辽宁省沈阳市铁西区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷 （解析版）

2024-2025学年度下学期期末质量监测八年数学

（本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟）

第一部分选择题

考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘

徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）.

【答案】D

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是中心对称图形.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.因式分解：1-4/=（）

A.(1-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2—y)(l+2y)

【答案】A

【解析】

【分析】利用平方差公式因式分解即可.

【详解】解:l-4/=(l-2y)(l+2y),

故选：A.

【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

3.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当,.EBC是等边三角形时，NCED的度数为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

由矩形ABCD得到继而得到NA£B=NEBC,而,ESC是等边三角形，因此得到

ZCED=ZBCE=60°.

【详解】解：：四边形A3CD是矩形，

J.AD//BC,

/.NCED=NBCE,

：,EBC是等边三角形，

ZBCE=60。,

：.NCED=6。。,

故选：C.

4.在直角坐标系中，把点2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和

纵坐标相等，则m=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点8的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可.

【详解】解：点A(九2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点3,

B（m+l,2+3）,即8（m+l,5）,

••点8的横坐标和纵坐标相等，

m+l=5,

m=4,

故选C.

【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标

系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.

f2x-l<5

5.若关于x的不等式组〈，的解集为x<3,则根的取值范围是（）

x<m+l

Am>2B.机三2C.m<2D.m<2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参

数的不等式，进行求解即可.

2x-l<5x<3

【详解】解：解，，得：\

x<m+lx<m+l

:不等式组的解集为：x<3,

m+l>3,

m2；

故选B.

6.下列条件中，能判定平行四边形A3CD是菱形的是（）

A.ZA=90B.ZB=NC

C.AC=BDD.AC±BD

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查菱形的判定方法，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合选项

逐一分析即可

【详解】A.若NA=90。，则平行四边形ABCD为矩形，而非菱形，故A错误；

B.由N6=NC及平行四边形邻角互补可得NB=NC=90。，此时平行四边形为矩形，故B错误；

C.对角线AC=%>的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故C错误；

D.对角线AC_LB。的平行四边形是菱形，符合菱形的判定条件，故D正确.

故选：D.

7.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）

A.X2-6X-9B.25«2+10«-1

C.x2—4x—4D.a2+a+-^-

4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查完全平方公式分解因式，需满足"土2a》+〃=（a土勾2的形式，据此依次判断即可；

详解】解：A.%2-6x-9：

首项/和末项—9符号相反，且-9不是平方数，无法构成完全平方公式；

B.25«2+10«-l：

首项为（5a）2,中间项10a对应2・5/1，但末项-1非正数且非平方数，不符合公式；

C.%2-4x-4：

首项/和末项T符号相反，且T非平方数，无法构成完全平方公式；

21

D・a+aH—：

4

首项4，中间项a可写为2.a.末项;是［g］,符合完全平方公式，即［a+g］；

综上，只有D满足完全平方公式的条件；

故选：D

2m

8.分式方程——=1——的解为正数，则加的取值范围（）

X—1x—1

A.m>-3B.功〉一3且加力一2

C.m<3D.»i<3且mw-2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解

的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键.

【详解】解：方程两边同时乘以x-l得，2=x—1—m，

解得工=m+3，

2TYI

V分式方程——=1——二的解为正数，

X~1X—1

m+3>0,

m>-3,

又,

即772+3W1,

，m^—2,

m的取值范围为7%〉一3且mw—2,

故选：B.

9.如图，在VA3C中，ZDCE=42°,AE=AC,BC=BD,则/ACS的度数为（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题

的关键.^ZAEC=x,/BDC=y,根据AE=AC,BC=BD,用含彳、了的代数式表示NA、NB,

最后在VA3C中，利用三角形内角和定理，代入计算即可.

【详解】■：AE^AC,BC=BD,

设NAEC=NACE=x,NBDC=/BCD=y,

：.ZACD=x-42°,N3CE=y-42。，

：.ZA=ZBDC-ZACD=y-(x-42°)=y-x+42°,

ZB=ZAEC-ZECB=x-(y-42°)=x-y+42°,

：.NA+/B=y—%+42。+龙—y+42°=84。，

AZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-84°=96°

故选D.

10.如图，在平行四边形ABCD中，点。是AC中点，点E，E分别在边A。，3c上，线段所经过

点。，下列结论：①AB〃Z)C；②FO〃FC；③ZB=ZD；④S四边形ABFO=S四边形CDEO.其中错

C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行、对角相

等可知①、③正确；因为尸。与尸C有交点，所以R9错误，故②错误；因为AC是平行四边形

的对角线，所以SABC^SCDA=^Sg，利用ASA可证人。石名COF,所以可知SA0E=SCOF,

从而可证S四边形ABF。=S四边形C0EO,故④正确.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形,

ABCD,

故①正确；

R9与bC相交于点

.•.R9与尸。不平行，

故②错误；

'四边形ABCD是平行四边形，

:.ZB=ZD,

故③正确；

・四边形ABC。是平行四边形，AC是「A6CD的对角线,

BC

•••^ABC=^COA=-^ABCD^'

:.ZEAO=ZFCO,

1•点。是AC的中点，

AO-CO,

ZEAO=ZFCO

在LAOE和乙CO厂中，＜AO=CO,

ZAOE=ZCOF

AOE^COF,

•v-V

一uAOE_uCOF9

•v—V-V—V

…uABC°.COF-u.CDA°AOE9

一u四边形AB尸O一°四边形CDEO，

故④正确.

综上所述，错误结论的个数为1.

故选：A.

第二部分非选择题

二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)

、、小m1

11.计算：------1--------=.

m+1m+1

【答案】1

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的加减运算.直接按同分母分式加减运算法则计算即可.

5m1m+1।

【详解】解：-----+-----=-----=1.

m+1m+1m+1

故选：1.

12.因式分解：%3-6x2+9x=.

【答案】x(x—3)2

【解析】

【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键.先提公因式一再利用完全平方公式分解

因式即可.

【详解】解：x3-6x2+9x=x^x2-6x+9^=x(x-3)",

故答案为：x(x—3)。

13.如图，已知AB,BC,CD是正〃边形的三条边，在同一平面内，以3c为边在该正〃边形的外部作

正方形BCMN.若NABN=120。，则〃的值为.

D

【答案】12

【解析】

【分析】本题考查的是正方形的性质，多边形内角与外角，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形

的1个外角度数，再结合外角和可得答案，关键是正方形性质的应用.

【详解】解：四边形是正方形，

:.ZNBC=90°,

ZABN=120°,

ZABC=360°-90°—120。=150°,

.•.正〃边形的一个外角为180°—150。=30。，

”的值为3二60匕°=12.

30°

故答案为：12.

14.不等式2x—6<5的最大整数解是.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查求一元一次不等式的最大整数解，解题的关键是会解一元一次不等式.

解一元一次不等式，取最大整数解即可.

详解】解：：2x—6<5

/.2x<n,

2

“11/

■5<—<6,

2

A2%-6<5的最大整数解为5,

故答案为：5.

15.如图，在VA3C中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交ABAC于

点四和点N,再分别以点“，N为圆心，大于'MN的长为半径画弧，两弧在N8AC的内部交于点

2

P,连接"并延长交3c于点O.若△A3。的面积为16百，则的长为.

B

【答案】8血

【解析】

【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义和角平分线的尺规

作图，由三角形内角和定理可得N54c=60。，由含30度角的直角三角形的性质可得AB=2AC,则由勾

股定理可得5C=Ji4C；由作图方法可得，AD平分NB4C,则NC4Z)=30。，据此额度

AD=2CD,AC=6CD，BC=3CD,再由三角形面积计算公式求出。的长即可得到答案.

【详解】解：•••在VABC中，ZC=90°,4=30。，

AZBAC=180°-ZC-ZB=60°,AB=2AC,

BC=y]AB2-AC2=#)AC，

由作图方法可得，AD平分N8AC,

ZCAD=-ABAC=3Q°,

2

AD=2CD,

AC=y]AD2-CD2=CCD，

BC=3CD,

:.BD=AC—CD=2CD,

△AB£＞的面积为168，

：.-AC-BD=16s/3,

2

.•.--V3CD-2CD=16A/3,

2

。。=4或。。=—4(舍去)，

•••AC=46

/.AB=2AC=8A/3

故答案为：8-73-

三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

2%-1>1

16.(1)解不等式组：《

3(2-%)>-6

21

(2)解分式方程:

x-1x

【答案】(1)1<%<4；(2)x=-l

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键.

(1)先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定

不等式组的解集即可.

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

1〉1①

【详解】解：(1)«

3(2-%)>-6(2)

解不等式①得：x>l,

解不等式②得：x<4,

不等式组的解集为1<%<4；

21

(2)-----=一,

x-1x

去分母得：2x=x—1,

解得：x=-l,

经检验，x=—1时，1—1/0,

•••分式方程的解为x=—1.

17.先化简，再求值:1--——2----，其中〃=3•

〃+1a—1

【答案】

a3

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简,

最后代值计算即可得到答案.

a?—a

【详解】解:1—

〃+1a2-1

。+1—aci—a

a+1a—1

1—

6Z+1+—1)

1(a+1)(〃-1)

a+1〃(〃一1)

1

——,

a

当a=3时，原式=g.

18.如图，点A是直线MN外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图：

①在直线上任取一点B,连接AB；

②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,BN于点、E,F；

③分别以点E,E为圆心，大于工石R的长为半径画弧，两弧在NABN的内部交于点C,作射线3C：

2

④以点A为圆心，长为半径画弧，交射线3c于点。，作直线的＞.

(1)判断AD与的位置关系，并说明理由：

(2)若/ABN=60。，BD=1,求AB的长.

【答案】(1)AD//MN,理由见解析

(2)43=地

3

【解析】

【分析】本题考查的是尺规作图一作角平分线、等腰三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性

质，

(1)先证明NABD=NDfiN,ZABD=ZADB,进而得出"BN=/ADB,即可证明结论；

(2)作于点》，求出？A8"-1ABN30?,根据勾股定理及含30度角的直角三角形的性

2

质求出结论；

【小问1详解】

解：AD//MN,理由如下：

由题意得：BD平济NABN,AB=AD,

\?ABD?DBN,

AB=AD，

:.ZABD=ZADB,

\?DBN?ADB,

.-.AD//MN-,

【小问2详解】

解：作AHLBD于点》，

17

\BH=DH=—BD=—,

22

7ABN60?,BD平分NABN,

\?ABH-?ABN30?,

2

:.AH=-AB,

2

在RtZXAB//中，AH2+BH2=AB2

呜可+图—

解得：AB=—.

3

19.如图，在VABC中，AB=AC,。是3c的中点，CE//AD,AE^AD,EFLAC.

(1)求证：四边形AZXE是矩形;

(2)若3c=4,"=3,求所的长.

【答案】（1）证明见解析

力6^/13

13

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性

质是解题的关键.

（1）由等腰三角形三线合一的性质得出NADC=90。，有平行线的性质得出NECD=90。，结合已知条件

可得出NE4£>=90。，即可证明四边形ADCE是矩形.

（2）由（1）可知四边形4XE是矩形.由矩形的性质得出AE=DC,CE=AD=3,ZAEC=9Q°,

由已知条件可得出DC=AE=^3C=2,由勾股定理求出AC,最后根据等面积法可得出

2

—EF-AC=—AE-CE,即可求出_EF.

22

【小问1详解】

证明：•••A3=AC,。是的中点，

：.AD±BC,

/.ZAZ）C=90°,

,/CE//AD,

/.ZECD=1800-ZADC=90°,

又：AELAD,

ZEAD=90°,

四边形ADCE是矩形.

【小问2详解】

由（1）可知四边形AZXE是矩形.

：.AE=DC,CE=AD=3,ZAEC=90°,

•.•。是3C的中点，BC=4

：.DC=AE=-BC=2,

2

在八40。中，ZADC=90°,

AC=y/Alf+DC2=V32+22=V13,

'：EFAC,

：.-EFAC=-AECE

22

即工EF.而=」x2x3,

22

・s6而

••EF=-------

13

20.如图，在VA3C中，延长AC到点。，使CD=C4,点/是边3C上的点，延长AF到点E,使

FE=FA，连接。£,且DE=CD.若NC45=NCE4,CF=3,求跖的长.

【答案】9

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，由三角形中位线定理得到

DE=2CF=6,DE//CF,则NE=NCE4,ND=ZACB,证明/XACB之△EZM(ASA)得到

BC=AD,再由AC=CD=DE=6,得到3C=AZ)=AC+CD=12,则3/=3C—CF=9.

【详解】解：：CD=C4,FE=FA，

•••CP是VADE的中位线，

：.DE=2CF=6,DE//CF,

AZE=ZCFA,ZD=ZACB,

■:ZCAB=ZCFA,

：.ZCAB=ZE,

又；DE=CD,

DE-AC,

AACB^AEDA(ASA),

：.BC=AD,

•••AC=CD=DE=6,

：.BC=AD=AC+CD=12,

：.BF=BC-CF=9.

21.为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价

格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同.

(1)绳子和实心球的单价各是多少元？

(2)如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买

多少条？

【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元

(2)绳子最多能购买30条

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关

键.

(1)设绳子的单价是x元，则实心球的单价是(x+23)元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心

球的数量相同”列分式方程求解即可；

(2)设绳子能购买。条，则实心球能购买人条，根据“购买的总费用不超过510元”列一元一次不等式

3

求解即可.

【小问1详解】

解：设绳子的单价是x元，则实心球的单价是(x+23)元，

解得：x=7,

经检验，1=7是原分式方程的解，

.•.x+23=7+23=3O(元)，

答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元

【小问2详解】

解：设绳子能购买。条，则实心球能购买人条，

3

贝I]7a+30*/510,

3

解得：a<30,

〃是正整数，

•••绳子最多能购买30条.

22.在VABC中，点O是AC的中点，CE/AS于点E,BD与CE交于点0,S.BE=CD.

A

A

(1)如图1,当点石为A5的中点时，

①求证：VABC是等边三角形；

;

3ABC

(2)如图2,判断N3OC与—ABD的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)①见解析；②L

3

(2)ZBDC=3ZABD,理由见解析

【解析】

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定

和性质，三角形外角的性质等知识，掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键.

(1)①根据线段中点得到AC=A6,根据垂直平分线的性质，得到=即可证明结论；

②连接A0并延长交5c于点E，根据等边三角形的性质，得到ZCBD=30°,OA=OB,

SOBCOF

进而得到。1=08=20-，推出AF=3O产，再根据=求解即可；

SABCAF

(2)连接DE,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到。石=AD=CD,根据等边对等对等角和

三角形外角的性质得到/=ZA=ZAED=2ZABD,再利用三角形外角的性质求解即可.

【小问1详解】

解：①：点。是AC的中点，点E为AB的中点，

：.AC=2CD,AB=2BE,

BE=CD,

AC=AB,

CELA5,点E为A3的中点，

.•.C£是AB的垂直平分线，

AC=BC,

AC=BC=AB,

ABC是等边三角形；

②如图，连接A0并延长交3c于点厂,

由①可知，VA3C是等边三角形，

1•点。是AC的中点，点E为AB的中点，CEJ.AB,

：.AFLBC,ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,OA^OB,

2

在/中，OB=2OF,

:.OA=2OF,

:.AF^3OF,

。一BC•OF八u

.SOBC=2="=L1

SABC-BCAFAF3

2

故答案为：-

3

【小问2详解】

解：ZBDC=3ZABD,理由如下：

如图，连接。E,

CE1AB,

:.ZAEC=90°,

,点。是AC的中点，

:.DE=-AC=AD=CD,

2

BE=CD,

/.BE=DE，

..ZABD=ZBDE,

:.ZAED=ZABD+ZBDE=2ZABD,

DE=AD，

:.ZA=ZAED^2ZABD,

ZBDC=ZA+ZABD=3ZABD,

即NBr>C=3NABD.

23.【初步探究】

（1）如图1,在等边三角形ABC中，点M，N分别为边A3,AC上的动点（不与端点重合），

AN=BM.将线段M4绕点M顺时针旋转一定角度得到线段MD,当时，

®ZAMD=；

②若AC=6,AN=2,求5D的长；

⑵如图2,在VA3C中，CA=CB,NC43=90°,点Af,N分别为边AB，AC上的动点（不与

端点限合），AN=BM.过点A作AELMN于点E，交BC于点F，将也4绕点“逆时针旋转90。得

到MD,连接。.请判断四边形AEBD的形状，并说明理由：

【拓展应用】

（3）如图3,在RtAAB。中，ZADB=90°,ZA=30°,AB=5①，点E为边AD上的点，连接

BE,将BE绕点8顺时针旋转60°得到班连接。e，求V3Z加周长的最小值.

四边形AEBD是平行四边形，理由见解析；（3）迪+城

【答案】（1）①120。；②26；（2）

22

【解析】

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含

30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关键.

(1)①由等边三角形的性质得到NA=60°,再由平行线的性质可得答案；②由等边三角形的性质得到

ZA=60°,AB=AC=6,由平行线的性质得到==,求出

AM=AB-BM=4,则由旋转的性质可得AM=MD=4；过点B作于",贝U

ZHBM=30°,HM=-BM=1,则—HAf=3,由勾股定理得

2

BH=^BM2-HM2=V3>由勾股定理BD=1BH?+DH?=；

(2)求出NC=/ABC=45。，ZACF+ZBAF=90°,可证明N/WM=NB4F；由旋转的性质可得

AM=DM,/AMD=90°,证明ANM^MBD(SAS),得到=贝U

ZMBD=ZBAF,AF//BD，再由NBA。=NABF=45°,得到则四边形AEBD是平

行四边形；

(3)取AB的中点G,连接EG,可求出3。=上42,ZABD=60°>由旋转的性质可得

2

BE=BF,NEBF=60。,再证明.EBG^_FBD(SAS),得到VBDF的周长等于/£BG的周长；作

点8关于直线AO的对称点H,连接即，GH,DG,则HE=BE,DH=BD=^；可得到EBG

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的周长M5E+EG+BGM//E+EG+士叵，则当