平面与平面垂直的判定与性质-2026高考数学一轮复习（提高版）解析版

第37讲平面与平面垂直的判定与性质

链教材夯基固本

激活思维

1.（人A必二Pl62T2改）已知平面a,£和直线加，I,则下列命题正确的是（D）

A.若a^P=m,l.Lm,则/

B.若lua,l±m,则/J_£

C.若al%Zca,贝！|l邛

D.若a_L/,aC0=m,/ca,l±m,则/J_//

【解析】若a_L£,aC\f）=m,/_!_〃?，则/u£或/〃/或/与尸相交，A错误；若aC£=%，

lea,l±m,则/与£相交但不一定垂直，B错误；若a，.，/ua,则/u£或/〃£或/与/

相交，C错误；若a，£,a^p=m,lea,l_Lm,贝U由面面垂直的性质定理可知D正

确.

2.（人A必二P158例8改）如图，是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于

A,2的一点，。为下底面圆周上一点，且4D垂直于圆柱的底面，则必有（B）

C

（第2题）

A.平面/8C_L平面3CO

B.平面BCD_L平面NCD

C.平面平面/CD

D.平面BCDJ_平面48。

【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，所以/CJ_8C,又垂直于圆柱的底面，

所以N£>_LBC.因为AC,NOu平面/CO,所以8C_L平面/CD因为BCu平面

BCD,所以平面8co，平面/CD.

3.（2022・全国乙卷）在正方体/5。-/C©。1中，£,产分别为48,8。的中点，则（A）

A.平面3iEF_L平面BZMi

B.平面S£FJ_平面4Ao

C.平面SEP〃平面出/C

D.平面BLEF〃平面4cLD

【解析】如图，对于A,在正方体N8Cr）-43CiDi中，因为E,k分别为8c的

中点，所以EF〃NC,则有£F_L3D又BB」EF,从而£F_L平面BDD\.又因为EFu平面BiEF,

所以平面3i£F_L平面BADi,故A正确.对于B,因为平面小8。。平面3D。=3。，显然

不垂直于平面BbEF,所以平面3i£F_L平面NiBD不成立，故B错误.对于C,由题意

知直线441与直线必相交，故平面31E尸与平面4/C有公共点，从而C错误.对于D,

连接NC,ABltBiC,易知平面A8C〃平面/C1D又因为平面NSC与平面HE尸有公共点

Bi,所以平面451c与平面SE尸不平行，则平面小。1。与平面SE尸不平行，故D错误.

AEB

（第3题答）

4.如图，在三棱锥V-4BC中,AB=2也,VA=VB,CA=CB,VC=1,MAVLBV,AC±BC,

a

则二面角V-AB-C的余弦值是=.

-4-

(第4题)

【解析】取的中点。，连接NO,OC,如图所示.因为以=",。为48的中点,

贝1|阳_148,且/人LB%,AB=20所以入。二：台二也.因为C/=C5,O为的中点，

2

可得。CL48.又因为/CL8C,所以。。=/，则二面角厂/2-C的平面角为/FOC,由余

弦定理得cosNFOC=丝2±。三^e=3,因此二面角兀4B-C的余弦值为3

(第4题答)

聚焦知识

1.二面角

(1)从一条直线出发的一两个半平面一所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点

为端点，在两个半平面内分别作一垂直于棱_的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的

平面角.

(2)二面角的平面角a的范围：-0,田；平面与平面的夹角的取值范围:

2.平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂

直.

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:

文字语言符号语言

如果一个平面过

判定另一个平面的垂l.La,1

定理线，那么这两个平IS

面垂直

两个平面垂直，如

果一个平面内有a工'

性质一直线垂直于这aG夕=4,

定理两个平面的交线，/La,

那么这条直线与/u£

另一个平面垂直

研题型素养养成

举题固法

目帧u面面垂直的判定定理与性质定理的应用

例1-1(2023•全国乙卷理节选)如图，在三棱锥P/2C中，ABLBC,4B=2,3c=2也，

PB=PC=\{6,BP,AP,8c的中点分别为D,E,O,4D=-\f5DO,点F在4c上,BFLAO.

P

(1)求证：M〃平面/D。；

【解答】如图，在中，因为3尸，/。，且。为中点，AB=2,3c=2也，

BO=y/2,所以RtZ\8/0sRt43C4设89C/O=Q,贝URtZXQBOsRt/yg/。，所以

=/BAO=/BCA,所以.又//BC=90。，故尸为/C中点.又E为4P中点，所以

跖〃PC因为PC〃D。，所以E尸〃。。.又EPZ平面4DO,DOu平面4DO,所以斯〃平面

ADO.

O

B\C

—

A

（例1-1答）

（2）求证：平面4D0_L平面AEK

【解答】由⑴知，/O=#.又。为AP中点，所以OD=lpC=«.又40=市。。=画,

222

在△/。。中，AD2=5DO2=DO2+AO2,即//。£>=90。，所以/O_L£>O.又。。〃尸C〃£尸，

所以NO_LEF.又BF_L/。，BFClEF=F,BF,EFu平面BE产，所以/。_1_平面AE产.又/Ou

平面NOO,所以平面/£>O_L平面3£F.

例1-2（2024•深圳一调节选）如图，在四棱锥P4BCD中，四边形4BCD是菱形，平面

4BCD_L平面刃。，点M在。尸上，SLDM=2MP,AD=AP,乙以。=120。.求证：50，平

面/CM.

（例1-2）

【解答】不妨设4D=4P=3,因为/FID=120。，DM=2MP,所以£>p=3贴，DM=

2®PM=0由余弦定理得AM=NAP2+MP?—2AP•MPcos30。=m.在中,AD2

+AM2=DA^2,所以M4_L/D因为平面48cz）J_平面BID,平面48cDD平面目4。=40,

M4u平面/MD,所以M4平面48CD因为BDu平面/BCD,所以M4_L8D因为四边形/BCD

是菱形，所以/C_L3D又因为NCCM4=4且/Cu平面/CM,M4u平面/CM,所以ADJ_

平面ACM.

<总结提炼A

（1）判定面面垂直的方法：

①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.

（2）面面垂直性质的应用：

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的

直线

②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

变式1（2024•黄山一检节选）如图，在四棱锥N-8CDE中，/8=8C=/C=CD=28£=

2,BE//CD,ZBCD=~,平面/8C_L平面8cD£,尸为8c的中点.求证：平面/EC_L平

2

面/F。.

D

E

A

（变式1）

【解答】因为b为3c的中点，所以FC=1.又CD=2BE=2,ZBCD=~,BE//CD,

2

所以NE3C=匹，BE=1,所以△E8C之△FC。，可得NECB=NFDC.易知NDFC+NFDC

2

=-,所以，即。凡LEC由4s=3C=/C,尸为8C的中点，可得/足LBC.

22

又平面48C_L平面3CDE,平面/BCC平面BCDEuBC,4Fu平面48C,所以/P_L平面

BCDE.又ECu平面BCDE,所以4F_LEC.又/斤A£>P=尸，AF,DFu平面AFD,所以ECJ_

平面AF。，因为ECu平面4EC,所以平面/EC_L平面/FD

目帧用综合法计算二面角

视角1定义法

例2-1（2025・连云港期中）在四面体/BCD中，△48C是正三角形，△/CD是等腰直

角三角形，DA=DC,平面NCD，平面/8C,点E在棱8。上，使得四面体NC£）E与四面

体48CD的体积之比为1:2,则二面角D-AC-E的余弦值为=.

一2一

【解析】设八4=。。=2,则/8=BC=/C=2/，取NC中点尸，所以8尸=4Ssin60。

=水,=1/。=也.因为连丝^=1,所以E为AD中点.因为平面/CD_L平面NBC,AD

2VB-ACD2

=CD,AB=BC,所以_L4C,BFLAC,所以4C_L平面5。9，所以59J_Q歹，所以

=2也,DE=啦,£尸=也,/C_LEF.又因为。尸_L/C,所以二面角D-AC-E的平面角为/DFE,

力"2_|-斤斤2一力斤21

所以cosNDFE=---------------------=-.（或由此时△DEF为正角形，知NDFE=60°,所以cos

2DFXEF2

NDFE=?

（例2-1答）

视角2三垂线法

例2-2如图，在三棱柱/2C-43C1中，侧面NAB/1为正方形，侧面//CC为菱形,

ZCAAi=60°,平面44cle，平面14.

(1)求证：NG_L平面C4i5i；

【解答】由菱形441cle可得NCC,因为平面441cle，平面/A814,平面

441cleA平面/ABMi=441,又正方形482Ml中/所以/出J_平面44CC又

4Ciu平面441cle所以“向L4G,因为月13rl4c=/i,/i3,4Cu平面C48i,所以NGJ_

平面CA\B\.

(2)求二面角C-BBi-A的余弦值.

【解答】如图，过点。作S，44i于点〃，则CH■，平面过X作AKLBBi于

点K,连接CK.因为821U平面ABBiAi,则CHLBBi又CH,川u平面CHK,CHC\HK=H,

故38i_L平面C”.又CKu平面以公，所以B8i_LCK,故NCK〃为二面角C-881-N的平面

角.在Rt^C胸中，设AC=a,贝1441=48=。，/QL4i=60。，所以S=",HK=AB

2

=a,CK=\jCH2+HK2=率,所以cos/CK8=W=T，即二面角。力马-/的余弦值为

2

2V7

7

（例2-2答）

〈总结提炼A

结合三垂线定理计算二面角的方法：已知二面角a-c/,如图，在平面a内找一合适的点

/,作NO_L£于点。，过/作/8J_c(c是公共棱)于点8,则8。为斜线在平面力内的射影，

ZABO为二面角a-c-0的平面角.

视角3投影法

例2-3已知直角三角形/8C的斜边在平面a内，两条直角边分别与平面a成30。和45。

角，则这个直角三角形所在的平面与平面a所成的锐二面角的余弦值为之

【解析】过点C作CD，平面a,垂足为。，连接40,3D因为4D,BD,/Bu平面a,

贝UCDJ_/D,CDLBD,。。_1/8.设8=/!（〃>0）,不妨设NC,3C分别与平面a成30。和45。

角，则3C=/“，AC=2h,AD=®,九过C作CE_L/B,垂足为E,连接助，因为

CDLAB,CECCD=C,CE,CDu平面CDE,则4B_L平面CDE,又DEu平面CDE,所以

DELAB,即所求二面角的平面角为/CED由SA/BC=1/3CE=1/C2C,则CE"^,DE

223

=弋。川一5=乌,所以cosNC£D=@=1,故所求锐二面角的余弦值为L

3CE22

随堂内化

1.（2025•佛山禅城一调）（多选）已知直线a,6与平面a,/?,y,能使0!_1_.成立的充分条件

是（BD）

A.a_Ly,§]丫

B.a//y,/3-Ly

C.aC£=6,aLb,aua

D.a//b,b邛,aua

【解析】对于A,a.Ly,P^y,a,产也可能平行，故错误；对于B,若a〃y,£_Ly,则

a邛,故正确；对于C,aC0=b,a±b,aua,由线面垂直的判定定理可知。不一定垂直

于从故a,6也不一定垂直，故错误；对于D,由。〃6,b±P，可得。_1_或，再由aua,可

证a_L',故正确.

2.（2024•聊城二模X多选）己知四棱锥P48CD的底面是正方形，则下列关系能

同时成立的是（BC）

A.“AB=PB”与"PB=BD”

B.uPAA.PCn与“PBLPD”

C.aPBLCDn与“PCLAB”

D.“平面平面尸2。”与“平面PCDJ_平面尸2。”

【解析】对于A,由底面48CD是正方形，则所以当时，PB=BD

不成立，故A错误；对于B,如图，设底面正方形中心为。，则尸在以。为球心，以。/

为半径的球面上时可符合题意，故B正确；对于C,当平面P3C_L底面/BCD时，由面面

垂直的性质可知48,平面P8C,CD,平面网C,显然符合题意，故C正确；对于D,由

于两相交平面同时垂直于第三个平面时交线垂直于第三个平面，若“平面为3,平面P3D”

与“平面尸CD_L平面P5D”同时成立，易知P©平面a5rl平面PCD,可设平面为3C平

面尸CD=/,则PG/,贝i]/_L平面依。，易知AB〃CD,48Z平面尸CD,CDu平面尸CD,所

以48〃平面尸CD,又48u平面243,贝|/〃48,则有48_1_平面尸AD,显然48工3。不成

立，故D错误.

（第2题答）

3.如图，在三棱锥S-ABC中，"，底面/2C,ABLBC,垂直平分SC且分别交/C,

SC于点。，E.又SA=AB,SB=BC,则二面角E-3D-C的大小为②二.

S

晨\阳…、＞c

B

（第3题）

【解析】因为SB=8C,且£是SC的中点，所以5E是等腰三角形SBC底边SC的中

线，所以SC_L3E又SC_LDE,BECDE=E,BE,DEu平面ADE,所以SC_L平面ADE,所

以SC_L8D又S/_L平面/8C,BOu平面N3C,所以融_L8。，又SCCS/=S,SC,Mu平

面SNC,所以8D_L平面SNC.因为平面SNCC平面以乃=。£,平面SNCfl平面3OC=DC,

所以ADLOE,BD±DC,所以NEDC是所求二面角的平面角.因为£4_L底面/2C,所以

SA±AB,S4_L4C设£4=2,因为ZB_LBC,所以/。=23，N/CS=30。.又DE_LSC,所以

NEOC=60。.即二面角E-BD-C的大小为60°.

4.如图，已知是圆柱下底面圆的直径且48=6,点C是下底面圆周上异于4,B

的点，BC=3,CD,是圆柱的两条母线且母线长为23，则平面与平面48C夹角

的余弦值为一皿二

（第4题）

【解析】如图，过点N作圆柱的母线NM,连接。M,EM.因为平面4BC〃平面。Affi,

所以即求平面与平面。儿化所成锐二面角的大小.因为M,£在底面的射影为4,B,

且N3为下底面圆的直径，所以为上底面圆的直径.因为//是圆柱的母线，所以

平面。儿ZE,又因为为上底面圆的直径，所以〃O_LDE,又

AMHMD=M,AM,平面4DM,所以。£_1_平面40跖所以DE_L4D,而平面

4DEC平面DME=DE,所以/ML%为平面4DE与平面所成的二面角的平面角.又

因为。在底面射影为C,所以。E=BC=3,ME=AB=6,所以〃。=弋‘公币=3\5.因为

AM1MD,所以/。=/晶二丽2=岳，所以cos/〃。/=幽=莘=笠叵，即平面力。£

ADV3913

与平面45。夹角的余弦值为汕.

13

D

（第4题答）

「国馨提示,

\________________________________:_____________________________________/

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配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2024•宁波二模）已知三个不重合的平面a,B，y,若aC0=l,则“"是"小且

的（C）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分又不必要条件

【解析】由于an夕=/,所以/ua,/u£.若/_Ly,则0（_1＞，故充分性成立.若

a_Ly,/3±y,设则存在直线auy,使得a_L机，所以a_La.由于/ua,

故adJ.同理存在直线6uy,使得所以由于/u£,故6，/.由于a,6不平行，

所以。，6是平面y内两条相交直线，所以/，力故必要性成立.

2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在

如图所示的“堑堵"中，/C=C3=CCi,则二面角Ci-48-C的正切值为（D）

B

(第2题)

A.1B.2

C.-D.也

2

【解析】由NC=C8知如图，取的中点连接GM,CM,由条件可知

NGMC即为二面角G-/2-C的平面角.设/C=C5=CG=a,则。0=以0,所以tanZCiMC

2

CC1=也

CM

(第2题答)

3.(2024•娄底一模)已知四棱锥尸-48CD,平面平面/BCD,四边形/BCD是正方

形，£为尸C中点，贝1J(C)

A.3£〃平面PAD

B.尸4_L平面ABCD

C.平面以3_1平面RID

D.DE=EB

【解析】对于A,易知〃平面P1D,因为BECBC=B,且两条直线都在平面P3C

内，所以3E不可能平行于平面E4D,故A错误.对于B,因为平面R1D_L平面4BCD,平

面平面/8CO=/。，若尸。，平面48C£>,则尸。_L/。，由题设条件知不一定成立，

故B错误.对于C,因为四边形ABCD是正方形，所以A8L4D.由以上分析知平面PAD.

又4Su平面为3,所以平面以8,平面PW,故C正确.对于D,没有任何条件可以证明

DE=EB,故D错误.

P

(第3题答)

4.(2024・淮安、连云港期末)图(1)是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个

正六边形互相紧挨在一起构成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三

个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图(2)

是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正

方形面上扣上一个正四棱锥，如图(3),若平面ABCD与平面ATBS的夹角为45。,则cosZASB

=(C)

图⑴

图⑵

图（3）

（第4题）

【解析】如图，连接NC,3。相交于点。，连接SO,则S。，平面/BCn,取AB的

中点£,连接SE,OE.因为£4=S8,OA=OB,所以S£J_A8,OELAB,所以NS£。即为

平面48CD与平面/7BS的夹角，即NSEO=45。.设NE=a,则OE=OS=a,所以济二。"

+OE2=2a2,SA2=SB2=SE2+BE2=3a2.在ASAB中，由余弦定理得cosZASB=

5序+&42—/82=3。2+3。24。2=i

2SBXSA2X3a23

二、多项选择题

5.（2024•苏锡常镇二调）设加，〃是两条不同的直线，ct,£是两个不重合的平面，下列说

法正确的有（BCD）

A.若加_L〃，tnua,〃u£,贝!JaJ_/

B.若比J_a,7“〃H，n//P，则a，/

C.若a"0,mea,则加_L〃

D.若〃?J_a,"J_£,m.Ln,贝！］a_l_£

【解析】对于A,若加_L〃，tnua,nu°,不能推出"z_L£或"J_a,则不能推出a_L£,

故A错误；对于B,若7〃J_a,m//n,则〃J_a,又“〃所以a_l_£,故B正确；对于C,

若a〃£,则〃_La,又〃?ua,所以故C正确；对于D,若"?_La,mA^n,

说明与a和£垂直的法向量互相垂直，贝iJaL?,故D正确.

6.（2024•吕梁二模）如图，在平行六面体中，底面/BCD是正方形，O

为4cl与SA的交点，则下列条件中能成为'7G=4C”的必要条件有（ACD）

（第6题）

A.四边形/CG4是矩形

B.平面平面/CG4

c.平面3nr）i3i_L平面48a）

D.直线ON,8c所成的角与直线。C,N8所成的角相等

【解析】要成为的必要条件，则该条件可由推出.对于A,

因为在平行六面体N3Q>43cL01中，AAi/ZCCr,AAi=CCt,所以四边形NCC遇i为平行

四边形.又/Ci=/iC,所以四边形NCG/1为矩形，故A正确.对于B,假设平面

平面NCG4,由选项A可知四边形/CG4为矩形，则/C_L44i.又平面488/m平面/CG4

=44i,NCu平面ZCCM1,所以ZCL平面/A814.因为NBu平面/ABM,所以

与四边形48CD为正方形矛盾，故B错误.对于C,因为四边形A8CD是正方形，所以

因为/C_L44i,AAM/BBi,所以NCJ_58i,又BBGBD=B,BBi,5Du平面BDEhS,所

以/C_L平面.又/Cu平面/BCD,所以平面BOD/」平面48cD,故C正确.对

于D,因为四边形/CG/1为矩形，。为4cl的中点，易得O/=OC,又正方形/BCD中，

AD=CD,。。是公共边，所以△O4D2△OCD,则NOAD=/0CD又BC〃4D,AB//CD,

所以/。40,/。。分别为直线。48C所成的角与直线。C,48所成的角（或其补角），

则直线ON,3C所成的角与直线OC,48所成的角相等，故D正确.

7.（2024•衡阳二联）在正四棱柱/2C0-/121C1A中，AB=BC=2,44i=4,P是棱CG

的中点，贝U（AC）

A.直线3P与Bid所成的角为60。

B.直线3尸与4D所成的角为90°

c.平面/12山_1_平面4ap

D.直线/由与平面8。〃山1所成角的正弦值为?

【解析】如图所示，对于A,因为所以NDAP为直线3P与SDi所成的

角或其补角，易知BP=BD=DP=2亚,即△D3P为等边三角形，所以/。39=60。，故A

正确；对于B,因为/LD〃3C,所以NBEC为直线8尸与4。所成的角或其补角，若NBEC

=90°,则△32ICSZ\PC3,贝而尸C=BC=2,351=4不满足上式，故B错误.对

BBiBC

于C,易知BP=2/=BiP,55i=4,满足SP+B尸2=3由2,所以BP_L3iP.又8P_L〃8i,

可得82_1平面/山iP,又BPu平面ABP,所以平面小氏尸，平面/AP,故

C正确.对于D,连接/Ci,BiDi交于点、F,由正方形性质可得出尸，3。1,由直棱柱性质

可知33」平面431clz)1,又4尸u平面431clzh,所以BB」AF又BBiCBQi=Bi,可得

小尸，平面3DD13,所以/4AF为直线/山与平面30D/1所成的角.因为小尸=也，A}B

=2邓,所以sin/4BF=R=巫,故D错误.

2y510

三、填空题

8.如图，在三棱锥S-N3C中，ASBC,△N8C都是等边三角形，且5C=2,

则二面角S-BC-A的大小为一60。_.

【解析】如图，取BC的中点D,连接SD因为△/BC,△SBC都是等边三角形，

所以SB=SC,AB=AC,因此有N£>_LBC,SDLBC,所以N/DS为平面SBC与平面NBC

所成的二面角的平面角.因为BC=2,所以SDu'/sB2二寿=也二1=\[3,AD=\IAm二

=<4-1=3,而SA=3,所以△SZ)/是正三角形，所以N4DS=60。，即二面角S-8C-N

的大小为60°.

S

(第8题答)

四、解答题

9,在四棱锥E-48CD中，ED_L平面E3C,AD=ED,底面48。中，AD//BC,ZBAD

=/C5/=90°,AB=BC=2AD.

(1)若点尸在线段2C上，试确定下的位置，使平面。£尸，平面4BCZ),并给出证明；

【解答】当点尸是8c的中点时，平面。平面4SCD证明如下：由尸是8C的中

点，得2斤=夕。，又AD〃BC,BC=2AD,所以4D〃26AD=BF,则四边形4D尸3是平

行四边形.又/BAD=/CBA=90°,得四边形/。尸B是矩形，故8C_L。E因为平面

EBC,3Cu平面E2C,所以3C_LED因为。尸0即=。，。尸u平面尸，EDu平面尸，

于是BC_L平面。EF,由于BCu平面48CD,因此平面。EF_L平面4BCD

(2)根据⑴的条件，若EF=S，求四棱锥E-18CD的体积.

【解答】因为平面。EF_L平面N2C。，平面DEFH平面下，所以过点E作

£。_1。/于点。，则£OJ_平面N3CD,£。的长就是四棱锥E-/8CO的高，如图所示.因为

ED_L平面E2C,所以助_L即，在中，EF=0DF=AB=2AD=2ED,由勾股

定理，得由+£7)2=。尸2,所以3+EZ)2=4£Z)2,解得ED=1,则。尸=2.根据EODF=EDEF,

得£0=也.根据48=。尸=2,以及BC=AB=2,AD^-AB=\,NBAD=/CB4=90°,得

22

四边形/BCD的面积为SABCD=^(AD+BC)-AB=^X(1+2)X2=3,因此四棱锥E-ABCD的

体积VE-ABCD=-SABCDX£O=-X3X

3322

(第9题答)

10.(2025•锦州期中)如图，三棱柱4BC-4SC1中,侧面BBCC_L底面48C,且48=

AC,A\B=AiC.

(第10题)

(1)求证：441，平面/8C；

【解答】如图(1),取2C的中点M，连接M4,"4.因为AB=/C,AlB=AlC,所以

BCA.AM,BCLAiM,由于4W,平面且因此8cLL平面4M4.

因为44iu平面4M4,所以3C_L44i.又因为44i〃ABi,所以ABi_LBC.因为平面ABiGC_L

平面N3C,平面881clec平面/8C=BC,且3Su平面A8CC,所以28」平面A8C因

为AAi〃BBi,所以44i_L平面NBC

(2)若44i=3C=2,/A4c=90。，求平面N/C与平面43cl夹角的余弦值.

【解答】如图(2),将直三棱柱/8C-481cl补成长方体/ADC-/iSDCi.连接C0,过

点C作CPLCyD,垂足为P,再过P作PQLAyB,垂足为Q,连接C0.因为平面CDDyCx,

且CPu平面CDDCi,所以3£>_LCP.又CP_LG。，BD,CYDu平面//。口，且50。。。=

所以CPL平面NiADCi,则△CPQ为直角三角形.由于42U平面NiADCi,所以

因为CP,尸。u平