ru平面5DE,所以PR,平面BDG，

又ACJ_平面BDG，故PR〃AC,④错.

故答案为：①②③.

三、解答题(共5道小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

17.己知复数2=。+](。^区),为虚数单位.

(1)若归=1,求。的值；

7

(2)若三为实数，求a的值.

1+1

(3)若Z]=z(l-2i)，z在复平面上对应的点在第一象限，求a的取值范围.

【答案】(1)a=0

(2)a=l

【解析】

【分析】(1)根据复数模长公式得到方程，求出a=0；

(2)利用复数除法法则化简，得到方程，求出。=1；

(3)利用复数乘法法则得到4=(a+2)+(l—2a)i,得到不等式组，求出答案.

【小问1详解】

因回=y/a2+1=1,所以a=0.

【小问2详解】

+i)a+11—a

因为下(l+i)(l-i)+i为实数,

所以，1—a=0,解得a=l.

2

【小问3详解】

因为Z[=Z(1—21)且2=。+1(。€1i),

所以Z]=(a+i)(l—2i)=(a+2)+(1—2a)i,

因为4在复平面上对应的点在第一象限，

〃+2>01(1A

所以<三八，解得一2<“<—，故—2,彳

l-2a>Q2I2)

ULIUUU

18.已知向量。4=(2,1),03=(3,-2),OC=(6-m,-3-m).

(1)若点A,B,C共线，求实数相的值；

(2)若△ABC为直角三角形，求实数机的值.

【答案】(1)m=2；(2)»t=—8或加=—3

【解析】

【分析】首先求出A3，AC>的坐标；

UUULUUIU

(1)依题意可得A3〃AC，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得;

（2）对直角分三种情况讨论，若NA为直角，则A31AC,所以A3-AC=0，即可求出参数的值，其

余类似；

UULUUU

【详解】解：（1）因为。4=（2,1）,05=（3,-2）,OC=（6-m,-3-m）,

所以AB=QB_Q4=（3,—2）—（2』）=（L—3）,

AC=OC-OA=（6-m,-3-m）-（2,1）=（4-m,^4--m）

BC=OC-OB=（6-m,-3-m）-（3,-2）

因为A、B、。三点共线，所以AB〃AC，所以1*（-4一帆）=一3义（4一/"）,解得加=2

（2）①若NA为直角，则ABIAC,所以⑷3.AC=lx（4）—3x（T—加）=0,解得加=—8

②若4为直角，则ABL5C,所以A3-3C=lx（3—相）—3x（-1—加）=0,解得和=—3

③若/C为直角，则,AC,所以3C.AC=（3—加）x（4—加）+（—1一〃z）x（T—加）=0,即

机2_〃?+8=0，因为△=（—I7—4x8=—31<0,所以方程无解；

综上可得，当初=—8或加=一3时VA3C为直角三角形

2

19.在VA5C中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,。.已知sirA-siYBusin?。——sinBsinC.

3

（1）求cosA的值：

（2）若cosB=g,VA3C的周长为2+26,求VA3C的面积.

【答案】（1）-

3

（2）V2

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得cosA；

（2）由诱导公式和两角和的正弦公式求得sinC,从而得到5=0,结合已知条件求解即可.

【小问1详解】

2

因为sir^A-siYB=sin2c——siiiBsinC,

3

2

所以由正弦定理可得a2-b2=c2——be,

3

由余弦定理得"=+c2—2Z?ccosA»

所以一反=2bccosA,得cosA=—；

33

【小问2详解】

因为cosA.——,cosB=,0<A,5<Ji,

33

r-rpi.2y[2.A/6

u\以sinAA—-----,sin5------，

33

述x3+\"=逅

所以sinC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB=

33333

即sin5=sinC,由正弦定理得Z?=c①，

因为丫45。的周长为2+26，即a+6+c=2+26②，

2

由（1）知/一/=。2―be③,

3

①②③联立解得a=2,b=c=5

所以VABC的面积为S.„r=—absinC=-x2xy/3x^-=y/2■

ABC223

20.如图，已知平面RIB，平面ABC。，四边形ABC。是正方形，PA=AB,点、E,P分别是3C,

(1)若点M为线段AO中点，求证：PM//平面AM；

(2)求证：AF,平面P3C；

(3)若43=1，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使四棱锥尸-A5C。存

在，求二面角尸—DC—A的余弦值.

条件①：PA±DC；

条件②：PC1BC；

条件③：PB=AB；

注：如果选择条件不能使四棱锥尸-A5CD存在得零分.

【答案】(1)证明见解析

（2）证明见解析（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）连接连接MB交AE于点N,连接FN,证明ME//A8即可得证；

（2）根据线面垂直的判断定理即可得证；

（3）条件①：上4LOC,即证。CLPD,ADJL。。，即/P/M为二面角尸—DC—A的平面角，在△BAD

中计算cosNPZX即可；

条件②：PCA.BC,由（2）有5C,尸5即可判断；

条件③：PB=AB，取AB的中点为。，CD的中点为〃，连接PO,OH,PH,即证丹/LDC,又

OHLDC,得ZPHO为二面角P—DC—A的平面角，在RtPOH计算即可求解.

【小问1详解】

连接〃E,AE,连接MB交AE于点N,连接F7V,

因为点河为AD的中点，E为3C中点，所以〃石//A8,

又四边形A3CD是正方形，

所以四边形ABEM为矩形，

即N为MB的中点，又尸为尸3的中点，所以PM//FN,

又PMC平面AE/LRVu平面AEF，

所以？M//平面AEF；

由/，4=A3,E为依的中点，得

又因为四边形ABCD是正方形，所以5CLA5,

又平面上钻，平面ABCD,平面平面ABCD=AB,

所以平面A45,又APu平面B45,

所以AF_Z3C,又BCPB=B,BC,PBu平面P3C,

所以"，平面P3C；

【小问3详解】

条件①：PA±DC；

由四边形A3CD为正方形，得又B4cA£)=A,PA,A。u平面？AO,

所以DC_L平面BLD,又？Du平面？AD,DC±PD,又AD_L。。，

所以/PR4为二面角P—DC—A的平面角，

由(2)有5CL平面/^45,又ADIIBC,所以平面

又PAu平面八43,所以ADLB4,又因为9=AB=AD=1，

所以在中，ZPDA=-,所以cos/PD4=cos^=立，

442

所以二面角P—DC—A的余弦值为走；

2

条件②：PCA.BC；

由(2)有3。，平面B4B，P5u平面B43，所以BCLPB,

在△P3C中，5C，依,3。，PC矛盾，所以不存在；

条件③：PB=AB；

又所以「八"为等边三角形，

取A3的中点为。，CD的中点为“，连接PO,OH,PH,则OH//BC,即07/LDC,

由，K4B为等边三角形，。为的中点，

所以PO_LAB,又又平面上钻，平面ABC。，平面Q45c平面ABCD=AB，

所以POJ_平面ABCD,又。Cu平面ABCD,所以POJ_Z)C,

又OHLDC,POcOH=O,PO,0"u平面p。//,所以。CL平面PON,PHu平面PON,

所以PH_LDC,又OH工DC,

所以ZPHO为二面角P—DC—A的平面角，

又B4=P5=AB=1,OB=^-AB=^-,所以p。=Jp^—加=旦，OH=BC=AB=1,

222

在Rt_POH中，PH=^PO2+OH-=—

2

1_2A/7

cosZPHO=—

所以PH

所以二面角P—DC—A的余弦值为空.

7

21.对于三维向量为=(4,%,zj(%,%,2卜eN,左=0,1,2,…)，定义“尸变换”：ak+l=F(a^,其中，

4+1=%一%|，%+1=|%—Z32人1=院一“.记(。，=*广曰,/』=4+”+2尢.

⑴若4=(3,1,2),求㈤及同|；

(2)证明：对于任意7,经过若干次尸变换后，必存在KeN*，使,。=0；

(3)已知《=(p,2,q)(q20),|同=2024,将囚再经过加次/变换后，,J最小，求m的最小值.

【答案】(1).4.=。；卜2|=2.

(2)证明见解析(3)505

【解析】

【分析】(1