高考物理一轮复习-模板构建：含弹簧的物理模型（原卷版+解析版）

含弹簧的物理模型

【模型概述】

纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重。高考命题者常以弹簧为载体设计出

各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等,

几乎贯穿了整个力学的知识体系，能很好能很好地考查学生的综合分析能力。

【模型特点】

中学物理中的“弹簧”和“橡皮绳”也是理想化模型，具有如下几个特性:

(1)弹力遵循胡克定律F=kx,其中x是弹簧的形变量。

(2)轻:即弹簧(或橡皮绳)的重力可视为零。

(3)弹簧既能受拉力，也能受压力(沿着弹簧的轴线)，橡皮绳只能受拉力，不能受压力。

(4)由于弹簧和橡皮绳受力时，其形变较大，发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能突

变。但是，当弹簧和橡皮绳被剪断时，它们产生的弹力立即消失。

【模型解题】

胡克定律、牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律

【模型训练】

【例1】如图所示，一劲度系数为晨原长为。的轻弹簧，上端固定在天花板上，下端悬挂一个质量为

m的小球，小球处于静止状态。弹簧的形变在弹性限度内。已知重力加速度为g。下列判断中正确的是()

A.弹簧的伸长量为等B.弹簧的伸长量为mgk

K

C.弹簧的总长度为/°+ag左D.弹簧的总长度为4-等

k

变式1.1如图所示，将一轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接物体A,A下面再用棉线挂一物体B,

A、B质量相等，g为当地重力加速度。烧断棉线，下列说法中正确的是(

A.烧断棉线瞬间，A的加速度大小为g

B.烧断棉线之后，A向上一直加速

C.烧断棉线之后，A在运动中机械能守恒

D.在最高点弹簧弹力等于

变式L2两根相同的轻弹簧的原长均为I,将两弹簧与两相同物体按如图所示的方式连接并悬挂于天花

板上，静止时两根弹簧的总长为2.6/,现用手托着B物体，使下面的弹簧2恢复到原长，则下面说法正确

的有（）

A.悬挂稳定时弹簧1的长度为1.2Z,弹簧2的长度为1.4/

B.弹簧2恢复原长时弹簧1长度为1.4/

C.物体A上升的距离为0.4/

D.物体B上升的距离为0.4/

【例2】如图所示，内壁光滑的半球形容器固定在水平面上。将一轻弹簧的一端固定在半球形容器底部

。处，。为球心。当弹簧另一端与质量为〃?的小球A相连时，小球A静止于P点。已知OP与水平方向的

夹角为6=16。，则半球形容器对球的支持力和弹簧的弹力分别为（5出37。=0.6）

O

O'

A.mg,mgB.mg,1.2mg

C.1.2mg,mgD.1.2mg,1.2mg

变式2.1如图所示，质量均为加的A、B两球，由一根劲度系数为左的轻弹簧连接静止于半径为R的

光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径.则弹簧的原长为（）

ms,

A.—+R

k

B.*+R

2k

2y/3mg

C.+R

3k

D.

3k

变式2.2如图所示，在半径为式的光滑半球形碗中，一根水平放置的轻弹簧两端连接/、2两球，两球

静止于半球形碗中。已知/、3球质量均为相，轻弹簧的劲度系数为左，/、8两球之间的距离为尺，球的半

径远小于碗的半径，求:

U）半球形碗对/球的支持力大小;

（2）弹簧的原长。

【例3】如图所示，质量分别为如和吃的两块方木中间以轻弹簧相连，在空中设法使弹簧处于自然长

度（即其中没有弹力）后，给它们相同的初速度，向上抛出。在空中时，发现系统始终保持竖直，且弹簧

长度保持自然长度。空气阻力不计。则（）

A.冽/一定等于冽2

B.冽/一定大于加2

C.冽/一定小于加2

D.不能通过该现象判断mi和m2的大小关系

变式3.1如图所示，一小球从空中下落，从它刚接触弹簧到把弹簧压缩至最短的过程中，若不计空气

阻力，则关于小球能量的变化，下列判断正确的是（

A.动能一直减小B.动能先增加后减小

C.机械能先增加后减小D.机械能保持不变

变式3.2如图所示，用轻弹簧将质量均为m=lkg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处

于原长状态，A距地面的高度hi=0.15m.同时释放两物块，设A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压

缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面（但不继续上升）.已知弹簧的劲度系数k=100N/m,取g=10m/s2.求:

(1)物块A刚到达地面的速度;

(2)物块B反弹到最高点时，弹簧的弹性势能;

(3)若将B物块换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长,

从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，此时h2的大小.

【例4】如图所示，一质量不计的弹簧原长为xo=12cm,一端固定于质量〃?=3kg的物体上，另一端一水

平拉力尸。物体与水平面间的动摩擦因数4=0.225,当弹簧拉长至x/=16.5cm时，物体恰好向右匀速运动（设

最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹簧始终在弹性限度内，g=10m/s2）；

（1）若将弹簧压缩至X2=8cm,求物体受到的摩擦力大小及方向。

（2）若将弹簧拉长至xs=18cm,求物体体受到的摩擦力大小及方向。

入见现尸

变式4.1如图所示，一质量加=3kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数〃=0.8,原

长x-=15cm的轻质弹簧一端固定于物体上，另一端施一水平拉力儿已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,

弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/s2。

（1）当弹簧长度为21cm时,物体恰好向右匀速运动，求弹簧的劲度系数;

（2）当弹簧长度为12cm时,求物体受到的摩擦力;

（3）当弹簧长度为23cm时,求物体受到的摩擦力。

—

//////////////////////////////////

变式4.2如图所示，两木块A、B质量分别为叫=20kg、咫=10kg,中间由水平轻质弹簧相连，弹簧

劲度系数斤=200N/m,弹簧允许的最大形变量为15cm,水平拉力尸=60N作用在木块A上，系统恰好在

水平面上做匀速直线运动，重力加速度大小g取10m/s"已知木块A、B与水平面间的动摩擦因数相同且

均为〃（大小未知）。求：

（1）〃的值；

（2）弹簧的伸长量为多少；

（3）若将另一木块C放置在木块B上，施加拉力/"使系统仍做匀速运动（弹簧在弹性限度内），拉

力产的最大值是多少？木块C的质量是多少？

B^7577075757^

【例5】如图所示，倾角为30。的斜面固定在水平地面上，轻弹簧的一端固定在斜面的底端，弹簧处于

原长时另一端与斜面上的6点平齐。质量为机=1kg的小滑块从斜面上的。点由静止下滑，滑块在b点接触

弹簧并压缩弹簧到。点时开始弹回。已知。、6间的距离为0.4m,b、。间的距离为0.2m,弹簧始终处于弹

性限度内，重力加速度g取店取3.87。

（1）若斜面光滑，求滑块运动中弹簧弹性势能的最大值：

（2）若滑块第1次离开弹簧后，沿斜面上升的最高点位于。、。的中点，求滑块第2次经过6点时的

速度大小。（结果保留3位有效数字）

变式5.1如图所示，一轻弹簧一端固定在倾角为0=37。的固定斜面的底端，另一端拴住质量为加/=6kg

的物体p,Q为一质量加2=10kg的物体，系统处于静止状态，弹簧的压缩量xo=（）.16mo现给物体Q施加一

个方向沿斜面向上的力R使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内，尸为变力，0.2s

以后尸为恒力。已知斜面光滑且足够长，5亩37。=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s2求：

⑴弹簧的劲度系数公

（2）物体Q做匀加速运动的加速度大小.；

（3）前0.2s内拉力尸做的功。

变式5.2如图所示，质量加=1kg的物块放在竖直弹簧上端并紧挨着竖直墙壁，水平向左、大小

尸=15N的力作用在物块上，物块恰好不下滑，此时弹簧的长度4=6cm。已知弹簧的劲度系数左=100N/m、

原长10cm,物块与竖直墙壁之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2,求:

（1）弹簧对物块的弹力大小；

（2）竖直墙壁对物块的摩擦力大小和方向；

（3）物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数。

F

【例6】如图所示，质量为10kg的物体M放在倾角为。=37。的固定斜面上，M与斜面间动摩擦因数

〃=0.625,“用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为8kg的物块m相连。劲度系数4=200N/m的弹

簧与加相连，也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，重力加速度取g=10m/s2,求：

（1）若河静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm,求"所受到的摩擦力;

（2）若"刚要开始运动，求此时弹簧对物块的弹力的大小。

变式6.1如图所示，质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为4m的物体乙

用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接，开始用手托住物体乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳

与水平方向夹角为a=53。，某时刻由静止释放物体乙（足够高），经过一段时间小球甲运动到。点，。、。

两点的连线水平且小球甲在P、。两点处时弹簧的弹力大小相等。己知重力加速度为g,sin«=0.8,

cosa=0.6o求：

（1）弹簧的劲度系数公

（2）小球甲位于。点时的速度大小v；

（3）在小球甲从尸点上升到PQ中点的过程中，弹簧弹力做的功少。

乙口甲◎尸

变式6.2如图所示,质量为10kg的物体M放在倾角为。=37。的斜面上,M与斜面间摩擦因数〃=0.375,

M用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为5kg的物块加相连。劲度系数4=200N/m的弹簧与m相连,

也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。

（1）若M静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm,求此时绳子上的拉力大小；

（2）在第一问的基础上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；

（3）若M刚要开始运动，求此时弹簧弹力的大小。

【例7】如图所示，粗糙水平面长为4a，与竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道在8点相接。质量

为加的物体甲（可视为质点）将弹簧压缩到A点后由静止释放，甲脱离弹簧后，在水平面滑行一段距离后

滑上竖直轨道，并恰好能通过C点。已知甲与水平面间的动摩擦因数〃=0.5,重力加速度为g。

（1）求甲通过C点时的速度大小；

（2）求弹簧被压缩到A点时的弹性势能；

（3）若在B点放置另一个质量为3加的物体乙（可视为质点，图中未画出），使甲把弹簧仍然压缩到A

点，由静止释放甲，甲、乙发生弹性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圆形轨道运动，通过计算说明乙离开半

圆形轨道后将如何运动。

变式7.1—光滑水平面与竖直面内的圆形粗糙轨道在8点相切，轨道半径R=0.5m,一个质量

加=2kg的小物块在4处压缩一轻质弹簧，弹簧与小物块不拴接。用手挡住小物块不动，此时弹簧弹性势能

或。=36底如图所示，放手后小物块向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C,不计空

气阻力，g=10m/s2o求：

（1）物块在3点时半圆轨道对它的支持力大小；

（2）小物块从2到C过程，阻力做的功叫；

（3）小物块离开C点后落回水平面的位置到B点的水平距离X。

变式7.2如图所示，竖直面内、半径为R=lm的光滑圆弧轨道底端切线水平，与水平传送带左端3靠

近，传送带右端C与一平台靠近，圆弧轨道底端、传送带上表面及平台位于同一水平面，圆弧所对的圆心

角为53。，传送带长为1m,以尸4m/s的恒定速度沿顺时针匀速转动，一轻弹簧放在平台上，弹簧右端固

定在竖直墙上，弹簧处于原长，左端与平台上。点对齐，CD长也为1m,平台。点右侧光滑，重力加速

度为g=10m/s2,让质量为1kg的物块从圆弧轨道的最高点N由静止释放，物块第二次滑上传送带后，恰好

能滑到传送带的左端2点，不计物块的大小，物块与传送带间的动摩擦因数为0.5.

（1）求物块运动到圆弧轨道最底端时对轨道的压力大小;

（2）物块第一次到达。点的速度

（3）物块第一次压缩弹簧，弹簧获得的最大弹性势能是多少？

含弹簧的物理模型

【模型概述】

纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重。高考命题者常以弹簧为载体设计出

各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等,

几乎贯穿了整个力学的知识体系，能很好能很好地考查学生的综合分析能力。

【模型特点】

中学物理中的“弹簧”和“橡皮绳”也是理想化模型，具有如下几个特性：

(1)弹力遵循胡克定律F=kx,其中x是弹簧的形变量。

(2)轻:即弹簧(或橡皮绳)的重力可视为零。

(3)弹簧既能受拉力，也能受压力(沿着弹簧的轴线)，橡皮绳只能受拉力，不能受压力。

(4)由于弹簧和橡皮绳受力时，其形变较大，发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能

突变。但是，当弹簧和橡皮绳被剪断时，它们产生的弹力立即消失。

【模型解题】

胡克定律、牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律

【模型训练】

【例1】如图所示，一劲度系数为晨原长为。的轻弹簧，上端固定在天花板上，下端悬挂一个质量为

m的小球，小球处于静止状态。弹簧的形变在弹性限度内。已知重力加速度为g。下列判断中正确的是()

A.弹簧的伸长量为等B.弹簧的伸长量为mgk

k

C.弹簧的总长度为7°+ag左D.弹簧的总长度为4-等

k

【答案】A

【详解】AB.由小球静止，可知弹簧的弹力

F=mg

根据胡克定律尸=Ax,得弹簧的伸长量

整

人一

故A正确，B错误;

CD.弹簧的总长度为

mg

+x=/。

k

故CD错误。

故选Ao

变式1.1如图所示，将一轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接物体A,A下面再用棉线挂一物体B,

A、B质量相等，g为当地重力加速度。烧断棉线，下列说法中正确的是（）

A.烧断棉线瞬间，A的加速度大小为g

B.烧断棉线之后，A向上一直加速

C.烧断棉线之后，A在运动中机械能守恒

D.在最高点弹簧弹力等于加g

【答案】A

【详解】A.设A、B质量均为加，烧断棉线前，对A、B整体受力分析，知弹簧的弹力

F=2mg

烧断棉线瞬间，弹簧的弹力不变，对A,根据牛顿第二定律可得

F-mg=maA

解得

。产g

故A正确；

B.烧断棉线后，A在弹力和重力的作用下向上运动，弹力先大于重力，后小于重力，所以物体A向上

先加速后减速，故B错误；

C.烧断棉线后，弹簧弹力对A做功，故A的机械能不守恒，故C错误；

D.烧断棉线后，A在重力和弹力的作用下做简谐运动，在最低点回复力大小为

F=2mg-mg=mg

方向向上，根据对称性可知，在最高点回复力大小为

F=mg

方向向下，即

mg-F产ng

解得

尸行0

故在最高点,速度为零时，弹簧弹力为零，即弹簧恢复原长，故D错误。

故选Ao

变式1.2两根相同的轻弹簧的原长均为I,将两弹簧与两相同物体按如图所示的方式连接并悬挂于天花

板上，静止时两根弹簧的总长为2.6/,现用手托着B物体，使下面的弹簧2恢复到原长，则下面说法正确

的有（）

A.悬挂稳定时弹簧1的长度为1.2Z,弹簧2的长度为1.4/

B.弹簧2恢复原长时弹簧1长度为1.4/

C.物体A上升的距离为0.4/

D.物体B上升的距离为0.4/

【答案】D

【详解】A.悬挂稳定时，弹簧1的弹力等于A、B两个物体的总重量，而弹簧2的弹力等于B物体的

重量，根据平衡条件

kxx=2mg

kx2=mg

而

玉+々+2/=2.6/

解得

x,=0.4/,x2—0.2/

因此弹簧1的长度为1.4Z,弹簧2的长度为1.2/,A错误;

BCD.弹簧2恢复原长时，弹簧1的弹力等于A物体的重力，弹簧1的伸长量变为0.2/,因此长度变

为1.2/,这样A物体上升的距离为0.2/,B物体上升的距离为0.4/,BC错误，D正确。

故选D。

【例2】如图所示，内壁光滑的半球形容器固定在水平面上。将一轻弹簧的一端固定在半球形容器底部

。处，。为球心。当弹簧另一端与质量为〃?的小球A相连时，小球A静止于尸点。已知OP与水平方向的

夹角为。=16。，则半球形容器对球的支持力和弹簧的弹力分别为（5m37。=0.6）（）

A.吟mg

C.1.2mg,mgD.1.2mg,1.2mg

【答案】B

【详解】作出小球的受力分析图，由相似三角形法可得

G'FN

l)o'~lyp~~op

其中。尸=&。'尸=1.23

可得支持力

N=mg

弹簧的弹力

F=12mg

故选B。

变式2.1如图所示，质量均为加的A、B两球，由一根劲度系数为左的轻弹簧连接静止于半径为R的

光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径.则弹簧的原长为（）

B.果+R

C.2^mg+R

3k

D.叵&+R

3k

【答案】D

【详解】以A球为研究对象，小球受三个力：重力、弹力和球壳的支持力如图所示

mg

由平衡条件，得到

tang*

kx

解得

.mg

A——

ktanO

根据几何关系得

-R1

cosO=——

R2

则

tan9=6

所以

mg751ng

x——

ktan63k

故弹簧原长

V3mg

=x+Rn=---------卜Rn

3k

故选D

变式2.2如图所示，在半径为R的光滑半球形碗中，一根水平放置的轻弹簧两端连接N、8两球，两球

静止于半球形碗中。已知/、B球质量均为加，轻弹簧的劲度系数为左，4、8两球之间的距离为尺，球的半

径远小于碗的半径，求：

(1)半球形碗对/球的支持力大小;

(2)弹簧的原长。

【答案】⑴乎磔；⑵—

【详解】(1)如图，设=半球形碗对/球的支持力大小为N,弹簧的原长为与，形变量为©

0

mg

由几何关系得

a=60。

由平衡条件得

N=­

sina

联立得

N=¥^g

(2)由平衡条件得

F=kS=9

tana

=H+Ax

联立得

Lo=R+^S

°3k

【例3】如图所示，质量分别为加/和加2的两块方木中间以轻弹簧相连，在空中设法使弹簧处于自然长

度(即其中没有弹力)后，给它们相同的初速度，向上抛出。在空中时，发现系统始终保持竖直，且弹簧

长度保持自然长度。空气阻力不计。则（)

A.根/一定等于

B.一定大于加2

C.%/一定〃、于“22

D.不能通过该现象判断mi和m2的大小关系

【答案】D

【详解】两块方木以相同的初速度，向上抛出，弹簧没有弹力，只受重力作用

mg=ma

解得

"g

具有相同的重力加速度，同步做竖直上抛运动，与质量大小无关，不能通过该现象判断冲和小的大

小关系。

故选D。

变式3.1如图所示，一小球从空中下落，从它刚接触弹簧到把弹簧压缩至最短的过程中，若不计空气

阻力，则关于小球能量的变化，下列判断正确的是（）

A.动能一直减小B.动能先增加后减小

C.机械能先增加后减小D.机械能保持不变

【答案】B

【详解】AB.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，小球所受重力不变，开始小

球受到的合力竖直向下，合力大小逐渐减小，则小球的加速度减小，速度增加；当弹力大于重力后小球所

受合力方向竖直向上，合力大小逐渐增大，即加速度向上增加，速度减小，即动能先增加后减小，故A错

误，B正确。

CD.整个过程中，弹簧的弹力一直对小球做负功，则小球的机械能一直减小，选项CD错误。

故选B。

变式3.2如图所示，用轻弹簧将质量均为m=lkg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处

于原长状态，A距地面的高度hi=0.15m.同时释放两物块，设A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压

缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面（但不继续上升）.已知弹簧的劲度系数k=100N/m,取g=10m/s2.求:

(1)物块A刚到达地面的速度;

(2)物块B反弹到最高点时，弹簧的弹性势能;

(3)若将B物块换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长,

从A距地面的高度为hz处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，此时h2的大小.

【答案】（1）1.73m/s；

(2)0.5J；

(3)0.125m

【详解】试题分析：（1）依题意，AB两物块一起做自由落体运动①（1分）

设A物块落地时速度为vi,此时B的速度也为V1

则有V1=y]2ghi=抬m/sx1.73m/s②(1分)

（2）设A刚好离地时，弹簧的形变量为x,此时B物块到达最高点

对A物块，有mg=kx③（1分）

A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒,

2

mV]=mgx+AEP④(3分)

由②③④可得：△号=0.5J⑤（1分）

（3）换成C后，设A落地时，C的速度为V2,

则有匕=d2gh2⑥（1分）

A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒,

则有=2/gx+AEp⑦（3分）

联立解得〃2=0125m（1分）

【例4】如图所示，一质量不计的弹簧原长为XL12cm,一端固定于质量"?=3kg的物体上，另一端一水

平拉力尸。物体与水平面间的动摩擦因数“=0.225,当弹簧拉长至力=16.5cm时，物体恰好向右匀速运动（设

最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹簧始终在弹性限度内，g=10m/s2）；

（1）若将弹簧压缩至X2=8cm,求物体受到的摩擦力大小及方向。

（2）若将弹簧拉长至处=18cm,求物体体受到的摩擦力大小及方向。

FMw效l产

///////////////////77

【答案】（1）6N,方向向右；（2）6.75N,方向向左

【详解】（1）匀速运动时，根据平衡条件得

上（%一%）=

解得

k=1.5N/cm

最大静摩擦力为

/m=jg=6.75N

若将弹簧压缩至X2=8cm,弹簧的弹力为

F2=A;（X0-X2）=6N<6.75N

则物体处于静止状态，物体所受的摩擦力为静摩擦力，大小为6N,弹力方向向左，摩擦力方向向右；

（2）若将弹簧拉长至X3=18cm,弹簧的弹力为

F3=A:（X3-X0）=9N>6.75N

物体向右运动，物体受到滑动摩擦力，大小为6.75N,方向向左。

变式4.1如图所示，一质量机=3kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数〃=0.8,原

长x6=15cm的轻质弹簧一端固定于物体上，另一端施一水平拉力儿已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,

弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/s-

（1）当弹簧长度为21cm时，物体恰好向右匀速运动，求弹簧的劲度系数；

（2）当弹簧长度为12cm时，求物体受到的摩擦力；

（3）当弹簧长度为23cm时，求物体受到的摩擦力。

【答案】（1）400N/m；（2）12N,方向向右；（3）24N,方向向左

【详解】（1）滑动摩擦力

户〃冽g=0.8x3x10N=24N

物体匀速运动时，由平衡条件可知

尸吩24N

根据胡克定律弹力

Fi=k（xi-xo）

代入数据可得

A=400N/m

（2）若将弹簧压缩至12cm,弹力的大小

F2=k（xo-X2）=400x（0.15-0.12）N=12N＜户24N

可知物体仍然静止，受到向右的静摩擦力，大小等于弹簧的弹力，为12N。

（3）若将弹簧拉长至23cm,弹力的大小

F3=k（X3-X0）=400x（0.23-0.15）N=32N＞户24N

物体不能保持静止，所以物体受到的摩擦力为向左的滑动摩擦力，大小是24N。

变式4.2如图所示，两木块A、B质量分别为叫=20kg、咫=10kg,中间由水平轻质弹簧相连，弹簧

劲度系数1=200N/m,弹簧允许的最大形变量为15cm,水平拉力尸=60N作用在木块A上，系统恰好在

水平面上做匀速直线运动，重力加速度大小g取lOm/s?,已知木块A、B与水平面间的动摩擦因数相同且

均为〃（大小未知）。求：

（1）〃的值；

（2）弹簧的伸长量为多少；

（3）若将另一木块C放置在木块B上，施加拉力产，，使系统仍做匀速运动（弹簧在弹性限度内），拉

力尸’的最大值是多少？木块C的质量是多少？

【答案】（1）〃=02；（2）10cm；（3）尸'=70N,mc=5kg

【详解】（1）设木块与水平面间动摩擦因数为〃，选AB整体为研究对象，系统做匀速运动，则有

尸=〃（机1+机2）g

解得

〃=0.2

（2）设弹簧伸长量为Ax,选B为研究对象，B做匀速运动，则有

左Ax=2g

解得

Ax=0.1m=10cm

（3）选A为研究对象

产，=〃7%g+左f

选B和C整体为研究对象

左©m=〃（加2+'"c）g

解得

mc=5kg,F'=70N

【例5】如图所示，倾角为30。的斜面固定在水平地面上，轻弹簧的一端固定在斜面的底端，弹簧处于

原长时另一端与斜面上的。点平齐。质量为机=1kg的小滑块从斜面上的。点由静止下滑，滑块在b点接触

弹簧并压缩弹簧到。点时开始弹回。已知。、6间的距离为0.4m,b、。间的距离为0.2m,弹簧始终处于弹

性限度内，重力加速度g取lOm/s?,后取3.87。

（1）若斜面光滑，求滑块运动中弹簧弹性势能的最大值：

（2）若滑块第1次离开弹簧后，沿斜面上升的最高点位于。、b的中点，求滑块第2次经过6点时的

速度大小。（结果保留3位有效数字）

【答案】（1）丸=3人（2）v=1.55m/s

【详解】（1）若斜面光滑，滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，则当滑块压缩弹簧到c点时弹簧的弹性

势能最大，由能量守恒定律可得

综=，"g（S"+sQsin30。

解得

丸=3J

（2）设滑块与斜面间的动摩擦因数为〃，滑块由。点下滑，压缩弹簧弹回后运动到。、6中点的过程,

由动能定理有

—mgsabsin30°-卬喈(：0530°(1.55融+2sbc)=0

对滑块由。点下滑到第2次经过b点过程，由动能定理可得

mv

mgsabsin300-/jmgcos30°(s金+2sbc)=^^

联立解得

v=1.55m/s

变式5.1如图所示，一轻弹簧一端固定在倾角为0=37。的固定斜面的底端，另一端拴住质量为机/=6kg

的物体P,Q为一质量〃?2=10kg的物体，系统处于静止状态，弹簧的压缩量xo=O.16m。现给物体Q施加一

个方向沿斜面向上的力R使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内，尸为变力，0.2s

以后尸为恒力。已知斜面光滑且足够长，5亩37。=0.6,cos37°=0.8,g取10为s?求:

（1）弹簧的劲度系数依

（2）物体Q做匀加速运动的加速度大小.；

（3）前0.2s内拉力下做的功。

【答案】（1）600N/m；

【详解】（1）开始时，对整体受力分析，平行斜面方向有

(加］+m2)gsin0=kxo

代入数据，解得

^=600N/m

（2）前0.2s时间内尸为变力，之后为恒力，表明0.2s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且

加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为方，对物体P,有

kx{-m{gsmd=mxa

前0.2s时间内两物体的位移

联立解得

0=%/屋

3

（3）前0.2s内，对P、Q整体根据动能定理

2

Wp+W^-{mx+m-1^gxsin0=+

其中

kx0+N

2-%

速度

v=at

位移

x=-at2

2

代入数据得

44

WF=­J

9

变式5.2如图所示，质量%=1kg的物块放在竖直弹簧上端并紧挨着竖直墙壁，水平向左、大小

尸=15N的力作用在物块上，物块恰好不下滑，此时弹簧的长度4=6cm。已知弹簧的劲度系数左=100N/m、

原长/。=10cm,物块与竖直墙壁之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s"求:

(1)弹簧对物块的弹力大小;

(2)竖直墙壁对物块的摩擦力大小和方向;

(3)物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数。

【答案】（1）与=4N；（2）4=6N,方向竖直向上；（3）〃=0.4

【详解】（1）根据胡克定律有

解得

盘=4N

（2）对物块受力分析，竖直方向上有

Ff+F^^mg

解得

耳=6N

方向竖直向上。

（3）物块在水平方向上有

F=FN

物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数

解得

//=0.4

【例6】如图所示，质量为10kg的物体M放在倾角为a=37。的固定斜面上，M与斜面间动摩擦因数

〃=0.625,M用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为8kg的物块m相连。劲度系数4=200N/m的弹

簧与加相连，也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，重力加速度取g=10m/s2,求:

（1）若M静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm,求M所受到的摩擦力;

（2）若M刚要开始运动，求此时弹簧对物块的弹力的大小。

【答案】（1）36N,方向沿斜面向下；（2）30N或70N

【详解】（1）对物块加分析受力情况如图1所示

口

mg

瑜

图1

根据平衡条件可得

T=mg+F弹

解得

月单=6=200x0.08=16N

联立解得轻绳的拉力为

T=96N

以物体〃为研究对象，受到重力、支持力、轻绳拉力，由于%sin37o<T,摩擦力方向沿斜面向下,

沿斜面方向的平衡方程为

Mgsin37°+f^T

代入数据解得

/=36N

摩擦力的大小为36N,方向沿斜面向下

(2)物体M与斜面间的最大静摩擦力为

fm=//TWgcos37°=0.625x10x10x0.8=50N

物体M刚要向上运动时，设轻绳的拉力为?；，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得

[=竭sin37°+几

解得

7；=110N

对物块加，根据平衡条件可得

7]=mg+F^

解得

4=30N

物体〃刚要向下运动时，设轻绳的拉力为石，沿斜面方向的平衡方程为

T2+fm=Mgsm3r

解得

7；=10N

对物块如根据平衡条件可得

丁2+与2=mg

解得

辱2=70N

变式6.1如图所示，质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为4m的物体乙

用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接，开始用手托住物体乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳

与水平方向夹角为a=53。，某时刻由静止释放物体乙（足够高），经过一段时间小球甲运动到。点，。、。

两点的连线水平，,且小球甲在尸、。两点处时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为g,sina=0.8,

cos«=0.6„求：

（1）弹簧的劲度系数k-,

（2）小球甲位于Q点时的速度大小v