寒假作业08 相似三角形的性质与判定（解析版）-2024年九年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间:一月一日天气:

寒假作业08相似三角形的性质与判定

1、比例的相关概念及性质

1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.

2）比例中项：如果g=%即〃=收，我们就把。叫做a,c的比例中项.

3）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使生=生，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，

ABAC

AC是BC与AB的比例中项，AC与的比叫做黄金比.

4）比例的性质

性质1:—=—^ad=bc（a,b,c,存0）；性质2：如果巴='，那么"一"='一"；

bdbdbd

UH,acm,,八,a+c+...+mm,丁田、

性质3：如果m一=一=...=—（zb+d+...+/¥0）,贝n,U------------=一（不唯一）.

bdnb+d+...+nn

2、相似三角形的判定及性质

1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.

2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比

例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）

三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

3、相似多边形

1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫它们的相似比.

2）性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比

等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.

4、位似图形

1）定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直

线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2）性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为左，那么位似图形对应点的

坐标的比等于左或-匕（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比.

3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即

是位似中心.

4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形关键点；（3）确定位似比，即将图形放大

或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

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1.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比,

可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）

（结果精确到0.01m.参考数据：0=1.414,石=1.732,75»2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【答案】B

【解析】设雕像的下部高为xm,则上部长为（2-x）m,

•••雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m,

=1.24（负值已舍去），即该雕像的下部设计高度约是1.24m,故选B.

2x

2.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若

线段AB=3,则线段BC的长是（）

B.1

【答案】C

【解析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于。、E,根据题意得=

4RAr)13

VBD//CE,：.——二——=2,XVAB=3J5C=—AB=—.故选C.

BCDE2f2

nAi

3.如图，以点。为位似中心，作四边形ABCD的位似图形AB'C'D,已知^^二鼻，若四边形ABCD的面

CzA3

积是2,则四边形49。'。的面积是（）

A.4B.6C.16D.18

【答案】D

【解析】由题意可知，四边形ABC。与四边形AECD相似，

由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：守卫=鬻=普

又四边形ABCD的面积是2,.•.四边形AaCD的面积为18,故选D.

4.下列命题中，正确命题的个数为.

①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③边长相等的两个菱形都相似；④对角线相等的两个矩形

都相似.

【答案】1

【解析】所有的正方形都相似，所以①正确；所有的菱形不一定相似，所以②错误；

边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似，所以③错误；

对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误，故答案是L

2

—XVZ八孙

5.已知一二上=一。0,则-----=________.

234yz

【答案】I

6

YVZ

【解析】设一=)=—=左,则x=24，y=3k,z=4k,

234"

1+孙_(20)2+2左X3左_4k2+6k210左27，故答案为3.

yz3kx4k12k212k166

AF1

6'如图'在矩形.8中，若加3,AC=5，H="则的的长为一一

【答案】1

【解析】在矩形ABCD中，AD//BC,NA5C=90。,

A17AP1,__________,______AF1

•*•—=-=7，BC=JAC?—AB?=《52—32=4，•*­-=-，AAE=lr故答案为1.

BCFC444

7.如图，AABC中，点E、/分另ij在边A3、AC上，Z1=Z2.若5C=4,AF=2,CF=3,贝ijEF=

Q

【答案】I

【解析】VZ1=Z2,ZA=ZA,Z.AAEF^^ABC,

.EFAFEFAF

••----=-----，即nn----=----------，

BCACBCAF+CF

EF2QQ

VBC=4,AF=2,CF=3,：.——二-----，:.EF),故答案为短

42+3

8.如图，在△ABC中，点。，E,E分别在边AB,AC,8c上，连接。E,EF,已知四边形瓦咕。是平行

DF1

四边形，茄=4

BC

F

(1)若48=8,求线段的长;

(2)若ZXADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.

【解析】(1)：四边形8FED是平行四边形，£)石〃3。，△ADESAMC,;.DEAD

BCAB

:篝=；'•••AD=93=卜8=2.

(2)：四边形8FED是平行四边形，小〃^。，EF/IAB,DE=BF,

：.ZAED=NECF2EAD=NCEF,；.AADE^EFC：.

S“EFC

DE1

*/—=-,DE=BF,：.FC=BC-DE=4DE-DE=3DE,

BC4

DE_DE

7T~3DE~3

△ADES/XABC,

•S/XADE=।，SqEfc=9,S4ABe=16,..SaBFED=—5i£/.c—St^DE=16—9—1=6.

9.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ZACD=ZABE.

⑴求证：△ABCs^AEB；

(2)当AB=6,AC=4时，求AE的长.

【解析】(D：四边形AB。为菱形，

/.CD//AB,AB=CB,：.ZACD=ZCAB,ZCAB=ZACB,

'：ZACD=ZABE,：.ZACD=ZABE=ZCAB=ZACB,：.AABC^AAEB.

(2)VAABC^AAEB,，••—=—,§P—--解得AE=9.

AEABAE6

10.如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，。为平

面直角坐标系的原点，矩形0A2C的4个顶点均在格点上，连接对角线。反

(1)在平面直角坐标系内，以原点。为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似

图形与AOAB的相似比等于二;

2

(2)将4。48以O为旋转中心，逆时针旋转90。，得到△044,作出△。4月，并求出线段03旋转过

程中所形成扇形的周长.

【解析】（1）位似图形如图所示:

（2）作出旋转后图形△。4片，=2屈，周长是'。"X.而+2义2而=4而+而乃.

1

180

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11.魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点£,H,G

在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，

GC和E”都称为表目距“，GC和E”的差称为"表目距的差”，则海岛的高AB=（）

C

表高X表距表高X表距表高X表距表高X表距

表目距的差表向表目距的差表同C表目距的差表距D-表目距的差表距

【答案】A

［解析:］根据题意得：AB//DE//FG,AAABH^^EDH,ACFG^^CBA,

DEEHFGCG.EHCGEHCG

AB~AH'BA~CAAHCA…AE+EH-AE+EG+GC"

：.CG・AE+CG・EH=EH•AE+EH•EG+EHGC,

FHPC1

；・（CG—EH>AE=EHEG,：.AE=——•:AH=AE+EH,

'7CG-EH

DEEHEG

.DEAHDE（AE+EH）DEAEDEEH.

••AD——=ICG-EH,DE-EH

EHEHEHEH

EHEH

EHEG

DEEG表IWJX表距七百MvkA

=DE.CG-EH+DE-EH=和而+'=袤1施既+表团故选A.

EHEH

12.如图，已知菱形A3co的边长为2,ZZMB=60°,E为A5的中点，b为CE的中点，AF与。£相交于

点、H,则H/的长等于.

【答案】乎

【解析】如图，连接作CGLAB交A3的延长线于点G.

四边形ABCD是边长为2的菱形，JAD//BC,AD=AB=BC=CD=2f

VZZMB=60°,ZCBG=ZDAB=60°,:・CG=BCsin/CBG=2又是=6,

2

BG=BCcosZCBG=2x1=l,・.・石为AB的中点，：.AE=EB=1,

：.BE=BG,即点5为线段EG的中点，又・・•尸为CE的中点,

.^.尸B为AECG的中位线，.•.EB〃CG,FB=-CG=—,：.FB±AB,即AAB尸是直角三角形,

22

、2巫-在AAED和ABGC中,

・•・AF=^JAB2+BF2=

2

7

AD=BC

<ZDAE=ZCBG,：.MED^ABGC,：.ZAED=ZBGC=90°,：.ZAEG=ZABF=90°,

AE=BG

.・・AHAE11M

又•：ZHAE=/FAB,AAA£H-A4BF,AAH=-AF=—,

AFAB224

：.HF=AF-AH^—.故答案为巫.

44

13.问题提出：如图(1),Z\A3C中，AB^AC,。是AC的中点，延长BC至点E,使DE=DB,延长EO

交A3于点尸，探究A用F的值.

AB

问题探究：

(1)先将问题特殊化.如图(2),当NS4c=60。时，直接写出”的值；

AB

(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展：

CG1

如图(3),在aABC中，AB=AC,。是AC的中点，G是边2C上一点，—=-(«<2),延长BC至点E,

BCn

AF

使。石=DG,延长交AB于点尸.直接写出大的值(用含几的式子表示).

AB

【解析】［问题探究］(1)・「△ABC中，AB=AC,。是AC的中点，ZBAC=6O0,.•.△回(?是等边三角形，

AD=-AB,..ZABD=ZDBE=300ZA=60°,•:DB=DE,,ZE=ZDBE=30。，

29

-ZDCE=180°-ZACB=120°,/.ZADF=ZCDE=180°-ZE-ZDCE=30°,

1J_AD

•・・ZA=60。，ZAFD=9Q0,/.AF=-AD,AF1.

2—r=—2—=-

(2)如图，取BC的中点H,连接是AC的中点，OH〃AB,DH=^AB.

VAB=AC,:.DH=DC,：.ZDHC=ZDCH.

AAEB3

VBD=DE,:./DBH=/DEC,：.ZBDH=ZEDCAADBH^ADEC.：.BH=EC.：.——=-.

EH2

FBEB3.FB_3AF

.DH//AB,：.AAEDH^AAEFB.：.——=——=-

DHEH2*AB-4AB4

［问题拓展］如图，取5C的中点H,连接DH.・・・£＞是AC的中点,/.DH//AB,DH=-AB.

2

VAB^AC,：.DH=DC,：.ZDHC=ZDCH.

•：DE=DG,：.ZDGH=ZDEC.：.ZGDH=NEDC.

ADGH'DEC.：.GH=EC.HE=CG.

•.•黑=：("<2),;.BC=nCG,:.BG=(n-1)CG,

CE=GH=；BC-BG=gnCG-(n-l)CG=\CG.

nCG+\l--\CG

：.EBBC+CE\2.n2+n

EHEHCG22

FBEB2+n

,：DH//AB，/./\EDH^/\EFB.：.——

DHEH2

.FB_2+n.AF4-2-〃2-nAF_2-n

*AB4.••AB44AB4

14.综合与实践

【问题提出】勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感.课本这样定义“黄

RPAp

金分割点”：如图1,点P将线段"分成两部分（”g若k布贝格点尸为线段,勺黄金分割

点，这个比值称为黄金比.

图3

的值.

【类比探究】⑵如图2,在△A3c中，。是8C边上一点，AD将△△3c分割成两个三角形（2.与八⑺），

ss

若产L=*也，则称9为的黄金分割线.①求证：点。是线段BC的黄金分割点；②若△ABC

、4ABD^Z\ABC

的面积为4,求△ACD的面积.

【拓展应用】（3）如图3,在△ABC中，。为上的一点（不与A,8重合），过D作DE〃BC,交AC

于E,BE,CD相交于尸，连接AF并延长，与DE,3c分别交于M,N.请问直线AN是△ABC的黄金

分割线吗？并说明理由.

RPAP1—YX

【解析】（1）设”=兀，贝IJ族=1—%,由题意，—,・・.」=；,整理得f+x—i=o,

APABx1

解得再=±且，（不合题意，舍去），=.•.四=±1.

12222AB2

（2）①设中边上的高为力，

oOLcD.fi-BDh

..口△ACD_,22：.2=黑，，点。是3（7的黄金分割点.

△AW44ABe-BDh-BChDUnC

22

②设AACD的面积为s,则△ABD的面积为4-s,

qq

・・-△AC。_QAABD

.q―q73r''整理得d-12s+16=。,

Q4ABDa/\ABC

解得S]=6-2行，"=6+2石（不合题意，舍去），二△ACD的面积为6-2百.

（3）直线⑷V不是AABC的黄金分割线.理由如下：

VDE//BC,：.ADMFS0F,NEMFEBNF,^ADM^^ABN,AAEM^AAOV,

DMMFMEDMAM_MEDM_NCDM_BN

，elvc-FW-B7V，~BN~^N~1^C，••乐―丽’~ME~7/C

NCBN1

"^77=»即BN?=NC?，••BN=NC，•・S^ABN=S^ACN=~^SAABC,

DIN7VCZ

直线AN不是MBC的黄金分割线.

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15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门

一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何?”它的意思是：如图，M、N分别是正方形A3CD

的边相＞、AB的中点，MEYAD,NF1AB,跖过点A,且ME=100步，NF=225步,那么该正方形

城邑边长AO约为（）步

A.300B.260C.225D.185

【答案】A

【解析】VMELAD,NFLAB,:.NFNA=ZAME=90。,

,正方形ABC。中，ZMAN=90°,"过点A,

:.FN//AM,.则/F=/EAM,„AME^FNA,——=——，

ANEM

:M、N分别是正方形ABCD的边AZX钻的中点，设AO=2a,A〃=AN=a,

••・ME=100步，册=225步，=-^-,即“2=100x225,解得。=150,

a100

，正方形城邑边长AD=2a=300步，故选A.

16.请阅读下列材料，并完成相应的任务：

公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论

著.黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值.

如图①，在线段上找一个点C,C把AD分为AC和CO两段，其中AC是较小的一段，如果

AC-.CD=CD.AD,那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段4）的黄金分割点，AC与C。的比值

叫做黄金分割数.

为简单起见，设AD=l,CZ）=x,则AC=1-x.

VAC:CD=CD.AD,：....

①②

任务：

⑴请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数.

(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设A3是已知线段，过点3作且使

②连接ZM,在ZM上截取小=夏8；③在AB上截取AC=AE,则点C即为线段AB黄金分割点.你能说

说其中的道理吗？

(3)已知线段4?=1,点C,。是线段上的两个黄金分割点，则线段8的长是.

【解析】(1)^AD=\,CD=x,贝|JAC=1-x.

22l±

VAC:CD=CD:AD,：.CD=ACAD,x=l-x,Ax=~^,-：x>o,.•.》=叵土

22

47:8=必二]即黄金分割数为由二

22

(2)能，道理如下：设A5=2wi,则3£>=m，DE=BD=m,

,：BDA.AB,：.ZABD=90°，,AD=^AB2+BD2=7(2/w)2+m2=^5m，

AE=AD-DE=y/5m-m=(A/5-V)m,：.AC=AE=(y/5-l)m,

AC:AB=(非=3二1,点c是线段AB的黄金分割点.

2m2

(3)如图，设AB=1,C5=〃,AC=1-〃，

II_

ACDB

VAC:CB=CB:AB,：.CB2=ACAB,：.rr=l-n,；.“=一"，,

2

'：n>0,：.n=,,/AD=CB=,/.CD=AD+BC-AB=y[5-2,故答案为：火一2.

22

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17.(2023・四川遂宁•中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面

直角坐标系中，格点△ABC、成位似关系，则位似中心的坐标为()

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【解析】由图得：A（L2）,D（3,4）,

设直线的解析式为：y=kx+b,

2=k+b乙,k=i

将点代入得4=3k+bf解得•.•直线.的解析式为：y=x+i，

AD所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心,

.,.当y=o时，x=-i,二位似中心的坐标为（一1,0）,故选A.

18.（2023•山东东营•中考真题）如图，AWC为等边三角形，点。，E分别在边BC,上，ZADE=60°,

若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为（

A.1.8B.2.43.2

【答案】C

【解析】为等边三角形，N3=NC=60。,

ZADB=ZADE+ZBDE=ZC+ZDAC,ZADE=60°,

.ADAC

AZBDE=ZDAC,：.Z\ADC^^DEB,

'~DE~~BD

BC5

4.ADAC

BD=4DC,:.BD=—BC,4X,

5"DE~BD-BC

5

VDE=2.4,AAD=-xDE=3故选C.

4f

19.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，AC,5。相交于点。，AB//DC,M是的中点，MN//AC,

交BD于点、N.若00:05=1:2,AC=12f则的V的长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

DOCO1

【解析】・.・AB〃OC,〜△B4O,,CO=-OA,CO=-AC

BOAO223f

BMMN

・.•MN〃AC,:.^BNM^BOA,/.

BAOA

MN1、…；xl2=4,故选B.

•「MM3的中点，，旅\MN=-OA,:.MN=CO,:.MN=-AC=

OA223

20.（2023・山东济南・中考真题）如图，在△回（?中，AB=AC,NB4C=36。，以点。为圆心，以3C为半

径作弧交AC于点。，再分别以8,。为圆心，以大于g劭的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP

交于点E,连接。石.以下结论不正确的是（)

S/xAEC_+]

A./BCE=36。B.BC=AEC.

AC2。△BEC2

【答案】C

【解析】由题意得，BC=DC,CE平分/AC3,

•・,在中，AB=AC,ZBAC=36°,

,.,CE1平分/ACS,AZBCE=36°,故A正确;

・「CE平分/AC5,ZACB=72°,AZACE=36°=ZA,：.AE=CEf

VZABC=72°,NBCE=36。，：./BEC=7T=ZB