求形如x+y=xy,求ax+by的最小值多种方法详解E4

已知正数满足13x+25y=10xy,求22x+26y的最小值主要内容：通过替换、代入、柯西不等式、k值换元法、二次方程判别式、导数法及多元函数最值法等，介绍22x+26y在13x+25y=10xy，且x，y为正数条件下最小值的计算步骤。主要公式：1.均值不等式：正实数a,b满足a+b≥2eq\r(ab)。2.柯西不等式：对于四个正实数x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x+y)(b+c)≥(eq\r(xb)+eq\r(yc))²，等号条件为：cx=by。3.导数公式：eq\f(d(ax),dx)=a,eq\f(d(\f(1,x)),dx)=-eq\f(1,x²).方法“1”的代换22x+26y=eq\f(1,10)*(22x+26y)*10=eq\f(1,10)*(22x+26y)(eq\f(25,x)+eq\f(13,y))=eq\f(1,10)*(550+338+286*eq\f(x,y)+650*eq\f(y,x))利用均值不等式，则有：22x+26y≥eq\f(1,10)*(550+338+2eq\r(25*13*22*26))即：22x+26y≥eq\f(1,10)*(550+338+260eq\r(11))则：22x+26y≥eq\f(444+130eq\r(11),5)。所以：22x+26y的最小值=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法柯西不等式法对已知条件变形为:eq\f(25,x)+eq\f(13,y)=10，再运用不等式公式：∵(eq\f(25,x)+eq\f(13,y))(22x+26y)≥(eq\r(22*25)+eq\r(13*26))²∴10(22x+26y)≥(5eq\r(22)+13eq\r(2))²,即：22x+26y≥eq\f(1,10)*(5eq\r(22)+13eq\r(2))²，所以：22x+26y的最小值=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法二次方程判别式法设22x+26y=t,则y=eq\f(1,26)*(t-22x),代入已知条件得：eq\f(25,x)+eq\f(338,t-22x)=10,方程进行通分有：25(t-22x)+338x=10x(t-22x)10*22x²+(338-10t-550)x+25t=0,方程有解，则判别式为非负数，即：△=(338-10t-550)²-4*10*22*25t≥0，化简得：(10t-888)²≥4*25*13*22*26。要求t的最小值，则对不等式两边开方有：10t-888≥260eq\r(11),10t≥888+260eq\r(11)，即tmin=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法代入法：由已知条件13x+25y=10xy可知：y=eq\f(13x,10x-25)＞0,代入所求表达式有：22x+26y=22x+26*eq\f(13x,10x-25)=eq\f(1,10)*[22(10x-25)+eq\f(25*13*26,10x-25)+888]≥eq\f(1,10)*[888+2eq\r(25*13*22*26))]=eq\f(1,10)*(888+260eq\r(11))=eq\f(444+130eq\r(11),5).方法k值换元法设y=kx,k＞0，代入已知条件有：13x+25kx=10xkx，即：x=eq\f(13+25k,10k),则y=eq\f(13+25k,10),代入所求表达式22x+26y有：22*eq\f(13+25k,10k)+26*eq\f(13+25k,10)=eq\f(1,10)[22*eq\f(13+25k,k)+26(13+25k)]=eq\f(1,10)(eq\f(22*13,k)+22*25+26*13+26*25k)=eq\f(1,10)(eq\f(22*13,k)+26*25k+888)≥eq\f(1,10)[2eq\r(25*13*22*26)+888]=eq\f(1,10)*(888+260eq\r(11))=eq\f(444+130eq\r(11),5).方法导数法：设所求代数式的最小值为t，则22x+26y=t,求导有：eq\f(dy,dx)=-eq\f(11,13);对已知条件变形为eq\f(25,x)+eq\f(13,y)=10，求导有:-eq\f(25,x²)-eq\f(13,y²)*eq\f(dy,dx)=0,即：eq\f(dy,dx)=-eq\f(25,13)*(eq\f(y,x))²,所以：-eq\f(11,13)=-eq\f(25,13)*(eq\f(y,x))²，求出：y=eq\r(\f(11,25))x,代入有：13x+25*eq\r(\f(11,25))x=10x*eq\r(\f(11,25))x,即：x=eq\f(55+13\r(11),22),进一步求出:y=eq\r(\f(11,25))*eq\f(55+13\r(11),22)=eq\f(13+5\r(11),10),所以:22x+26y的最小值=22*eq\f(55+13\r(11),22)+26*eq\f(13+5\r(11),10)=eq\f(444+130eq\r(11),5)。方法多元函数极值法设F(x,y)=22x+26y+λ(eq\f(25,x)+eq\f(13,y)-10),分别对参数求偏导数得：Fx=22-eq\f(25λ,x²),Fy=26-eq\f(13λ,y²),Fλ=eq\f(25,x)+eq\f(13,y)-10。令Fx=Fy=Fλ=0,则：22x²=25λ,26y²=13λ,x=eq\r(\f(25λ,22)),y=eq\r(\f(13λ,26))。代入得方程：eq\f(\r(22*25),eq\r(λ))+eq\f(\r(13*26),eq\r(λ))=10,eq\r(λ)=eq\f(1,10)*(eq\r(22*25)+eq\r(13*26)),则：22x+26y的最小值=(eq