核心考点：菱形的判定（解析版）

核心考点：菱形的判定考点1由对角线的位置关系判定菱形1．（2018秋•辽阳期末）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是其对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中结论正确的序号是（）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④思路引领：根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，则AD＝AB，∠1＝∠2，∠1＝∠4，则∠2＝∠4，∴AD＝DC，同理可得：AB＝AD＝BC＝DC，所以四边形ABCD是菱形．根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；③四边形ABCD是菱形，正确；④在△ABD和△CDB中∵AB=BCAD=DC∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．故正确的结论是：①②③④．故选：B．总结提升：此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．2．（2022春•靖边县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，则下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④思路引领：分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．解：证明：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴BE平分∠CBF，①正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠DCB，②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选：D．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．考点2由边的关系判定菱形3．（连云港•中考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD思路引领：已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件．解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故选：B．总结提升：此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．4．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD思路引领：根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A、B不符合题意；∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴CD＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；当AC＝BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．总结提升：本题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．5．（2022春•朝阳区期中）如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（）A．AF＝EF B．AE＝AF C．AB＝EF D．FD＝EC思路引领：根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、C、D均成立，只有B不成立．解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAF，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF，故选项A正确，不符合题意；∴AF＝BE∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB＝EF＝AF＝BE，故选项C正确，不符合题意，∵AD＝BC，∴AD﹣AF＝BC﹣BE，即FD＝EC，故选项D正确，不符合题意；不能证明选项B，故选项B不一定成立，符合题意；故选：B．总结提升：本题考查平行四边形中的翻折问题，已知翻折就是图形全等，翻折是一种对称变换，它属于轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．6．（2022秋•城关区期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形思路引领：根据矩形的判定和菱形的判定进行判断即可．解：A、若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；故错误，不符合题意；B、若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；故错误，不符合题意；C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；故错误，不符合题意；D、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；故正确，符合题意；故选：D．总结提升：本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．7．（2022春•江宁区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，且CB∥AD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果四边形ABCD的面积为24，AC＝8，则四边形ABCD的周长为．思路引领：（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证AD＝CD，即可得出结论；（2）连接BD交AC于O，由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC=12AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，再由菱形的面积求出BD＝6，则OB＝OD＝3，然后由勾股定理求出AB＝（1）证明：∵AB∥CD，CB∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O，如图所示：由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC=12AC＝4，OB＝OD，AC⊥∵菱形ABD的面积=12AC×BD＝∴BD＝6，∴OB＝OD＝3，∴AB=OA∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20，故答案为：20．总结提升：本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．8．（2022春•长沙期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm思路引领：由角平分线的定义，可得∠EAD＝∠DAF＝∠ADE，进而可得AE＝ED，由平行四边形的性质可得答案．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴平行四边形AEDF是菱形．∴四边形AEDF周长为4AE＝16．故选：B．总结提升：本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．9．（2021春•澄海区期末）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④思路引领：由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FH=12BC，再由BC=12AB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，然后由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，证出四边形ADFE为平行四边形，最后由平行四边形的性质得出AD解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EFA中，AC=AE∠ACB=∠EAF∴△ABC≌△EFA（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH=12∵BC=12AB，AB＝∴BD＝4FH，故④正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠FEA，在△DBF和△EFA中，∠BDF=∠FEA∠DFB=EAF∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AB＞AC，∴AD＞AE，∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；∵AG=12∴AG=14∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③正确，故选：C．总结提升：本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、三角形中位线定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△EFA和△DBF≌△EFA是解题的关键．10．（2022春•新丰县期中）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④BD＝4FH；其中正确结论的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④思路引领：由SAS证得△ABC≌△EFA，则∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，易证FH是△ABC的中位线，得出FH=12BC，再由BC=12AB，AB＝BD，推出BD＝4FH，由等边三角形的性质得出∠BDF＝30°，由AAS证得△DBF≌△EFA，则AE＝DF，再由FE＝AB，得出四边形ADFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EFA中，AC=AE∠ACB=∠EAF∴△ABC≌△EFA（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH=12∵BC=12AB，AB＝∴BD＝4FH，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝90°，∴∠