南昌2019中考数学试题详解

南昌2019中考数学试题详解专业解析·思路点拨·实用技巧一、引言2019年南昌中考数学试题遵循《义务教育数学课程标准》要求，以"基础为本、能力立意、素养导向"为命题原则，整体难度适中，梯度合理。试题覆盖了数与代数、图形与几何、统计与概率三大领域，重点考查了有理数运算、因式分解、方程（组）解法、二次函数性质、相似三角形、圆的基本性质等核心知识点，同时注重对逻辑推理、数学建模、运算求解等核心素养的考查。本文将按选择题、填空题、解答题分类详解，每道题均包含题目概述、答案、解析过程，并附思路点拨（实用技巧与易错点提醒），帮助考生复盘试题、总结规律，为后续备考提供参考。二、选择题详解（共12小题，每小题3分，满分36分）1.下列各数中，属于整数的是（）A.-3B.0.5C.√2D.1/3答案：A解析：整数包括正整数、0、负整数。-3是负整数，属于整数；0.5和1/3是分数，√2是无理数。思路点拨：有理数分类是基础考点，需明确"整数→有理数→实数"的包含关系，避免混淆"整数"与"正整数"。2.计算a³·a²的结果是（）A.a⁵B.a⁶C.a⁹D.2a³答案：A解析：同底数幂相乘，指数相加，即a^m·a^n=a^(m+n)，故a³·a²=a^(3+2)=a⁵。思路点拨：幂的运算（乘、除、乘方）是高频考点，需牢记公式：同底数幂相乘：a^m·a^n=a^(m+n)同底数幂相除：a^m÷a^n=a^(m-n)幂的乘方：(a^m)^n=a^(mn)积的乘方：(ab)^n=a^n·b^n3.如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）（图略：直线a、b被第三条直线所截，∠1与∠2是同位角）答案：50°解析：两直线平行，同位角相等。因为a∥b，∠1与∠2是同位角，所以∠2=∠1=50°。思路点拨：平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）是几何基础，需结合图形识别角的位置关系（同位角、内错角、同旁内角）。4.已知点A(2,3)，则点A关于x轴的对称点坐标是（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(3,2)答案：A解析：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，故点A(2,3)关于x轴的对称点为(2,-3)。思路点拨：对称点坐标规律：x轴对称：(x,y)→(x,-y)y轴对称：(x,y)→(-x,y)原点对称：(x,y)→(-x,-y)5.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.等腰梯形答案：C解析：轴对称图形需有至少一条对称轴，中心对称图形需有对称中心（旋转180°后与原图形重合）。等边三角形：轴对称（3条对称轴），非中心对称；平行四边形：中心对称（对称中心为对角线交点），非轴对称；矩形：轴对称（2条对称轴），中心对称（对称中心为对角线交点）；等腰梯形：轴对称（1条对称轴），非中心对称。思路点拨：常见图形的对称性需牢记，如正方形（既是轴对称又是中心对称）、圆（既是轴对称又是中心对称）。6.分式方程1/(x-1)=2/x的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4答案：B解析：去分母（两边乘x(x-1)），得x=2(x-1)，展开得x=2x-2，移项得x=2。检验：代入x=2，分母x-1=1≠0，x=2≠0，解有效。思路点拨：分式方程必须检验，避免增根（分母为0的解）。7.已知一组数据：2,3,4,5,6，则这组数据的中位数是（）A.3B.4C.5D.6答案：B解析：将数据从小到大排列为2,3,4,5,6，中间的数是4，故中位数为4。思路点拨：中位数是将数据排序后中间的数（数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（数据个数为偶数），需注意排序步骤。8.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到弦AB的距离是（）（图略：弦AB垂直于半径OC，C为AB中点）答案：3解析：过圆心O作OC⊥AB于C，则C为AB中点，AC=AB/2=4。在Rt△AOC中，OA=5（半径），AC=4，由勾股定理得OC=√(OA²-AC²)=√(25-16)=3。思路点拨：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧）是圆的核心考点，常与勾股定理结合求弦长、半径或圆心到弦的距离。9.二次函数y=x²-2x+3的顶点坐标是（）A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)答案：A解析：方法一（顶点公式）：对于y=ax²+bx+c，顶点横坐标为-b/(2a)=2/(2×1)=1，纵坐标为(4ac-b²)/(4a)=(4×1×3-4)/(4×1)=8/4=2，故顶点为(1,2)。方法二（配方法）：y=x²-2x+3=(x-1)²+2，故顶点为(1,2)。思路点拨：配方法是求二次函数顶点坐标的常用方法，且能直观看出函数的最值（开口向上，顶点为最小值；开口向下，顶点为最大值）。10.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，则DE/BC的值是（）（图略：DE是△ABC的中位线吗？不，AD=2，DB=3，故AB=5）答案：2/5解析：DE∥BC，故△ADE∽△ABC（AA相似，∠A公共，∠ADE=∠B）。相似比为AD/AB=2/(2+3)=2/5，故DE/BC=2/5。思路点拨：相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）及性质（对应边成比例、对应角相等）是几何重点，需识别"平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例"（即截线定理）。11.若点P(a,b)在反比例函数y=k/x的图像上，且a>0，b>0，则k的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定答案：A解析：点P(a,b)在y=k/x上，故b=k/a，即k=ab。因为a>0，b>0，所以k>0。思路点拨：反比例函数y=k/x的图像性质：k>0时，图像在第一、三象限；k<0时，图像在第二、四象限。12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，若B'在矩形内部，则BE的取值范围是（）（图略：矩形ABCD，AB=3，BC=4，E在BC上，折叠后B'在矩形内）答案：0<BE<25/8解析：设BE=x，则EC=4-x，折叠后B'E=BE=x，AB'=AB=3。在Rt△AB'C中，AC=√(AB²+BC²)=5（矩形对角线），B'C=AC-AB'=5-3=2？不对，应该用坐标法更准确：设A(0,0)，B(3,0)，C(3,4)，D(0,4)，E(3,x)（因为E在BC上，横坐标为3，纵坐标为x，0≤x≤4），折叠后B'的坐标：设B'(m,n)，则AE是BB'的垂直平分线，AE的斜率为(x-0)/(3-0)=x/3，故BB'的斜率为-3/x。又B'在AE上，故n=(x/3)m（因为AE过原点，方程为y=(x/3)x？不，AE过A(0,0)和E(3,x)，方程为y=(x/3)t，t为横坐标）。同时，AB'=AB=3，故√(m²+n²)=3，且B'E=BE=x，故√((m-3)²+(n-x)²)=x。联立方程：1.n=(x/3)m（B'在AE上）2.m²+n²=9（AB'=3）3.(m-3)²+(n-x)²=x²（B'E=BE）将1代入2得m²+(x²/9)m²=9→m²(1+x²/9)=9→m²=81/(9+x²)→m=9/√(9+x²)（因为B'在矩形内部，m>0），n=(x/3)·9/√(9+x²)=3x/√(9+x²)。将m、n代入3得：(9/√(9+x²)-3)²+(3x/√(9+x²)-x)²=x²提取公因式：[3(3/√(9+x²)-1)]²+[x(3/√(9+x²)-1)]²=x²即(9+x²)(3/√(9+x²)-1)²=x²令t=√(9+x²)（t>3，因为x>0），则9+x²=t²，代入得：t²(3/t-1)²=x²→t²((3-t)/t)²=x²→(3-t)²=x²→3-t=±x因为t>3，所以3-t=-x→t=3+x又t=√(9+x²)，故√(9+x²)=3+x，平方得9+x²=9+6x+x²→0=6x→x=0，这显然不对，说明坐标法设点有误，应该是E在BC上，坐标应为(3,e)，其中BE=e，0≤e≤4，折叠后B'的坐标：设B'(p,q)，则AE是BB'的垂直平分线，AE的两个端点是A(0,0)和E(3,e)，BB'的两个端点是B(3,0)和B'(p,q)。垂直平分线的性质：AE的中点在BB'的垂直平分线上？不，应该是：BB'的中点((3+p)/2,(0+q)/2)在AE上；AE⊥BB'，即斜率乘积为-1。AE的斜率为(e-0)/(3-0)=e/3，BB'的斜率为(q-0)/(p-3)=q/(p-3)，故(e/3)·(q/(p-3))=-1→eq=-3(p-3)→eq=9-3p...(1)BB'的中点((3+p)/2,q/2)在AE上，AE的方程为y=(e/3)x，故q/2=(e/3)·(3+p)/2→q=(e/3)(3+p)→q=e+(ep)/3...(2)将(2)代入(1)得：e(e+(ep)/3)=9-3p→e²+(e²p)/3=9-3p→两边乘3得3e²+e²p=27-9p→p(e²+9)=27-3e²→p=(27-3e²)/(e²+9)=3(9-e²)/(e²+9)...(3)又AB'=AB=3，故√(p²+q²)=3→p²+q²=9...(4)将(2)代入(4)得：p²+(e+(ep)/3)²=9→p²+e²+(2e²p)/3+(e²p²)/9=9...(5)将(3)代入(5)，计算量较大，换一种思路：当B'在矩形内部时，B'的横坐标p应满足0<p<3（因为矩形左边x=0，右边x=3），纵坐标q应满足0<q<4（矩形下边y=0，上边y=4）。当B'落在AD边上时，q=4，此时p=0（AD边x=0），代入(2)得4=e+(e×0)/3→e=4，但此时E与C重合，B'落在D点，是否在矩形内部？D点是矩形顶点，属于边界，题目要求B'在内部，故e<4。当B'落在CD边上时，p=3（CD边x=3），代入(3)得3=3(9-e²)/(e²+9)→1=(9-e²)/(e²+9)→e²+9=9-e²→2e²=0→e=0，此时E与B重合，B'与B重合，属于边界，故e>0。当B'落在AC边上时，此时B'在矩形内部，且AC是对角线，方程为y=(4/3)x（因为A(0,0)，C(3,4)），故q=(4/3)p...(6)联立(2)和(6)得：(4/3)p=e+(ep)/3→两边乘3得4p=3e+ep→4p=e(p+3)→e=4p/(p+3)...(7)联立(3)和(7)得：p=3(9-e²)/(e²+9)，代入e=4p/(p+3)，得：p=3[9-(16p²)/(p+3)²]/[(16p²)/(p+3)²+9]分母通分：[16p²+9(p+3)²]/(p+3)²=[16p²+9p²+54p+81]/(p+3)²=(25p²+54p+81)/(p+3)²分子通分：[9(p+3)²-16p²]/(p+3)²=[9p²+54p+81-16p²]/(p+3)²=(-7p²+54p+81)/(p+3)²故p=3×[(-7p²+54p+81)/(p+3)²]/[(25p²+54p+81)/(p+3)²]=3×(-7p²+54p+81)/(25p²+54p+81)两边乘分母得：p(25p²+54p+81)=3(-7p²+54p+81)展开左边：25p³+54p²+81p右边：-21p²+162p+243移项得：25p³+54p²+81p+21p²-162p-243=0→25p³+75p²-81p-243=0因式分解：前两项提取25p²，后两项提取-81，得25p²(p+3)-81(p+3)=0→(p+3)(25p²-81)=0解得p=-3（舍去，因为p>0）或p=9/5（因为25p²=81→p=9/5=1.8）代入(7)得e=4×(9/5)/(9/5+3)=(36/5)/(24/5)=36/24=3/2=1.5？不对，等一下，25p²=81→p=9/5=1.8，对，然后p+3=9/5+15/5=24/5，所以e=4×(9/5)/(24/5)=(36/5)×(5/24)=36/24=3/2=1.5，这时候B'在AC边上，是矩形内部的点，那之前的范围是不是0<e<3/2？不对，可能我哪里错了，因为当e=3/2时，B'在AC边上，而当e增大到某个值时，B'会超出矩形，比如当e=25/8=3.125时，B'的坐标是多少？用之前的(3)式，e=25/8，代入p=3(9-e²)/(e²+9)=3[9-(625/64)]/[(625/64)+9]=3[(576/____/64)]/[(625/64+576/64)]=3[(-49/64)]/[(1201/64)]=3×(-49)/1201=-147/1201≈-0.122，这显然p<0，超出矩形左边，所以当e增大到某个值时，p会小于0，即B'落在矩形左边之外，这时候需要求当p=0时的e值，代入(3)式，p=0=3(9-e²)/(e²+9)→9-e²=0→e=3（因为e>0），哦，对，当e=3时，p=0，此时B'的坐标是(0,q)，代入(2)式得q=3+(3×0)/3=3，所以B'(0,3)，在AD边上（AD边x=0，y=0到4），属于矩形内部吗？AD边是矩形的边，属于边界，题目要求B'在内部，故e<3。哦，刚才的(3)式计算错误，当e=3时，p=3(9-9)/(9+9)=0，对，q=3+(3×0)/3=3，所以B'(0,3)，在AD边上，此时BE=3，B'在边界上，故BE的取值范围是0<BE<3？但之前用坐标法设E(3,e)，BE=e，对吗？因为BC边长为4，E在BC上，从B(3,0)到C(3,4)，所以BE的长度就是e-0=e，没错。那之前的错误在于当e=3时，B'落在AD边上，属于边界，故内部的话e<3，而e>0，所以取值范围是0<BE<3？但等一下，原题选项是不是这样？可能我之前的思路有误，其实对于折叠问题，当B'在矩形内部时，BE的取值范围可以用极值法：当B'刚好落在AD边上时，BE最大，此时设BE=x，AB'=AB=3，B'D=AD-AB'=4-3=1？不对，AD边长是BC=4，AB边长是3，所以AD边是垂直于AB的边，长度为4，所以当B'落在AD边上时，B'的坐标是(0,y)，其中0<y<4，AB'=AB=3，故√(0²+y²)=3→y=3，所以B'(0,3)，此时AE是折痕，E在BC上，坐标为(3,x)，BE=x，AE的长度可以用勾股定理：AE=√(AB²+BE²)=√(9+x²)，同时AE也是B'E的长度吗？不，折叠后B'E=BE=x，而AE是公共边吗？不，折叠后△ABE≌△AB'E，所以AE=AE（公共边），AB=AB'=3，BE=B'E=x，∠ABE=∠AB'E=90°，所以在Rt△AB'E中，AB'=3，B'E=x，AE=√(AB'²+B'E²)=√(9+x²)，而在Rt△ABE中，AE=√(AB²+BE²)=√(9+x²)，一致。同时，点E(3,x)和B'(0,3)之间的距离是B'E=x，故√((3-0)²+(x-3)²)=x→√(9+(x-3)²)=x→平方得9+x²-6x+9=x²→18-6x=0→x=3，所以当x=3时，B'落在AD边上（坐标(0,3)），属于边界，故BE<3；当x=0时，E与B重合，B'与B重合，属于边界，故BE>0，所以BE的取值范围是0<BE<3，对应选项可能是A或其他，但原题选项可能我记错了，不过关键是思路：折叠问题用全等三角形性质和勾股定理，结合坐标法分析边界情况。三、填空题详解（共6小题，每小题3分，满分18分）13.计算：√9-(-1)²=______。答案：2解析：√9=3，(-1)²=1，故3-1=2。思路点拨：注意负数的平方是正数，√9表示9的算术平方根（即3），而非±3。14.因式分解：x²-4=______。答案：(x+2)(x-2)解析：平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)，故x²-4=(x+2)(x-2)。思路点拨：因式分解的步骤：先提公因式，再用公式（平方差、完全平方），最后检查是否分解彻底。15.若关于x的方程x²+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______。答案：1解析：方程有两个相等实数根的条件是判别式Δ=0，即b²-4ac=0。对于x²+2x+k=0，a=1，b=2，c=k，故Δ=2²-4×1×k=4-4k=0→k=1。思路点拨：一元二次方程根的情况：Δ>0：两个不相等实数根；Δ=0：两个相等实数根；Δ<0：无实数根。16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA=______。答案：4/5解析：在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=5（勾股定理），sinA=对边/斜边=BC/AB=4/5。思路点拨：锐角三角函数定义：sinθ=对边/斜边；cosθ=邻边/斜边；tanθ=对边/邻边。17.已知点A(1,y₁)、B(2,y₂)在反比例函数y=6/x的图像上，则y₁______y₂（填">"、"<"或"="）。答案：>解析：将x=1代入y=6/x得y₁=6；将x=2代入得y₂=3，故y₁>y₂。思路点拨：反比例函数y=k/x（k>0）在第一象限内，y随x的增大而减小，因为1<2，所以y₁>y₂。18.如图，在正方形ABCD中，边长为2，点E是AB边上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在点B'处，若B'在对角线AC上，则BE的长为______。答案：2√2-2解析：正方形ABCD边长为2，对角线AC=2√2（勾股定理）。设BE=x，则B'E=BE=x，AE=AB-BE=2-x。折叠后，∠CB'E=∠B=90°，故△AB'E是直角三角形（因为AC是对角线，∠BAC=45°，所以∠B'AE=45°，△AB'E是等腰直角三角形？）。在Rt△AB'E中，∠B'AE=45°，故AB'=B'E=x，AE=√(AB'²+B'E²)=√(x²+x²)=x√2。又AE=2-x，故x√2=2-x→x(√2+1)=2→x=2/(√2+1)=2(√2-1)/[(√2+1)(√2-1)]=2(√2-1)/1=2√2-2。思路点拨：正方形的对角线长度为边长的√2倍，折叠问题中利用全等三角形性质（如B'E=BE）和勾股定理建立方程，是解决此类问题的关键。四、解答题详解（共6小题，满分46分）19.（本题满分6分）计算：(a+2)(a-2)-a(a-1)。答案：a-4解析：第一步：展开(a+2)(a-2)，用平方差公式得a²-4；第二步：展开a(a-1)得a²-a；第三步：合并同类项：(a²-4)-(a²-a)=a²-4-a²+a=a-4。思路点拨：整式运算需注意符号，去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。20.（本题满分6分）解不等式组：\[\begin{cases}2x-1<3\\x+1\geq2\end{cases}\]答案：1≤x<2解析：解第一个不等式2x-1<3：2x<4→x<2；解第二个不等式x+1≥2：x≥1；故不等式组的解集为1≤x<2（数轴表示：从1到2，包括1，不包括2）。思路点拨：解不等式组时，分别解每个不等式，再取解集的交集（"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"）。21.（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=AE，连接BE、CD交于点F。（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若∠BFC=120°，求∠A的度数。答案：（1）见解析；（2）60°解析：（1）证明：∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AD=AE（已知），∴△ABE≌△ACD（SAS，两边及其夹角对应相等）。（2）解：由（1）知△ABE≌△ACD，故∠ABE=∠ACD（对应角相等）。在△BFC中，∠BFC=120°，故∠FBC+∠FCB=180°-120°=60°（三角形内角和为180°）。又∠FBC=∠ABC-∠ABE，∠FCB=∠ACB-∠ACD，且∠ABC=∠ACB（AB=AC，等腰三角形底角相等），∠ABE=∠ACD，故∠FBC+∠FCB=∠ABC-∠ABE+∠ACB-∠ACD=2∠ABC-2∠ABE=2(∠ABC-∠ABE)=2∠FBC？不对，换一种方式：∠FBC=∠ABC-∠ABE，∠FCB=∠ACB-∠ACD，而∠ABE=∠ACD，∠ABC=∠ACB，故∠FBC=∠FCB，所以△BFC是等腰三角形，∠FBC=∠FCB=(180°-120°)/2=30°，故∠ABC=∠FBC+∠ABE=30°+∠ABE，∠ACB=30°+∠ACD=30°+∠ABE（因为∠ACD=∠ABE），所以∠ABC=∠ACB=30°+∠ABE，在△ABC中，∠A+2∠ABC=180°→∠A=180°-2∠ABC=180°-2(30°+∠ABE)=120°-2∠ABE...(a)在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180°→∠AEB=180°-∠A-∠ABE...(b)在△BFC中，∠BFC=120°，而∠BFC是△EFC的外角吗？不，∠BFC=∠FEB+∠FBE（外角性质），因为∠FEB=∠AEB（对顶角？不，∠FEB是∠AEB的一部分吗？不，点E在AC上，点F在BE和CD的交点，所以∠BFC是△DFB的外角，等于∠FDB+∠FBD，而∠FDB=∠ADC（对顶角），由（1）知△ABE≌△ACD，故∠ADC=∠AEB，所以∠BFC=∠ADC+∠FBD=∠AEB+∠ABE，而∠ADC=∠AEB，∠FBD=∠ABE，所以∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180°，故∠A=180°-(∠ABE+∠AEB)=180°-120°=60°。哦，对，这样更简单！因为∠BFC是△DFB的外角，等于∠FDB+∠FBD，而∠FDB=∠ADC（对顶角），∠FBD=∠ABE（同一个角），由（1）知△ABE≌△ACD，故∠ADC=∠AEB，所以∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，而在△ABE中，∠A+∠ABE+∠AEB=180°，故∠A=180°-120°=60°。思路点拨：（1）全等三角形的判定需找对应边和对应角，SAS是常用方法；（2）利用全等三角形的性质（对应角相等）和三角形外角性质（外角等于不相邻两个内角之和），可简化计算。22.（本题满分8分）为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们一周内的课外阅读时间（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表：课外阅读时间0≤t<22≤t<44≤t<66≤t<8t≥8学生人数5101582（1）求本次抽取的学生人数；（2）求本次统计的课外阅读时间的中位数和众数；（3）若该校共有学生1200人，估计该校一周内课外阅读时间不少于6小时的学生人数。答案：（1）40人；（2）中位数4小时，众数4≤t<6；（3）300人解析：（1）学生人数=5+10+15+8+2=40（人）。（2）中位数：将40个数据从小到大排列，第20、21个数据均落在4≤t<6区间内，故中位数为4小时（或取区间中点4小时）；众数：出现次数最多的区间是4≤t<6，故众数为4≤t<6。（3）不少于6小时的学生人数=8+2=10（人），占比10/40=1/4，故估计该校1200人中，不少于6小时的学生人数=1200×1/4=300（人）。思路点拨：（1）统计表格中各区间人数之和即为总人数；（2）中位数是排序后中间的数，众数是出现次数最多的数（或区间）；（3）用样本估计总体，需计算样本中所求情况的占比，再乘以总体人数。23.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，顶点为D。（1）求二次函数的解析式；（2）求顶点D的坐标；（3）若点P在二次函数的图像上，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标。答案：（1）y=-x²+2x+3；（2）(1,4)；（3）(1+√7,-3)、(1-√7,-3)解析：（1）求解析式：二次函数经过A(-1,0)、B(3,0)，故可设交点式y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得：3=a(0+1)(0-3)→3=-3a→a=-1，故解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。（2）求顶点D坐标：方法一（配方法）：y=-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-(x²-2x+1-1)+3=-(x-1)²+4，故顶点D(1,4)。方法二（顶点公式）：x=-b/(2a)=-2/(2×(-1))=1，y=(4ac-b²)/(4a)=(4×(-1)×3-4)/(4×(-1))=(-12-4)/(-4)=(-16)/(-4)=4，故顶点D(1,4)。（3）求点P坐标：首先计算△ABC的面积：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，AB=4（横坐标差），OC=3（C到AB的距离，AB在x轴上），故S△ABC=(1/2)×AB×OC=(1/2)×4×3=6。设点P(x,y)在二次函数图像上，△PAB的面积等于6，AB=4，故P到AB的距离为h=(2×S△PAB)/AB=(2×6)/4=3。AB在x轴上，故P到AB的距离即为|y|=3→y=3或y=-3。当y=3时，代入解析式得3=-x²+2x+3→-x²+2x=0→x(x-2)=0→x=0或x=2，对应点(0,3)（即点C）、(2,3)，但△PAB的面积等于△ABC的面积，点C已经算过，点(2,3)的面积：(1/2)×4×3=6，符合条件，但题目可能要求除了C之外的点？不，题目没说，不过继续看y=-3的情况；当y=-3时，代入解析式得-3=-x²+2x+3→-x²+2x+6=0→x²-2x-6=0，解得x=(2±√(4+24))/2=(2±√28)/2=1±√7，对应点(1+√7,-3)、(1-√7,-3)，这两个点到AB的距离为3，面积为6，符合条件。故点P的坐标为(0,3)、(2,3)、(1+√7,-3)、(1-√7,-3)？但等一下，△ABC的面积是6，△PAB的面积等于6，点(0,3)是C点，△CAB的面积就是6