山东省日照神州某中学2024-2025学年高二年级下册期中模拟数学试卷（含答案解析）

山东省日照神州天立高级中学2024-2025学年高二下学期期中

模拟数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.记S"为等比数列｛见｝的前八项和，若的=3,52=|,则公比0=()

A.yB.!C.3D.2

23

2.已知函数了=/(x)的导函数了=/'(x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()

A./(1)>/(2)B./(X)在区间(-2,5)内有2个极值点

C./⑺在区间(3,4)上是增函数D.曲线了=/(无)在x=0处的切线的斜率大于

0

3.下列函数中，在区间(1,+8)上单调递减的是()

A.f[x)=4xB.f(x)=e-v

C./(x)=x+-D.f(x)=Inr

4.记数列｛%｝的前力项和为加若氏=(-1)"(2"-1),贝！|跖二()

A.301B.101C.-101D.-301

5.函数/(x)的图象如图所示,且/'(x)是/(X)的导函数，记。=〃4)-/(3),b=/(3),

c=/'(4),则()

试卷第1页，共4页

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

6.函数/(工)=/+办2+6X+Q2(Q]£R)在％=o处取得极大值9,贝I]Q+6=()

A.3B.-3C.-3或3D.0

7.若。=Ulnl.1,6=Le°=L,则()

101010

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

8.设函数/(尤)是定义在R上的奇函数，/(尤)为其导函数.当x>0时，^(x)-/(x)>0,

/⑴=0,则不等式/'(x)>0的解集为()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)B.(-co,-l)u(0,l)

C.(-l,0)U(0,l)D.(-l,0)u(l,+«))

二、多选题

9.下列函数的导数运算正确的是（）

A.⑺=e"+xe'

10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自

然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的

一个树形图.若记图2中第〃行白圈的个数为。“，其前〃项和为S"；黑圈的个数为“，其

前“项和为（，则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共4页

第1行

C.$2024=^2024一1D.S2024+4024=^2025

11.黎曼函数(Riemannfunction)在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：xw[0,l]时,

..Lx=K[p,qeN*,R为既约真分数](2"-2、

五(切=4式qJ,若数列氏=五亍0，〃eN*,贝I()

0,x=0,1和(0,1)内的无理数V-J

1

A-aB.a>a

n2"-1n+ln+2

C.S（2，a,«,i）=1-^J—1n7

+D-*J

三、填空题

12.已知函数/(》)=卜2+办+1*,若曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线与直线

2x-y+2=0平行，则实数。=.

13.记公差不为0的等差数列｛氏｝的前〃项和为其，若凡=5(%+%+%)，则上=.

14.已知函数〃x)=¥，设g(x)=/2(x)-4(耳，若g(x)只有一个零点，则实数a的取

值范围是；若不等式g(M>0的解集中有且只有三个整数，则实数。的取值范围

是.

四、解答题

15.已知函数/(x)=x2+x—lnx.

(1)求/(x)的单调区间和极值；

(2)求/(力在区间-,1上的最值.

e

试卷第3页，共4页

16.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且％=2勺+1,£=隹.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列也｝的前〃项和为（，且4=2,令凡也=。“+2也小，求北的最小值.

17.为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小

型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动

成本c（x）（万元）与ln^成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，

需要流动成本ln2万元，每件产品的售价。（x）与产量x（台）的函数关系为

P（x）=--^-+—+|^（万元）（其中尤》10）•记当年销售该产品“台获得的利润（禾!|润=销

售收入-生产成本）为了（X）万元.

⑴求函数/（X）的解析式；

（2）当产量x为何值时，该工厂的年利润/'（x）最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）

18.已知数列｛%｝满足外出。3…。"一。=——7-

（1）求数列｛6｝的通项公式；

（2）令设数列但｝的前〃项和为可，若不等式22-S,,“2+!对恒成立,

“2"2

求实数X的取值范围.

19.已知函数f（x]=mx+——>0）.

x

（1）当加=1时，求函数/（尤）在（1J。））处的切线方程；

⑵若〃x）Z21nx-2在[1,+动上恒成立，求实数加的取值范围；

（3）证明：D（及+1）+方〃2R£N*）.

试卷第4页，共4页

《山东省日照神州天立高级中学2024-2025学年高二下学期期中模拟数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DDBCBBADABDAD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】由等差数列求和公式基本量的计算即可得解.

939

【详解】若。2=3,S2="则3+—=不，解得9=2,符合题意.

一2q2

故选：D.

2.D

【分析】根据导函数的图象确定/(X)的极值点、单调区间、导数的几何意义，进而判断各

选项的正误.

【详解】由导函数了=/'(无)的部分图象可得，

当一2<x<-l或2<x<4时，/f(x)<0,当一l<x<2或4c尤<5时，/f(x)>0,

所以函数在(-2,-1),(2,4)上单调递减，在(-1,2),(4,5)上单调递增，

所以/'(可在区间(-2,5)内有3个极值点，故BC错误；

所以故A错误；

曲线N=〃x)在x=0处的切线的斜率为/''(0)>0,故D正确.

故选：D.

3.B

【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D,利用导数判断C选项的单调性.

【详解】对于A：/(x)=&在定义域［0,+s)上单调递增，故A错误；

对于B：/(x)=er=1J在定义域R上单调递减，故B正确；

对于C：/(x)=x+1,则/'(x)=T=(x+*7),

当xe(l,+⑹时广(x)>0,所以=x+：在(1,+s)上单调递增，故C错误；

对于D：/卜)=1"在定义域(0,+/)上单调递增，故D错误.

答案第1页，共14页

故选：B

4.C

【分析】根据给定条件，利用分组求和法计算即得.

【详解】数列｛%｝中，a„=(-l)"(2«-l),贝！J%-+%,=-(4"-3)+(4-1)=2,

所以Si。1=50x2+%。］=100-201=-101

故选：C

5.B

【分析】把三个数值看成三个斜率，即可用数形结合比较大小.

【详解】设点/(3,〃3)),8(4,7(4))

则可以把a=八4)-3)看成/(3,〃3)),5(4,7(4))两点的斜率勺,

把b=/'(3)看成曲线在点/(3,/(3))的切线斜率k2,

把。(4)看成曲线在点8(4,〃4))的切线斜率左3，

再作出图形进行数形结合分析:

即6<Q<C.

故选：B.

6.B

【分析】先由取极值的必要条件求出参数，然后回过头去检验是否满足题意即可.

【详解】由题意，函数/⑺二/+尔+乐+心可得y<x)=3x。+2ax+b,

f\o)=b=o

因为/(x)在x=0处取得极大值9,可得

〃0)=/=9'

答案第2页，共14页

a=3、a=-3

解得b=0或

b=0

检验知，当a=3,b=0时，可得/''(x)=3x，+6x=3x(x+2),

当-2<x<0时，r(x)=3x(x+2)<0,即/(x)在(一2,0)上单调递减,

当x>0时，/'(无)=3x(x+2)>0,即/(x)在(0,+。)上单调递增,

所以/'(无)在x=0处取得极小值9,与题意矛盾，故。=3不符题意；

当a=-3,6=0时，可得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),

当x<0时，r(x)=3x(x-2)>0,即/(x)在(-8,0)上单调递增,

当0〈尤<2时，_f(x)=3x(x-2)<0,即/(尤)在(0,2)上单调递减,

所以/'(无)在x=0处取得极大值9,故a=-3符合题意；

所以a+6=-3.

故选：B.

【点睛】方法点睛：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小;

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

7.A

【分析】构造函数/(x)=lnx-x+l,g(x)=e=x-l,即可比较a/的大小，构造函数

/7(x)=lnx+J-l,即可比较。，。的大小，即可得解.

【详解】令/(x)=lnx-x+l,贝==—,

XX

当0<x<l时，/'(%)>0,当X>1时,/r(x)<0,

所以函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以即+即Inl.lvg,

所以a=Ulnl.l<UxL

101010

令g(x)=e*-x-1,贝Ug<x)=e*-1,

答案第3页，共14页

当%>0时，g'(x)>0,

所以函数g(%)在(0,+。)上单调递增，

所以g(O」)>g(O)=O,gpe01-0.1-1>0,即

所以6=1。/」、口，

101010

所以,

令〃(x)=lnx+，-l,则3二三^,

xxxx

当0<x<l时，<0,当x>l时，/zf(x)>0,

所以函数M%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以端>〃⑴=0

gpin—+--1>0即

10111011

所以UlnU>Ux，=

—,即。>C,

1010101110

综上所述6>a〉c.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：构造函数/(x)=lnx—x+l,g(x)=eA-x-l,〃(x)=lnx+：-1,

是解决本题的关键.

8.D

【分析】当x>0时，构造函数尸(x)="，求导结合已知得其单调性，进而可得当0<x<l

时，/(x)<0,当尤>1时，/(x)>0,结合奇函数的性质即可进一步得解.

【详解】当x>0时，令尸(x)=®,则尸，所以尸(x)在(0,+s)上

单调递增，

当0<x<l时，F(x)=^<F(l)=/(l)=O,即/(x)<0,

当x>l时，F(x)=^-^>F(1)=/(1)=O,即/'(x)>0,

因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(。)=0,/(-1)=一/(1)=0=/(1)，

答案第4页，共14页

所以当x<-l时，Wx)<0,当以<x<0时,/(x)=-/(-x)>0,

所以不等式/(x)>0的解集为(T0)U(1,+S).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：关键是构造函数尸(x)=」?,x>0,利用导数得出单调性，从而即

可顺利得解.

9.ABD

【分析】运用函数乘除的导数可以判断A、C,B、D用复合函数的求导规则判断即可.

【详解】对于A,(xe、)'=ex+xe',故A对.

t1-I1-1

对于B,()=[(x+1)2r=-(x+ip=-^=，故B对.

\722jx+l

对于C(sinxA_cosxcosx-sinx(-sinx)_1故©俨

'Icosx)cos2xcos2x'

对于D,[lg(2x)]=x2=，^,故D对.

L：

」2xIn10xlnlO

综上所得，正确的是：ABD.

故选:ABD.

10.AD

【分析】根据题意得。3=见+”,"+|=22+4,再利用裂项相消法可求出S“，T.,然后逐

个分析判断.

【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2

个黑圈，第"行白圈的个数为4,,黑圈的个数为“,

所以an+l=an+bn,bn+l=2bn+an,所以B错误,

所以由q=1,4=0,得。2=1也=1，%=2也=3,a4=a3+b3=5,所以A正确,

因为%+i=%+4，所以bn=an+x-an,

a

所以<=4+方2+63----------=@2)+33)■1----------)=。"V~\，

因为"+|=2"+。“，所以%=〃+[-24，

所以S,=4+%■1-----卜a.=(瓦-2bj+(b3-2Z>2)H------F(b*x-2b)

答案第5页，共14页

=2+i_(4+打+…+6")=2+1

b

所以S"+1=n+l，所以邑024+4)24=既25，所以D正确，

因为an+i=an+bn,bn+l=2bn+an,所以bn+l-an+l=bn,

因为S.+北=4+i，Tn=a„+I-l,所以S”=&i-%+i+1=4+1,

所以星024=62024+1，所以C错误,

故选：AD

【点睛】关键点点睛：此题考查数列的递推式的应用，考查裂项相消法，解题的关键是根据

题意求得递推式，考查推理能力和计算能力，属于较难题.

11.BCD

【分析】对于A,由%=0即可举出反例，对于B,首先得%=4,利用作差法即可判断;

2—1

对于CD,利用数学归纳法即可证明.

【详解】对于A,%=火|/)刈°)=°C=「T故A错误;

所以竟是既约分数，所以

对于B,当〃N2时，2"—2,2"—1是相邻的偶数和奇数,

(2"-2]1

a=R

nT-\

、_____1_______1_2〃+i

a

所以“及+1"巩+22"+]—]2〃+2—](2*1—1)(2〃+2—1)〉，即n+l>%+2，故B正确;

对于C，当〃=1时,£（2'〃M+I）=231〃2二三一ynr

若当"=左，（八1）时，£（2’%,+1）=；-；成立，

/=13乙—1

贝U〃=左+1时，

女+1i111

£(2a%+J=a+2也

k+i2%+1-12H2一1

i=i32-l

12k+2-l-2k+i12k+i-l

3-(2^+1-1)(2"+2-1)-3-(2k+i-1)(2^+2-1)

故C正确;

2

对于D,当〃=1时，ax=0<l----

答案第6页，共14页

若当〃=匕（左上1,左eN*）时，之4VI一片成立，

z=lK+1

"121

贝[）〃=左+1时，,

z=ik+12-1

k+\?

要使?v'lZT

而（i---）-（1-^-）=—.........-=——---------,-<——--------<1,

k+2k+Yk+lk+2（左+1）（斤+2）3（左+1）（左+2）

只需（左+1）（左+2）―2/+|-420,只需（万+]）（左+2）%"/，显然21一1>0,

故只需如土竽0V2川_1,

当上=1时，该式子为343,显然成立，

若当左=p,（p21）时，有5+1：P+2）L2PM_1,

当先=〃+1时，（P+2?+3）_仅"）+1_1）=（0+2）+3）_2.2尸|+1

（p+2）（p+3）J（P+l）（P+2）uLi

2L2

=5+2）。-叽上。,

2

从而对任意正整数上均有‘+1"+2）<2^-1,

2

«2

综上所述，1>卡1——7,故D正确.

MM+1

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：再利用数学归纳法以及分析法可知只需证明对任意正整数左均有

（左+吁+2）《成立即可，再次利用数学归纳法即可顺利得解.

2

12.1

【分析】求出函数的导函数，依题意/（0）=2,计算可得.

【详解】因为/'（x）=（/+办+1卜*,所以/<x）=[x2+（2+a）x+l+a]e*,

依题意可得了'（0）=2,gp/,（0）=[02+（2+a）x0+l+«]e°=2,解得a=l.

故答案为：1

13.12

【分析】由已知结合等差数列基本量的计算、等差数列的性质得g=3%-2&,进一步结合

等差数列基本量的计算列方程即可求解.

答案第7页，共14页

【详解】设{见}的首项、公差分另4为q”，贝1^^^=15%=5(%+4+外)=5(24+纥)，

所以W=3%-26=3(%+7d)-2(4+5d)=々+lld=%+(左-l)d,

因为dwO,所以左=12.

故答案为：12.

(A)।/1)「ln5ln211

14.{0}%,+对[T,VJ

【分析】利用导数，确定八尤)的单调区间及最值，作出图象，由g(x)=0可得/(x)=o或

/(%)=a,再根据g(x)只有一个零点，结合f(x)的图象求解,即可得第一空答案；由g(x)>0,

可得/(x)[〃x)-“]>0,分。>0,。=0,。<0,结合题意和“X)的图象求解，即可得第二空

答案.

【详解】/(x)=^,x>0,尸(无)=三”，

当xe(O,e)时,/'(力>0,/(尤)单调递增;

当xe(e,+8)时,/'(x)<0J(x)单调递减;

⑴=0；当0<x<l时，/(x)<0；当尤>1时，/(x)>0/(x)=/(e)=-.

;maxe

据此可作出了(X)图象如图所示：

令g(X)=f2(x)-o/'(x)=0,则/(x)=0或/(x)=a,

由/(x)=0,可得x=l；

又••,g(x)=0只有一个零点，，/(x)=。无解，或a=0,

a>-,或a=0,

e

•••0的取值范围是｛0｝口(：,+8).

令g(x)>0，则

答案第8页，共14页

①当a>0时，贝i]/(x)<0或/(x)>a,

由/（尤）＜0,可得0〈尤＜1,无整数解，。中有3个整数解,

结合/'（x）的图象可知此三个整数解为2,3,4,

•・•〃2)=”3)号,〃4)=/=*〃2),〃5)警，

In5In2

••----<a<---；

52

②当a=0时，g(x)=/2(尤),

由g（x）＞0,得xwl,不满足题意;

③当a＜0时，由g（尤）＞0,得/（无）＜a或/（尤）＞0,

：/（x）＜。的解集中无整数，/（x）＞0的解集中有若干个整数，不满足题意；

综上，。的取值范围为丁，墨）・

j-LAA.da（1、「ln5In2A

故答案为：{0}u|j,+8j；J.

【点睛】关键点点睛：本题的第一空的关键是采用整体法，解出/'（x）=a或0,再利用导数

得出/（无）的图象与性质，结合图象即可得到。的范围.

15.⑴单调递减区间为，函数/（x）单调递增区间为；,+[.极小值为O：+吟

无极大值；

3

（2）最小值为-+ln2，最大值为2.

【分析】（1）求导，得到/'（X）,令/''（xbo得,x=g或x=7（舍去），将定义域分成几段考虑

导数正负,得出单调区间，由单调性，得到函数/（x）的极值.

（2）与（1）方法相同（只是定义域发生改变），求出极值后再与端点值比较即可得到最值.

【详解】（1）函数/（x）的定义域为（0,+8）,

f'(x)=2x+1--=2x2+x-](2x-l)(x+l)

XXx

令/'（x）=0得,x=g或尤=一1（舍去），

答案第9页，共14页

当0<x<g时,/'（无）<0,函数f（x）单调递减；

当时J'（x）>0,函数/（X）单调递增，

所以函数/（x）单调递减区间为，函数〃x）单调递增区间为g,+j.

函数〃x）的极小值为/（，=[+ln2,无极大值.

（2）由（1）知，函数在区间上单调递减,在区间1,1上单调递增，

所以/[1）=1+出2，/[1]=4+工+1，/（1）=2,

\2j4Jee

又因为”1）>,：],所以函数/'（X）在区间1,1的最小值为：+ln2,最大值为2.

16.（l）a„=-«-1（«eN*）

（2）2

【分析】（1）由等差数列及其前〃项和基本量的计算即可列方程组求解首项、公差，进而得

解；

（2）由（1）中结论结合累乘法得数列｛£｝的通项公式，通过裂项法得方的表达式说明7；单

调递增，或由4“用>0也可说明北单调递增，进而得解.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的首项为。一公差为人

5%+10(7=8。］+4d

由S5=4S2，%,=24+1,得

ax+(2〃-l)d=2%+2(〃-l)d+1'

解得：a\——=—1,所以a,二一2-(〃—1)=—〃—1(/I£N*).

（2）方法一：由（1）得a,,

ban_-n-\n+\

由题思G

%+2-«-3〃+3

nn-\n-2432.

b=——x—x•••x—xA=-------x-------x-------x---x—x—x—x2

nbb.h1n+2n+1n-----654

n-1}n-21

7~—7=121」....-Y?>2,«eN*

答案第10页，共14页

而上关于"单调递减，从而一一二关于"单调递增,

n+2n+2

所以北=12t-」]关于“也是单调递增，

[2n+2)

所以当”=1时，〈的最小值为4=12(；-白卜2；

方法二：由(1)得a“N*),

〃+ln+1

由题意HGN=

a一〃一3〃+3

b”n+2

bb.nn-1n-2432

_«_^L±X---X

bn=X—x-----x-------x---x—x—x—x2

如b„-2b,n+2w+ln654

1211

=12nN2,ne

++2)n+\n+2

f------------]>0(〃GN*

从而a=12

n+2)'

又了—e>0,所以7；单调递增,

所以北的最小值为(=4=2.

2

17.(1)/(%)二———x+—x-ln—(x>10,xGN*)

17v71005010v)

(2)50台，24.4万元

【分析】(1)先通过待定系数法求解出。(%)与In木的关系，然后根据利润定义表示出/(x)

即可；

(2)利用导数分析/("的单调性，从而可求/(%)的最大值以及对应》的值.

【详解】(1)设。0)=左加元，代入20可得左In2=ln2,所以左=1,

所以/=--10=———x2+—x-ln—,

v7v7101005010

2

所以〃%)=———x+—x-ln—(x>10,xGN*)

7v71005010v7

(2)因为/(%)=———x2+—x-ln—(x>10,xeN*),

v71005010v7

11,51.(1)(%-50)

所以/'(%)=—---x----------1-------------------------------------------------------

50x5050%

当xe[10,50)时，/\x)>0,/(x)单调递增,

当j«50,+8)时,/r(x)<0,/(%)单调递减,

答案第11页，共14页

所以/(x)=/(50)=_^^+2x50_ln型=26_ln5w24.4万元，

7v7maxv,1005010

所以当x=50时有最大利润为24.4万元.

n

18.(1)«„=-

n+\

7

1〃

【分析】(1)〃22时，有2a3…。1=—，将它与已知式子相比可得。”=—；，检验”=1

是否满足该式子即可得解；

(2)先通过分组求和、等比数列求和公式得S'="£+l,然后对小2"-5"2"2+5分离

参数得不等式力2止炉对V〃eN*恒成立，从而只需求出c'=+1的最大值即可得

解.

【详解】(1)因为…。”-避”

n+\

所以〃22时，…。〃一1=一，

n

Yl

所以当〃22时，an=-----,

H+1

又％=(满足上式，

所以。”右

,-12W+1,1

(2)由⑴知"=工=丫=1+h

所以S,=4+&+&+…+4=(i+g]+[i+g[+…+[+

111

(111)2-2WX21

(222V)」(T)2〃

2

所以2.2"-1"+1-1卜/+J,

即不等式;I>二对eN*恒成立，

2"

/+〃+1_(w+l)2+(w+l)+ln2+n+l_-7i2+n+l

令

2、n+ir)n+lr\n<)〃+l

令〃=1,可得

答案第12页，共14页

当“22时，-/?+7?+1<0,止匕时C"+1-C"<0,即止匕时有C2>C3>C4>-->C\T>C.，

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数列｛g｝的最大项为Q=:,所以42、.

19.(l)2x-y-4=0

⑵[1,+co);

(3)证明见解析

【分析】(1)只需分别求出的值即可求解；

(2)构造函数g(x)=/(%)-21nx+2,原题条件等价于g(x)20在[1,+8)上恒成立，求得

m(x-l)Ji

m,从而分加是否小于1进行讨论即可求解.

g'(x)=-I--