极值点偏移问题-2025高中数学导数专项讲义（解析）

第十四讲极值点偏移问题

一、题型分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现与函数极值点偏移有

关的函数与不等式问题(如2022高考全国卷甲理22)，已知函数y=/(x)是连续函数,在区间内

有且只有一个极值点/，且/(%)=f(x2)，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点％=生产，我们

称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点

丰文』的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.此类问题背景新颖，教材中又没有涉及，不少同学望

2

而生畏，本专题给出此类问题的常用解法，共同学们参考.

二、解题思路

(-)通过对称化构造新函数破解极值点偏易问题

【以例及类】已知函数/(尤)=xe-x.

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)已知函数g(x)的图像与/(力的图像关于直线x=l对称,证明：当％>1时,〃x)>g(x);

⑶如果引/々，且/(%)=/(%)，证明：工1+X2〉2.

【分析】⑴由/■'(切=/(1-力可得/(可在(-8,-1)上递墙在(-1,y)上递减；

⑵g(无)=/(2-无)，构造函数尸(x)=/(x)—/(2-X)尸(％)=(xT(产—0)，由/(X)单调性可

得x>l时下(对>/(1)=0；

⑶假设看<1<%2,由(2)得/(X2)>“2—%)，即/'(%)>"2—%)，由/(X)在(F,—l)上递墙可得

%1>2-x2,X；+x2>2.

该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观

展示如下：

该题是这样一个极值点偏移问题：对于函数/(%)=九er，已知/(%)=/(吃)，为/马，证明X,+X2>2.

再次审视解题过程,发现以下三个关键点:

①再，X2的范围(0<%<1<%)；

②不等式/(x)>"2-x)(x>l);

③将马代入(2)中不等式，结合/(九)的单调性获证结论.

小结：用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步：

①求导，获得“X)的单调性，极值情况，作出/(X)的图像,由/(石)=)得士，尤2的取值范围(数形结

合)；

②构造辅助函数(对结论%+%2>(<)2毛,构造/(%)=/(%)-/(2x0-x);对结论王9>(<)%]构造

尸(x)=y(x)-4])，求导，限定范围(%或马的范围)，判定符号，获得不等式；

③代入为(或%)，利用及“X)的单调性证明最终结论.

下面给出第⑶问的不同解法

【解析】法一:f(x)=(l-x)eT,易得/(X)在(7,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减,XfF时,

于(X)f7,/(0)=0,%—此时,/(x)-0,函数/(X)在x=1处取得极大值/(I)，且/(1)=L如图所

e

示.

由/(石)=/(%2)，西W々,不妨设X]<x2，则必有0<%<1<%,

构造函数F[x)=/(I+x)—/(I-x),xe(0,1],

则/'(x)=r(l+x)+/'(l—x)=》Ie?*—1)>0,所以F(x)在xe(0,1]上单调递增,F(x)>尸(0)=0,也

即/(I+x)>/(I—x)对xe(0,1]恒成立.

由0<再<1<%2,则1一芭G(0,1],

所以7(1+(1-^))=7(2-^)>/(l-(l-x1))=/(x1)=/(%2),即/(2—占)〉/(々)，又因为

2-石,%e(1,+QO)，且/(%)在(1,-Ko)上单调递减，

所以2-%,即证石+々〉2.

法二：欲证+x2〉2,即证9〉2-%，由法一知0<石<1<%,故2-石e(l,+oo)，又因为f(x)在

(1,y)上单调递减，故只需证/(%2)</(2-x1)，又因为/(为)=/(%2),

故也即证/(%1)<“2—七)，构造函数H(x)=f(x)~/(2-x),xe(0,1),则等价于证明H(x)<0对

xe(0,1)恒成立.

由“'(X)=f(x)+f(2-x)=^(l-e2x-2)>0,则H(x)在xe(0,1)上单调递增，所以H(x)<H(l)=0,

e

即已证明"(％)<0对xe(0,1)恒成立，故原不等式A-]+x2>2亦成立

法三：由/(%)=/(々),得中』=登，化简得涉』=三…①，

X]

不妨设X,>石，由法一知,o<X]<1<M.令/=%-芯,则/〉0,%2=/+%],代入①式，得"="土，反解出

t2.2r

Xx=———JOxl+x2=2xi+t=——•+/,故要证：X1+》2〉2,即证：--一■+f〉2,又因为e'-1>0,等价

e—1e—1e—1

于证明：2%+«—2)(4—1)>0…②，

构造函数G⑺=2/+(力—2)(告一1)，(/>0)，则G造=(I)e'+1,G"(t)=9>0,

故G⑴在te(0,+8)上单调递增，G'⑺〉G'(0)=0,从而G⑺也在/e(0,+8)上单调递增，

G(0>G(0)=0,即证②式成立，也即原不等式X]+x2>2成立

法四：由法三中①式,两边同时取以e为底的对数，得々-占=In三=In汨-In七,也即1除一1呻=],从而

再x2-x1

三+1

…=a+9)电石山=迨工王=Jln2

%一%次2一玉三_]X1

再

令f=迤0〉1),则欲证：西+%2〉2,等价于证明：上」n/>2…③,

国t-1

构造心然彳詈W—nSD厕叱⑺=胃干1

又令9⑺=/—1—2〃nr,«〉1)Jl](p'(t)=2t-2(lnf+1)=2(/—1—In。，由于1—1>In/对V/e(1,+oo)恒

成立，故°,⑺>0,9«)在te(1,+oo)上单调递增，所以⑴=0，从而MXt)>0，故”⑺在

?e(l,+oo)上单调递增，由洛比塔法则知

r“/、T«+l)lnf

limM(0=lim--------=lim(«+DM，)=Hm(lnt+—)=2，即证>2即证③式成立，也即原不

X->\X—>1t-]1a-iyx->lt，

等式玉+x2>2成立.

［例1］(2023届贵州省威宁彝族回族苗族自治县高三数学样卷)已知函数

/(X)=(2x+〃)lnx-3(x-〃)M>0.

⑴当％31时，〃%)之。,求，的取值范围.

,\1

(2)若函数/(x)有两个极值点小三，证明：

x1+x2>2e万•

【解析】(!)当时，小注。0心嗡詈在恒成立,

人.、3x-2x\nx□,、

令=，xeU，+8)，

则匹卷器辱。

，函数g(x)在［1,+»)上单调递减,

二g(x)Vg(l)=l,

:.a>l,

，。的取值范围是[1，+8).

(2)函数/(%)=(2%+々)111%-3(工一〃)，〃〉0.

……2%+。--aa+2x\nx-x

贝[]f'(x)=21nx+------3=21nx+--l«=----------

XXX

•••函数/⑶有两个极值点X-4

.・"'（X）=。有两个正实数解O方程“=x-2xlnx有两个正实数解o函数y="与函数〃（x）=x-2x]nx,

xe（0,田）的图象有两个交点.

r

/z（x）=l-2-21nx=-21nx-lz令”（%）=0,解得x=,

当℃喘时〃（x）>°，则〃（元）单调递增，当x>+时/«x）<。,则M尤）单调递减,

2

•­•函数〃G）的极大值即最大值为飞•

又0<xv时/，(x)=x(l-21nx)>。,且当xf0时，/?(x)-0,又血)=。

2

:.0<a<

不妨设°<%<+<%2,

-12W1=，(%)<从能-石］="(%)<从下2一%

要证明玉+X2>2e2u>%>—再〉

ee

令F(x)=%(尤)-川xInXG0,=0

所以F\x)=l-21nx-2+l-21n

XH---k—X

册,

=-21n一x-2>-2xIn—2=0'

4

21

当且仅当、=丁-、，即苫=区时取等号，

函数F（x）在xe卜2]

单调递增，

=0,F(x)<0,即/7(x)<

_£、

因此网+x2>2e万成L.

（二）含参函数问题可考虑先消去参数

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元石,马的基础上，又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想

尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

由于可导函数/（X）的极值点是广（％）的零点，也是方程r（月=o的实根，所以有些与零点或方程实根有关

的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.

【一题多解】已知函数/(x)^nx-ax,a为常数，若函数/(%)有两个零点七,々，

2

试证明：%1-x2>e.

【分析】法一：消参转化成无参数问题：

}nx

/(x)=Oolnx=«xolnx=ae,xx,x2是方程f(x)=0的两根，也是方

lnvx

程Inx=«e的两根，则In%,In々是x=ae，设/=In芯,/=Inx2,g(x)=x"*,贝！］g(%)=g(u2)，从而

XjX,>/oIn%+In%2>2。%+〃2>2，此问题等价转化成为【例1】，下略.

法二：利用参数。作为媒介才奂元后构造新函数：

不妨设%>x2,

,•Tn九1-axx=0,Inx2-ax2=0,，ln玉+Inx2=Q（玉+x2）,lnx1-lnx2=Q（玉-x2）,

•••33—也三=a，欲证明王工2〉片,即证InXj+lnx2>2.

万一/一一

、2

In玉+In々+9）3•即证a>------，

一一石+x2

原命题等价于证明lnX1-lnX2>^—，即证：In%〉"-%），令"土,«>1），构造

国-x2再+x2x2再+x2x2

g⑺=In/-宁停/>1,利用g⑺单调性求解,下略.

法三：直接换元构造新函数：

4=屿=202=%,设为<々/=逗,«〉1）,

国x2In玉石再

InZx,In+Inx

贝mi!lJ%?二比i，---L=/o--------L=t,

In玉In石

iIn。iiiiiIn%

反向牟出：In%=---,mx=ln/Xj=lnr+lnx=ln/+----=----,

t-19t-1t-1

故xxx2>/0in玉+In尤2>20七口山t>2，转化成法二，略.

［例2］(2024届浙江省名校协作体高三上学期联考)函数〃》)=。/-6。-1)2有两个极值点

%,%(%<%).其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)求实数。的取值范围；

⑵若ex,+(e-2)/+2(l-e)“a恒成立，求2的取值范围.

【解析】(1)由于尸(x)=ae-2e(x-l),

由题知广(切=。有两个不同实数根，即。=至生。有两个不同实数根.

e

令g(x)=2e(l),则go)』。"。,解得工。,故g(%)在(…,2］上单调递增，在［2,+向上单调

ee

2

递减，且Xf-8时，g(x)f-00,xf+8时，gtx)f0,g(2)=-，故g(x)的图象如图所示，

当ae］o.|卜寸，尸(X)有两个零点为历且%<%.则/■'(x)20o0<x<X］或XN%,故/⑺在(0,引上单

调递增，在(占，%)上单调递减，在(％，”)上单调递增，的极大值点为极小值点为4.

故〃x)=ae，_e(x_l)2有两个极值点时，实数a的取值范围为(0,：.

(2)由于+(e—2)4+2(1—e)之4(%—1)(々——l)+(e—2)(々—1)之2(田—1)(0—1)

若设。=%一1，%2=%2—1(。V%<%2)，贝！］上式即为M+(e—2»2>加142

Iae"=2t,>0-ti打八

由(1)可得t,'八，两式相除得et2'=；,即f「4=ln；>°,

2

[ae=2t2>Q4%

由跖+(e-2)r2>〃•/2得&)[跖+(e-2)L]之卯21n，

2+(e—2)——e--z>.e

所以人--------i-"令>l,g)=+w,

In2t,Int

则花2)在(1,+8)恒成立，由于〃⑴」(e-2)/+e]--2”(e-2)/+e

令=[(e_2)/+e]In，_2,_(e_2)/+e,贝[|/，(1)=2(e_2)dnZ'_2_(e_2)Z'_i—,

(pn(t)-2(e-2)lnf+2(e-2)—■y-e+2,

显然0〃⑺在(1，+8)递增,

又有“⑴=—2<0,“(e)=3e-6-4>0，所以存在f。«l,e)使得。〃优)=。,

e

且易得。'⑺在(1，%)递减，&，内)递增，又有。'⑴=0M(e)=e2-2e-1>0,

所以存在「«1,6)使得0&)=。,且易得。⑺在(1⑷递减,&,申)递增,

又。(l)=3(e)=0，贝h<x<e时，。⑺<。,〃⑺<0,%>e时，。⑺>0,〃⑺>0，所以易得刀⑺在(l,e)上

递减，在(e,+8)上递增,则孙焉=/z(e)=(e-厅，

所以2的取值范围为(f，(e-l)2].

(三)对数平均不等式

a-b

两个正数。和〃的对数平均定义：L(a,b)=Ina—Inb“丰

a(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

猴<L(a,b)<—(此式记为对数平均不等式)

2

取等条件：当且仅当a=b时，等号成立.

【例3】设函数/(x)=e'-ax+a(aeR),其图象与x轴交于A(xx,0),fi(x2,0)两点且xY<x2.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：/'(衣号)<0(7'(x)为函数/(%)的导函数)；

【分析】(1)/'(x)=e'-a,尤eH,当aW0时,/'(%)>0在R上恒成立，不合题意

当a>0时，/(x)^=/(Ina)=a(2-Ina)

当/(x)血口20,即0<a<e?时,“幻至多有一个零点，不合题意,故舍去；

当/(x)min<o,即a〉e?时油/(I)=e>0,且/(x)在(-a>,lnd)内单调递减，故/(%)在(l,lna)有且只有一

个零点；由f(Jna2)=a2-2a]na+a=a(a+l-2]na),

2

令)=。+1—2111〃,〃>/,贝[],，=1——>0,故〃+l-21n〃>/+l-4=e2-3>o

a

所以/(In/)>o,即在(in21na)有且只有一个零点.

(2)由(1)知"(%)在(-00,1n。)内递减，在(Ina,+oo)内递增，且/(1)=e>0

x

所以1<玉<ln〃<龙2<21na,因为/(石)=e'-ax{+a=0,f(x2)=e巧-ax2+〃=0

6国a-1)一(%2—i)

a=-----，所以1=〉-I)®_1)

玉一1In(玉-1)-ln(x2-1)

所以玉々一(%i+%2)<°,要证：/'()v。，只须证<a，即yjxrx2<lna

故,“1%2V菁_ln(%i-1),VX2-1n(%2-1)

所以2dxi%V%+%2-In(石-1)(X2一1),所以111(玉工2—(菁+%2)+1)<%1+%2-2，菁%2

因为玉%2-(再+%2)<0,所以ln(%%2-(尤1+%2)+1)<lnl=。,而X+%2_2>。

r

所以ln(%%2-(%+%)+1)vX+%-2dxi4成立，所以/(A/x1x2)<0

【评注】根据对数平均不等式求解的步骤是：

1.通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出In玉-In/如-九2，

2.通过等式两边同除以山西-In/构建对数平均数।%一+

In国-Inx2

3.利用对数平均不等式将药一0转化为出土三后再证明石+%<2/（或石+%>2/）.两种方法

InXj-lnx22

各有优劣，适用的题型也略有差异.

（四）一题多解贯析

【例4】已知/(x)=xlnx-gm：2—x,〃zeR2

若/（%）有两个极值点X],x2，且XI<x2，求证：XjX2>e

【分析】解法一

欲证XjX2>e?,需证InXj+In%2>2.

若外力有两个极值点花,4，即函数/'(尤)有两个零点.又/'(X)=InX-e，所以,XI,%是方程

r(%)=0的两个不同实根.

Inx-mx,=0立-Inx+Inx9

于是，有111c，解得帆=一!-----='

lnx,-mx2=0Xi+X2

Inx-mx=0[/\

另一方面，由In“呼}=0'行马-山石=，〃(9-%)，

..h—rmInx?-InxLInx1+Inx9

从而可得,-----=-------二

玉+x

2、

In%

于是,In再+山/=也3匕乂3=J石

又0<$<々，设/=上，贝卜>1.因止匕,Inx,+In々=a+'"n',t>\.

X]t-1

要证Inxi+lnx2〉2,即证：与当"〉2">1.即：当/〉1时，有Inf〉受J.构造函数

丸⑺=In—"之1,利用/?⑺为(L+8)上的增函数求解.

解法二

欲证西々>e?,需证In%+ln%2>2.若有两个极值点看，马，即函数/'(尤)有两个零点.又

/'(x)=lnx-7nx，所以,看,%是方程/'(%)=0的两个不同实根.显然相>0,否则，函数/'(%)为单调函

数，不符合题意.

由,n〜一吵=ln%々=根(X+x,),问题转化为证明^+%2>-，构造函数

Iinx2—iwc?=u/m

函数g(x)=r(x)—[[o<x<\],根据g(x)在[o,5]上递增，可得g(x)<g]\'o,

所以r(x)<r[W-j,设玉<,<%,由/'(%)在[of)上递增可证.

解法三

由国,4是方程/'(%)=0的两个不同实根得加=/，令g(x)=W，g(%)=g(W)，由于

g<x)=U^^llt,g(x^(Le)T,(e,+co)J.

X

2

e

设1<X]<e<々，需证明西々〉e?,只需证明石>一e（0,e）,只需证明/■（%）>/■—，即

*2X2

（八，八2、

x

f(2)>f—,BP/(x2)-/—〉0.

7九2、7

/2\(l-lnx)^e2-x2

即/z(x)=/(x)—y—(xe(l,e)),/z,(x)=>0,故/z(x)在(l,e)T,故

Ix1x2e2

<e2><e2>2

h(x)<h(e)=0,BP/(x)<f-.令无=西,则。(％2)=/(菁)</一，因为尤2，—e(e,+oo),/(x)

X“7''7%

e2

2

在(e,+oo)J,所以马〉一,SPx1x2>e.

玉

解法四

/1

In玉一mxx=0A=me

设/1=lnX[e(O,l),Z=lnx则由得/B】.=^>—=gw，设k=t—t<0,

22Inx-mx=0t=me]2

222G一

kekk

则％=.欲证x/2>e?，需证InXj+ln%2>2,即q+J>2把八,t2代入整理得

E4二r

硝+力―2(1—1)<0,构造g3=Ml+i)—2(1—1)证明.

Inf-mx=0t.=me/i

设％=ln玉e(0,l),r=lnx则由1得】=」=e'L*设,=ke(O,l),

22h

Inx2-mx2=0q=me’2’2

kk"

则a=--,t=—.欲证X1%>e2，需证InX]+lnx>2,即只需证明乙+今>2,即

k—12k—12

回空—山low山）<0,设且（女）=111左_2£：）（左0（0,1））,

k-1k+1k+\

（左一I）?

+~\〉o,故g（。在（0,1）T,因此g（左）<g⑴=o,命题得证.

左（女+1）

（五）2022届高考全国卷甲理22题解析

极值点偏移问题前几年高考曾经考查过，2022年高考全国卷甲理再次考查极值点偏移问题，该题有一定难

度，但用前面介绍的方法可以轻易解决，下面给出两种解法，共同学们参考：

【例5】已知函数/(%)=——lnx+x—a.

(1)若外力20,求a的取值范围;

(2)证明：右f(%)有两个零点%，则<1.

【解析】解法一：

ex--+l=-

xx

令/'(xhO狷%=1

当xe(0,1)"G)<0,/(x)单调递减；当xe(1,y),广。)>0,/(x)单调递增,

所以/(x)»〃l)=e+l-a,

^/(x)>O,ljll]e+l—a>O,BPfl<e+l,

所以。的取值范围为(-8,e+1].

(2)由(1)知，xe(0,1),/(%)单调递减；当xe(l,+co),/(x)单调递增，

若/(%)有两个零点飞，尤2，则一"1零点小于1,一个零点大于L不妨设％<1<%

1

X

要证占了2<1,即证l<一，

1(1>

因为和一6(0,1),即证/(&)>/—，因为/(%)=/(%),即证〃々)>/

X2\X2)

、e"—]

即证----lnx+x-xex-Inx——>0,xG(1,+oo),

即证《一犹1_2lnx--||>0,

x2(x)

下面证明x>l时,J—xe，>0,lnx-Mx1

<0,

xX

QX1

设g(x)=-----xex,x>l,

1

e*+xex-=11-1e-eX1--

vXXX

1(X1、

x-1e

--QX,

X(XJ

ig^(x)=—(x>1),^(%)=f---=^-^-er>0,

%kA-X/X

所以0(x)>Ml)=e，而［<e，

x1

所以e上-e*〉0,所以g'(x)>。，

x

所以g(X)在(l,+8)单调递增

即g(x)>g⑴=0,所以Jxe,〉0

x

1

、11(.1、2x-%2-1一(X-1)2

h(x)=—-1+—

x21x-)27

所以〃(x)在(1,+8)单调递减,

即/z(x)</i(l)=0,所以Inx—g<0

综上，----xex—2In%——x>0,所以％/,<1.

x2Vx)

解法二：

(1)因为/(x)=-——In%+=ex~inx+(%-In-a,

x

ir_i

设口(力=了-1匹贝"(0=1_7=^r(%>0),

所以x«0,1)时g，(x)<0,g(x)递减,xG(l,+oo)时g，(x)>0,g⑺递增,

f=g(x)*g(l)=l,

设/(苫)=〃«)=1+/-。(出1),则〃(0为增函数,〃(f)NMl)=e+l-a,

若f(x)>O,pll]e+l—a>O,BPa<e+l,

所以a的取值范围为(-8，e+l].

(2)由(1)知/'(%)有两个零点占,工2,则方程X-lnx=，有两个实根占

因为xe(0,1)时g(尤)递减,尤e(1,+8)时g(x)递增，

不妨设。＜项＜1＜々，

Y—Y

由X]_InX]=%_lnx2=r得]=1,

所以要证不%＜1,即证＞同和证我小

in%2inX［王

即证睚-忖臼啜＞0,

设倏•na.Al),即证相_工_21n机>0,

'%m

ii2I1>0,

设厂(机)=m-----21n机贝！]Fr(m)=ld——----£

m

所以歹⑺为增函数歹（7"）＞尸⑴=0,

所以中2＜1成立.

三、典例分析

［例1］（2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考）已知函数“可=・-1取+》

⑴讨论函数〃X）的单调性；

（2）若不等式g（无）=尤2〃尤）+（/-l）lnx-*3一尤力有解，求实数t的取值范围；

⑶若函数Mx）=〃x）-a（aeR）有两个零点刈,X2,证明：和马＜1.

【解析】（1）•1,/（%）=--hu+x,xe（0,+oo）f'（x）=eAe-—+1=-------v-----，

XXXX

.”«1,”）,尸（句＞0,/（对单调递增；

xe(O,l),_f(x)<OJ(x)单调递减;

(2)g(x)=x2/(x)+(x2-l)lnx-x3-x<^^,

所以gOO^nwr，g(元)=x?(x?—1)111¥一彳3—尤=xe*-Inx—龙,x>0,

九)

邛1+x=(x+MT

g，(x)=(x+l)ex---1=(x+l)ex-

X

l/（尤）=&'+二＞0,《切单调递增,

XX"

,Jb

x-»0,f(x)->-oo,/(l)=e-l>0,x0e(O,l),g(xo)=r(xo)=O,e=',xe(O,Xo),g<x)<O,g(x)单调递减；

xo

尤ea),+w),g'(x)>O,g(x)单调递增；:e"=—,/,x=ln—=-lnx

%0Xo0

所以g(x).=g(%)=/e"—lux。一/=1-叫—5=1,

所以年L

（3）〃（%）=〃力-4（0€叼有两个零点刈,X2,

x

%（%）=丁e-血+%-。=0有两个根刈，X2,不妨设玉＜入2,由（1）可知两根也是了（X）与y="的两个交

点，

且0〈再＜1,%＞1,于是0＜：＜1,由于/（X）在91）单调递减，故占尤2＜1等价于〃再）＞/[1].

%2\X2）

而〃（xj=〃（%）=OJ（X]）=/（X2），故网々＜1等价于/■（无.①

设心）=/（x）-dJ，则①式为低）＞0.

1

、j_

®k{x)=ex+x-xex-1i

111

当x〉l时，r(x)=ex-ex+-ex+1>0，故女(%)在(L+8)单调递增，

所以左(%)>/1)=。,从而，(九)〉0,因此心)在(1,行)单调递增.

又%>1,故《当)>«)=0，故工，于是占尤2<1.

[例2](2024届浙江省名校协作体高三上学期7月适应性考试)已知函数/Xx)=xlnx-2彳-”有两个零点

西,马.

⑴证明：-e<a<0;

⑵求证：①再入2V/；②再+%2</.

【解析】(1)由/'(%)=lnx—1,当％£(0,e)时r(x)v。,%£化,+8)时—(%)>。,

所以“九)在(。⑶上单调递减，在(e,+8)上单调递增，贝U/QUn=/(e)=-e-〃<0,

所以〃>-e,

当％£(0,1)时L<0,-2x<0,^/TIUfM=x\nx-2x-a<-a,

若-,即〃20时，贝心£(0」)时f(x)v。，此时/⑺在(0,e)上不存在零点，

要使“犬)有两个零点，故-e<〃<0.

2

e

(2)①要证再/<。I不妨设°<玉<e<%I则证％2<i

不

因为〃龙)在(e，+8)上单调递增，即证/&)=/(々)</(£)，

一百

2222_2

令g(x)=/(x)-/(J),xc(O,e)，贝［jg'(x)=O'(x)+=r(J)=(lnx-l)d>。,

XXXX

所以g(x)在xe(O，e)单调递增，所以g(%)<g(e)=O,即再％，得证;

②引理1:当xe(O，e)时/(x)<-x-a：

证明：当xe(O,e)时/(x)=x\nx—2x—a<x—2x—a=—x—a,得证.

利用引理1:y(占)=。＜-尤1-〃，所以再＜一。①，

引理2:f(x)＞x-e2-a：

证明：令〃(x)=/OO-x+e?+。=xlnx—3%+e2,

贝(]〃(x)=lnx-2,当xe(0,e2)时"(x)＜。,xe(e£*+»)时〃(x)＞0,

所以〃(X)在(0,『)上单调递减，在d,+8)上单调递增，所以Z/(x)大无心2)=0,

利用引理2,因为々(In尤2-2)=。＜。,所以X2＜e?,

所以/(工2)=。＞工2-62-。，所以/②，

由①，②知：X|+Z＜e2.

[例3](2023届江苏省常州市高三上学期期末)已知函数/(x)=l+lnx+2以(aeR).

(1)讨论函数/⑶的单调性；

11,

⑵若"X)存在两个零点4,巧，求。的取值范围，并证明：7+三＞一4生

【解析】(1)因为函数的定义域为(。，讨),八x)\+2a="l,

当a20时，f'M＞0,广⑴在(0,y)上递增；

当"0时，由/口)=。得，尤=-；,

2a

卜寸，/V)＞0,/(x)递增；

卜寸，f'(x)＜0,/(x)递减.

综上，当时,广⑺在(。,+8)上递增；

当。＜0时，/⑴在上递增，在上递减.

(2)由(1)知，〃＜。且,解得一(〈“VO,

当；。＜0时，小＞*＜0,所以/⑴在上存在唯一零点，记为A；

2©e2aJ

1_11a+2八ll、11「九/11।J112

因1为AL二十丁=与石＞°，所以二〉一丁，因为//=1+117+],

a2a2aa2a)\a)a

设r=-：＞2,g（r）=l+21n―2f,则g，⑺=；一2＜0,

所以gQ）在（2,+⑹上递减，

所以g«）＜g（2）=21n2.3＜0,即,

所以Ax）在（-4二］上存在唯一零点，记为演,

\laa）

因为0的取值范围是［1，。］

因为户1"+2叫=0令=三＞1

U/Jzv

［l+lnx2+2ax2=0%，

1+ln玉+2的=0'曰1_2a(t-l)

则

1+In1+In石+2。历=0'm匹In/

二口”二1"I12。(产-1)

玉x2tx{tint'

11.2a(t2-D1

要证一+—>-4a,只要证-皿”>Ta,只要证r--21nf>。,

%%2tultt

/Q)=/-----2Inzt>11

贝"'⑺=]+»(—)

2-＞0,所以尸⑺在（L+8）上递增，

所以尸⑺＞尸6=0,得证.

［例4］（2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考）已知函数/（%）=尤2-依+ahu-有两个极值点

为，

⑴求”的取值范围；

2424

⑵证明：“再）+/（%2）+量+不＜161n2.

2x2aX+a

【解析】（1）f'（x）=2x-a+-=~,

XX

/（x）有两个极值点4,了2，则/（%）=。在（0,+。）上有两个实数根玉，Xg,

所以2--亦+a=O在（0,+8）上有两个实数根A,X2,

△二〃2-8〃>0

则再入2=2>。解得〃>8,

a„

Xy+%2=5>0

故。的取值范围为。>8,

,,aa

（2）由（1）知石％=]，玉+々=5/且〃>8,

r/\r/\242421212424

/（石）+j-^2/-I-----1=X]—cix^+6zln%|+x?—1/%2+-------1-----

24（%+々）

二（再+々）2~2X^2_Q（玉+元2）+。1叫％2+

22

aa,a2aQ…

=----a—a——I-aln——F24=------a+41〔n--F24,

42242

2QQ

g（〃）=——Q+〃ln万+24（Q>8）,g（〃）=-5+1”,，

令/2（。）=?'（。）=-5+111*/（。）=-1+l=-9<。在。>8上恒成立,

所以Ma）=gM）=-|+ln£在a>8单