上海市青浦高级中学2023-2024学年高三下学期5月质量检测数学试卷（解析版）

上海市青浦高级中学2023学年第二学期5月质量检测高三数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题1.若集合，则实数______.【答案】2【解析】【详解】集合，.故答案为：.2.函数最小正周期为________．【答案】##【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数的最小正周期.【详解】因为的最小正周期为，所以的最小正周期为．故答案为：.3.i为虚数单位，则___________．【答案】##【解析】【详解】因为，所以，故答案为：.4.已知的展开式中项的系数为，则______．【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：由题意得，解得，故答案为：5.等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得.【详解】依题意，，或，则，或，所以首项的取值范围为.故答案为：6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．【答案】.【解析】【详解】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.7.若直线与曲线相切，则实数的值为___________.【答案】【解析】【分析】求出原函数的导函数，利用导函数值为求解切点坐标，再把切点坐标代入切线方程即可求解值．【详解】由，得，直线与曲线相切，，解得，则，可得切点为，代入，得．故答案为：8.已知为双曲线的两个焦点，P为C虚轴的一个端点，，则C的渐近线方程为___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得出为等腰三角形，结合求出，即可求得答案.【详解】由题意知，而，结合双曲线的对称性可知为等腰三角形，则，故，结合可得，故C的渐近线方程为，故答案为：9.某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________．【答案】1200【解析】【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求解即可.【详解】因为总体密度函数为：，则，由得,所以超过100分人数大约为：人，故答案为：1200.10.已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为___________．【答案】【解析】【分析】由圆的方程化简，确定的坐标，由此确定直线的方程.【详解】方程，可化为，所以点为直线与圆的交点，所以若点的坐标为，则点的坐标为，所以直线的方程为，故答案为：.11.已知正四面体的边长为是空间一点，若，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】先求出正四面体的内切球半径和外接球半径，再利用向量的线性运算进行转化，从而可求得结论.【详解】设是正四面体内切球的球心，正四面体的内切球半径为，外接球半径为，如图,将正四面体置于正方体中,正四面体外接球即为正方体的外接球,正方体的体对角线为球的直径,因为正四面体的边长为1,所以正方体的棱长为,正方体对角线长为,故.正四面体的体积从而正四面体的高满足:.将正四面体分割成以球心为顶点,以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥,它们的底面与正四面体的底面相同,高为内切球的半径,故.而外接球可以利用,，解得.故正四面体的内切球半径为，正四面体的外接球半径为，则又因为，所以，故，即，所以是正四面体内切球上一点，故的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：找出正四面体的内切球半径和外接球半径是关键，用向量法转换为是难点，本题主要考查多面体的内切球和外切球的问题，考查空间想象能力，属于较难题.12.已知是实数，满足，当取得最大值时，_________．【答案】5【解析】【分析】根据等式特征可知，再由不等式及其等号成立条件可得结果.【详解】由可得，又，，即；当且仅当时，即或，等号成立；此时.故答案为：5【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用条件等式得出平方关系式，得出，由等号成立的条件即可得出结论.二、选择题13.已知函数为偶函数，若，则a不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数性质，列关系式确定的关系，由此确定的范围即可.【详解】因为为偶函数，所以恒成立，即恒成立，所以，所以，所以，又，所以，因为，所以，故选：D14.回归直线方程的系数a，b的最小二乘法估计使函数最小，Q函数指（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由表示随机误差的平方和得出答案.【详解】是指所求回归直线方程在各点的值与真实值的误差的平方和，即.故选：A15.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（

）A. B.C.四边形的周长为 D.四边形的面积为【答案】D【解析】【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断ACD.【详解】对于B：如图过作交于点，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B错误；对于A：还原平面图如下图，则，故A错误；对于C：过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即C错误；对于D：四边形的面积为：，即D正确.故选：D16.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记．下列命题中正确的是（）A.已知，且，则B.已知，若，则对任意，都有C.已知则存在实数a，使得D.已知，则对任意的实数a，总存在实数b，使得【答案】D【解析】【分析】根据函数新定义，对于A，就分类讨论即得；对于B，利用具体函数验证法排除；对于C，运用反证法思路，结合二次函数图象排除；对于D，对于存在性命题，只需列举一种情况说明正确即得.【详解】对于A，，当时，，故得；当时，，故得，即，故A错误；对于B，取，则，满足，，但对于任意，不能保证恒成立，故B错误；对于C，假设存在实数，使得，若，则，矛盾；若，即时，，矛盾；若，则，矛盾；若，则，矛盾,若，则，矛盾.故C错误；对于D，对任意的实数，只要满足是的子集，就有,于是，,故D正确.故选：D.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数新定义的应用，属于难题.对于函数新定义选择题型，必须准确把握定义要求，根据信息利用具体函数排除法，反证法，分类讨论法以及数形结合法一一判断选项即可.三、解答题17.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的单调性，通过整体代入求解可得；（2）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式展开后因式分解可解.【小问1详解】由题意得，，由，解得：，所以单调递增区间为；【小问2详解】由正弦定理边化角得，因为在中，，则，所以，即，所以当时，；当，即时，．因，所以．18.如图,在直三棱柱中,,异面直线与所成的角为60°.（1）求该三棱柱的体积;（2）设D是的中点,求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)以A点为原点,为轴正方向,建立空间直角坐标系，设，利用异面直线与所成的角为60°求得h，即得该三棱柱的体积；(2)利用向量法求与平面所成角的正弦值.【小问1详解】如图,以A点为原点,为轴正方向,建立空间直角坐标系.设,则B(1,0,0),C(0,1,0),,则,.因为直线与所成的角为60°,所以|cos<,解得h=1.于是该三棱柱的体积为.【小问2详解】由(1)知,,.设平面的法向量,则可取.又因为，设与平面所成角为，于是,所以与平面所成角的正弦值为.19.中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站，在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）：下车站

卡拉旺站帕达拉姆站德卡鲁尔站总计哈利姆站5201540卡拉旺站

102030帕达拉姆站

1030总计53065100用频率代替概率，根据上表解决下列问题：（1）在营运期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）已知A地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，A地居民到哈利姆站乘车的概率为0.4，到卡拉旺站乘车的概率为0.6（A地居民不可能在卡拉旺站下车）在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自A地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自A地的概率的比值．【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为X，确定，根据二项分布的相关公式，即可求得答案；（2）根据条件概率公式求出从哈利姆站上车的乘客来自A地的概率和从卡拉旺站上车的乘客来自A地的概率，相比即可得答案.【小问1详解】从卡拉旺站上车，到德卡鲁尔站下车的概率，所以，根据频率估计概率，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为X，则，，X0123P；【小问2详解】设事件M：乘客来自A地，事件：从哈利姆站乘车；案件：从卡拉旺站乘车，则，，所以．20.已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，直线与交于点.①求直线方程；②记的面积分别为，求的最大值.【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）易知当点为短轴端点时，面积取最大值，又易知即可求得椭圆方程；（2）①利用垂直关系分别写出直线和的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程为；②将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合①中直线的方程可得，，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值.【小问1详解】由题意可知，且面积的最大值为所以.即椭圆的方程为.【小问2详解】如下图所示：①设，由题意知直线的斜率一定存在，即，代入直线的点斜式方程可得直线的方程为.因为直线与直线垂直，而，且；所以可得，即直线的方程为.又因为在椭圆上可得，联立可得，，即，即直线与的交点的横坐标为；同理可得，可得；即直线与的交点的横坐标为.所以直线的方程为.②设直线，与椭圆联立可得.所以.同理可得.由可得.同理可得.所以易知，所以；当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可.21.已知函数其中λ为实数.（1）若是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记，若为的两个驻点，当λ在区间上变化时，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可.（2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果.（3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入，写出表达式再求导即可.【小问1详解】易得定义域为，，当且仅当时，恒成立，是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当时，既不恒正，也不恒负，即不是定义域上的单调函