集合集合间的关系集合的运算（重难点突破）原卷版

专题一集合、集合间的关系、集合的运算

落实主干知识

1.集合的概念及其表示

（1）.集合中元素的三个特征：

①.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

②.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③.无序性：即集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换。

（2）.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“反”表示）和不属于（用符号“空”表示）.

⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法.

（4）.常见的数集及其表示符号

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

（非负整数集）

表示符号NN*或N+ZQR

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

集合A中所有元素都在集合B中（即若

子集

尤GA,贝1）x^2）（或

或c5Q

集合A是集合8的子集，且集合8中至少AB

真子集

有一个元素不在集合A中（或BA）O）

集合A,2中元素完全相同或集合A,B互

集合相等A=B

为子集

【名师提醒】

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.集合之间的基本运算

如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母，

表示;

集合的并集集合的交集集合的补集

怎匹

图形

AC\B

符号或无eg}

【名师提醒】

4.德・摩根定律：

【名师点睛】

1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集

合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

2.集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值（范围）时，需借助集合中元素的互异性来检

验所求参数是否符合要求.

3.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识.

4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体

的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题.

5.求集合并集的两种基本方法：

（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.

6.求集合交集的方法为：

（1）定义法，

（2）数形结合法.

（3）若A,8是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值

用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.

探究重点睢A

考点1集合的概念及其表示

归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合.

（2）看这些元素满足什么限制条件.

（3）根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

例1.（1）、（集合的确定性）（2023•河北•高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（）

C.某中学高一年级开设的所有课程D.充分接近有的所有实数

小试石T|

1、（2022秋•上海浦东新•高一统考期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上

①上海市2022年入学的全体高一年级新生；

③影响力比较大的中国数学家；

A.1B.-1C.3D.2

74

A.0B.1C.—D.—

63

考点2元素与集合的关系

(1)属于：如果。是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a^A.

(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说°不属于集合A,记作

(3)常见的数集及表示符号

数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

归纳总结：

(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取

舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

例2.(1)(集合与元素的关系)(2023•江苏•高一假期作业)下列关系中，正确的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

A.4B.5C.10D.12

小试南|

A.4B.5C.6D.7

A.-4B.3C.4D.6

（1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围;

（2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值.

小试南|

⑴若-2是集合A中的元素，试求实数。的值；

⑵-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.

考点3集合间的基本关系

1.集合A中含有〃个元素，则有

(1)A的子集的个数有2"个.(2)A的非空子集的个数有2"—1个.

(3)A的真子集的个数有2"—1个.(4)A的非空真子集的个数有2"—2个.

2.空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论A=0和AR0两种情况，前

者常被忽视，造成思考问题不全面.

A.7个B.6个C.4个D.3个

小试石71

A.8B.7C.6D.5

小试石;I

(1)若。是A的真子集，求。的范围;

考点4集合的基本运算

1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集,记作AU8；符号表示为AUB={x|x

GA或xGB}

2.并集的性质

AUB=BUA,AUA=A,AU0=4，A^,AUB.

3.对于两个给定的集合A、B,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与8的交集，记作An瓦

符号为ACyB=[x\x^A

4.交集的性质

Ar\B=BQA,ArU=A,An0=0,AHBQA.

5、对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，

记作盘4符号语言：Cr/A={x|xGU,且娓A}。

归纳总结：

集合基本运算的求解规律

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解.

(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况.

(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解.

小试牛刀

考点5集合的综合应用（压轴题训练）

例8.（1）、（2023•全国•高三专题练习）向某50名学生调查对A,8两事件的态度，其中有30人赞成A,

其余20人不赞成A；有33人赞成8,其余17人不赞成&且对A,8都不赞成的学生人数比对A,2都赞

成的学生人数的三分之一多1人，则对A,8都赞成的学生人数为（）

A.18B.19C.20D.21

小试南|

A.7B.6C.5D.4

、（2022秋•高一校考单元测试）已知集合A3都是N*的子集，A8中都至少含有两个元素，且A8满足:

A.5B.6C.7D.8

⑴当〃=6时，试写出一个三元子集A；

小试薪I

(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集2