上海市实验学校2023-2024学年高三下学期四模数学试题 （解析版）

上实验2023学年第二学期高三年级数学四模2024.05一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知复数z满足，则______．【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算求出即可得解.【详解】依题意，，所以.故答案为：22.某同学高三以来成绩依次为110，93，92，93，88，86，则这组数据的第40百分位数为______．【答案】【解析】【分析】将数据从小到大排列，根据百分数的定义进行求解.【详解】将数据从小到大排列，，，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第40百分位数，即.故答案为：923.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得.详解】由，得，由，得，则，所以.故答案为：4.在的展开式中，系数为有理数的项共有___项．【答案】6【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，易知符合题意，即可求解.【详解】由题意知，展开式的通项公式为，当（）为整数时，的系数为有理数，所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个.故答案为：65.已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）【答案】垂【解析】【分析】使用数量积的分配律得到，，即，，进而得到点为的垂心.【详解】由，知，，故，，从而为的垂心.故答案为：垂.6.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．①；②至少有两个零点；③有最小值．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】举例二次函数，验证其满足题意即可.【详解】取，其对称轴为，满足①，令，解得或2，满足②至少有两个零点，，当，，满足③有最小值.故答案为：（答案不唯一）.7.设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为________．【答案】2【解析】【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为曲线过定点，所以，即，则，当且仅当时,即时取“”，所以的最小值为2．故答案为：28.圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】根据球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径来求解.【详解】球的半径是边长为2的等边三角形的内切圆半径，即半径为，所以球的表面积．故答案为：.9.已知焦点在x轴上的双曲线的离心率，则k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得，进而建立不等式组，解之即可求解.【详解】依题意知，，所以，则，有，解得，故k的取值范围为．故答案为：10.某班为了响应“学雷锋”活动，将指定6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，6名学生中甲、乙两人关系最好，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的概率为__________.【答案】【解析】【分析】首先分三种情况讨论求出所有的安排方法数，再求出满足条件的安排方法，最后由古典概型的概率公式计算可得.【详解】将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则有①：两个办公室安排人，另外一个办公室安排人，则有种安排方法；②三个办公室安排的人数为、、，则有种安排方法；③三个办公室均安排人，则有种安排方法；综上可得一共有种安排方法.其中甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的有种安排方法，所以恰好甲、乙（仅有两人）打扫同一个办公室的概率.故答案为：11.已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】分，，，几种情况，结合图象的变换知识可求的取值范围.【详解】当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点，当，过点，求导可得，，所以在处的切线方程为，此时的圆心到直线的距离，所以直线与圆只有一个公共点，此时与只有一个交点，当向左移动时，即时，与一定没有交点，当时，与一定有两个交点，故曲线与有两个交点时的取值范围为.故答案为：.12.已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当时，，当时，，若，则当时，，则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；若，则当时，，时，，要使函数有最小值，则，解得；综上，的取值范围是，①错误；当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，作图如下，因为无实根，所以或，②正确；当时，因为，所以函数在单调递减，又因为所以由可得，，即，解得，所以，所以不等式的解集为，③正确；函数在点处的切线斜率为，所以切线方程为，则由图象可知，时，，设，记直线与函数，，的交点的横坐标为，因为经过点，所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列，故.故选：D.14.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（）A.18 B. C. D.12【答案】C【解析】【分析】根据题意可得四边形的面积为，结合直观图与原图面积之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：，且，则，可知四边形的面积为，所以四边形的面积为.故选：C.15.下列各式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逐一求导验证可得结果.【详解】因为；；.故选：A16.已知数列满足（为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中（）A.①正确，②正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①错误，②错误【答案】A【解析】【分析】设出数列中的一项，然后分被3除余1，余2，余0三种情况进行讨论，借助给出的递推关系式进行推证即可判断①，结合递推关系式得到符合的形式，然后保证即可判断②．【详解】不妨设数列中的一项为，①若被3除余1，则由已知可得，若被3除余2，则由已知可得，若被3除余0，则由已知可得，所以对任意的，，则，所以对数列中的任一项，若，则，因为，所以，所以数列中必存在某一项（否则与上述结论矛盾），若，结论得证；若，则，，结论得证；若，则，得证；所以不论论取何值，总有；故①正确；②若是3的倍数，则，若被3除余1，则由已知可得，若被3除余2，则由已知可得，所以连续7项构成的等比数列的公比为，因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项）设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得，因为，所以或，由递推关系式可知，在该数列的前k-1项中，满足小于等于2022的项只有：或，或所以首项所有可能取值的集合为，故的所有可能取值有6个，故②正确．故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推关系式，考查学生的抽象思维能力，属于难度较大题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解.【小问1详解】平面平面是底面的一条直径,又平面平面所以平面是直线与平面所成角,因为,所以所以所以直线与平面所成角大小【小问2详解】过作,垂足为，由(1)得平面平面所以平面平面，又因平面平面,平面,,所以平面，根据等面积法,即到平面的距离等于.18.已知函数．（1）求函数的在上单调递减区间；（2）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间.（2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】依题意，，当时，，由，得，所以函数的在上的单调递减区间为.【小问2详解】当时，，又函数在区间上有且只有两个零点，即函数在只有两个零点，因此，解得，所以的取值范围为.19.第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．（1）求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1），，（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可；（2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，设第70百分位数为x，前两组所占频率为，前三组所占频率为，则x位于第三组数据中，所以，平均数；【小问2详解】由（1）知分数在，内的两组学生分别有人，所以各自抽取的人数分别为人，显然“特优选手”有4人，故X可取，，，所以其分布列为：X01234P.20.已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线l与椭圆E相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线OA，OB的斜率存在为，，直线l的斜率存在为k，若，求直线l的方程；（3）直线OA，OB与圆的另一个交点分别为C，D，求与的面积之和的取值范围．【答案】（1）（2）和（3）【解析】【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解之即得椭圆E的方程；（2）设直线l的斜截式方程，由直线l与圆O相切得到，再将直线与椭圆方程联立整理，写出韦达定理，结合，推导出即可求得直线l的方程；（3）利用（2）的结论，根据弦长公式求得表达式，利用得到与的面积之和的函数表达式，最后运用基本不等式即可求得范围.【小问1详解】由可得，又椭圆过点，则有，将两方程联立，解得，故椭圆E的方程为；【小问2详解】依题意，设，因直线与圆相切，故有:，整理得，，①由消去，整理得，，显然，设，则，则，于是，将①式代入得，，即恒成立，则，代入①式，可得，，故直线l的方程为；【小问3详解】当直线的斜率不存在时，，利用对称性，可取，代入椭圆方程得,此时与的面积之和；当直线的斜率存在为时，，仿上可得，，则，于是，与的面积之和为：,即.因，，当且仅当时等号成立，此时，又则,即.综上所述，与的面积之和的取值范围为.21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）求证：.【答案】（1）增区间为；减区间为（2）（3）证明