苏科版新八年级数学暑假自学课：立方根（原卷版+解析）

第11讲立方根

厚【学习目标】

1.了解立方根的含义；

2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【基础知识】

—.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a,那

么x叫做a的立方根.记作：圾.

（2）正数的立方根是正数，。的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

二.计算器一数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即。每扩大（或缩小）100倍，。相应扩大（或缩小）10倍.

W【考点剖析】

一.立方根（共8小题）

1.（2022春•海安市校级月考）若娇。0.6694,3。1.442,则下列各式中正确的是（）

A.^/300«14.42B.^300«6.694C.^300«144.2D.^300«66.94

2.（2022•碑林区校级二模）-27的立方根为（)

A.±3B.±9C.-3D.-9

3.（2022•郸州区一模）计算：彩的结果是—.

4.（2021春•崇川区校级月考）已知x-2的平方根是±4,2x+y-l的算术平方根是5,贝ijx-y-l的立方

根是—.

5.（2021秋•东台市期末）解方程：（1-4=8.

6.（2021秋•济宁期末）已知x+1的平方根是±2,2尤+〉-2的立方根是2,求尤,+丁的算术平方根.

7.（2022春•如皋市校级月考）如果5厂与（2尤-由?互为相反数，那么2x-y的立方根是—.

8.（2022春•开州区期中）已知，x-l的平方根是±2,2x+y+5的立方根是3,求尤?+丁的算术平方根.

二.计算器一数的开方（共1小题）

9.（2016春•固始县期末）按要求填空:

（1）填表:

a0.00040.044400

y/a————

（2）根据你发现规律填空：

已知：772=2.638,贝=，J0.00072

已知：70.0038=0.06164,\/x=61.64,贝!Jx=

【过关检测】

一.选择题（共6小题）

1.（2021秋•阜宁县期末）下列说法正确的是（）

A.4的平方根是±2B.8的立方根是±2

C.A/4=±2

2.（2021秋•双塔区校级期末）下列说法：①±3都是27的立方根；②，的算术平方根是土工；—yf—S=2；

164

④丽的平方根是±4；⑤-9是81的算术平方根，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2021秋•东营期末）下列运算正确的是（）

A.74=±2B.（-3）3=27C.%=3D.«=2

4.（2021秋•江都区期末）面积为9的正方形的边长是（）

A.9的算术平方根B.9的平方根

C.9的立方根D.9开平方的结果

5.（2022春•孝南区期中）下列说法中，正确的是（）

A.4的算术平方根是±2B.商的平方根是±3

C.8立方根是±2D.T的立方根是-2

6.（2021秋•东台市期末）下列说法正确的是（）

A.4的算术平方根是2B.0.16的平方根是0.4

C.0没有立方根D.1的立方根是±1

二.填空题（共6小题）

7.（2022春•开州区期中）已知#0.342x0.6993,^/342«1.507,贝1|肛000342x

8.（2021秋•礼泉县期末）-1的立方根是.

9.（2022•秦淮区校级模拟）16的平方根是；16的立方根是

10.（2021春•海安市期中）已知一2.061/1.435,寻20.61合5.539,则#20610「

11.（2021秋•肃州区期末）J语的平方根是,-后的立方根是.

12.（2。22・丹江口市模拟）定义一种新的运算…刖益.计算：5软®.

三.解答题（共9小题）

13.（2022春•崇川区校级期中）求下列各式中无的值：

（1）（无一5）2—9=0；（2）64（无一I），=27.

14.（2022春•海安市校级月考）求x的值：

（1）361（1-%）2=16；（2）64（2^+1）3=27.

15.（2021秋•仪征市期末）已知的算术平方根是2,；丫-1的立方根是-1,求代数式x+y的平方根.

16.（2021秋•大丰区期末）已知：一个正数。的两个不同平方根分别是x+5和4x-15.

（1）求。的值；

（2）求』a+l的立方根.

7

17.（2021秋•白银期末）已知2°-1的算术平方根是3,。->+2的立方根是2,求的平方根.

18.（2021秋•海陵区校级月考）已知2x+3的算术平方根是3,5x+y+2的立方根是2,求x-y+4的平

方根.

19.(2021秋•吁胎县期末)已知某正数的两个不同的平方根是3a-14和。-2；6-15的立方根为-3.

(1)求。、6的值；

(2)求4a+b的平方根.

20.(2021秋•兴化市期末)观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：70^001=0.01,

7o^oT=o.i,71=i,A/TOO=IO,7IOOOO=IOO............

(1)已知03n4.47,求,2000的值;

(2)已知瓦。1.918,后。191.8,求a的值；

(3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知附士1.26,痂。12.6,用含〃的代数式表示机.

21.（2021秋•江宁区期中）（1）填空：

Vo.oooi=o.oi,VaoT=，A/T=I,>Aoo=io,Vioooo=

(2)观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题:

①已知3.16,则J1000x；

②已知21.918,6=191.8,贝i」a=.

(3)根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知次。1.26,标*12.6,贝b”=

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第11讲立方根

❷【学习目标】

1.了解立方根的含义；

2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

©【基础知识】

一.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果/=小那

么x叫做。的立方根.记作：如.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数。的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

二.计算器一数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即a每扩大（或缩小）100倍，。相应扩大（或缩小）10倍.

【考点剖析】

立方根（共8小题）

1.（2022春•海安市校级月考）若强?。0.6694,1.442,则下列各式中正确的是（）

A.^/300~14.42B.^300«6.694C.^300®144.2D.^300»66.94

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【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解.

【解答】解：「被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，

^/300a0.6694xl0=6.694,

故选：B.

【点评】此题考查了开立方运算中规律问题的解决能力，关键是能准确理解运用相关的规律.

2.（2022•碑林区校级二模）-27的立方根为（）

A.±3B.±9C.-3D.-9

【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于。，那么这个数叫〃的立方根）解决此题.

【解答】解：^27=-3.

故选：C.

【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键.

3.（2022・邺州区一模）计算：舛的结果是_-2_.

【分析】直接利用立方根定义计算即可.

【解答】解：舛的结果是-2.

故答案为：-2.

【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意：负数的立方根还是负数.

4.（2021春•崇川区校级月考）已知尤-2的平方根是±4,2x+y-l的算术平方根是5,则x-y-1的立方

根是3.

【分析】根据平方根和算术平方根的概念列方程求得x和y的值，然后代入求得其立方根即可.

【解答】解：x-2的平方根是±4,2x+y-l的算术平方根是5,

;.x-2=16,2尤+y-l=25,

解得：x=18,y=—10,

...x-y-l=18-（-10）-1=18+10-1=27,

二元-y-l的立方根是3,

故答案为：3.

【点评】本题考查平方根，算术平方根和立方根，掌握其基本概念和解方程的基本步骤是解题关键.

5.（2021秋•东台市期末）解方程：（1-X）3=8.

【分析】根据立方根的定义，求出x.

【解答】解：（1-4=8,

1—x—2,

解得x=—l.

【点评】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义及性质是解题关键.

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6.（2021秋•济宁期末）己知x+1的平方根是±2,2x+y-2的立方根是2,求/+：/的算术平方根.

【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可.

【解答】解：x+1的平方根是±2,

.+1=4，

「.％=3,

,2x+y-2的立方根是2,

.*.2x+y—2=8,

把尤的值代入解得：

y=4,

x2+j2=25,

.•,x2+y2的算术平方根为5.

【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运

算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.

7.（2022春•如皋市校级月考）如果5下与（2x-4）2互为相反数，那么2尤-y的立方根是

【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x-y的值，再利用立方根的定义可得出答案.

【解答】解：・5万与（2x-4＞互为相反数，

Jy-7+（2x—4）~=0,

y—7=0,2x—4=0,

解得：y=7,x=2,

2x—y=4—7=-3,

2x-y的立方根是-6.

故答案为：-孙.

【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出x,y的值是解题关键.

8.（2022春•开州区期中）已知，x-1的平方根是±2,2x+y+5的立方根是3,求V+丁的算术平方根.

【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可.

【解答】解：x-1的平方根是±2,

x—1—4,

厂.％=5,

2x+y+5的立方根是3,

2x+y+5=27,

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把X的值代入解得：

y=12,

x2+y2=169,

.•.Y+尸的算术平方根为13.

【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运

算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.

--计算器一数的开方（共1小题）

9.（2016春•固始县期末）按要求填空：

（1）填表：

0.00040.044400

a

0.02

———

（2）根据你发现规律填空：

已知：772=2.638,则=,VO.00072=

已知：70.0038=0.06164,«=61.64,贝！］x=.

【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案.

（2）将720化为7.2x100,将0.00072化为7.2XHT,继而可得出答案；再根据61.64化为0.06164xlfT可

得出第二空的答案.

【解答】解：（1）^0.0004=0.02,7004=0.2,4=2,，^丽=20；

填表如下：

a0.00040.044400

y[a0.020.2220

(2)=J7.2x100=2.638x10=26.38,

J0.00072=17.2x10-4=2.638x10以=0.02638；

A/0.0038=0.06164,«=61.64,61.64=0.06164xl0-3

x—38CX3.

故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800.

【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般.

马【过关检测】

选择题（共6小题）

1.（2021秋•阜宁县期末）下列说法正确的是（）

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A.4的平方根是±2B.8的立方根是±2

C.A/4=±2D.^/（-2）2=-2

【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义求出每个的值，再选出即可.

【解答】解：A、4的平方根是±2,故本选项正确；

B、8的立方根是2,故本选项错误；

C、74=2,故本选项错误；

D、7（-2）2=2,故本选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查了对平方根、立方根、算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力.

2.（2021秋•双塔区校级期末）下列说法：①±3都是27的立方根；②工的算术平方根是土工；③-舛=2；

164

④J证的平方根是±4；⑤-9是81的算术平方根，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可.

【解答】解：①3是27的立方根，原来的说法错误；

②工的算术平方根是工，原来的说法错误；

164

③一舛=2是正确的；

@V16=4,4的平方根是±2,原来的说法错误；

⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误.

故其中正确的有1个.

故选：A.

【点评】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数

的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个.

3.（2021秋•东营期末）下列运算正确的是（）

A.4=±2B.（-3）3=27C.强=3D."=2

【分析】根据算术平方根、立方根、有理数的乘方的定义解决此题.

【解答】解：A.根据算术平方根的定义，"=2,那么A错误，故A不符合题意.

B.根据有理数的乘方，（-3）3=-27,那么3错误，故3不符合题意.

C.根据立方根的定义，强f3,那么C错误，故C不符合题意.

。.根据算术平方根的定义，74=2,那么。正确，故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根、立方根、有理数的乘

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方的定义是解决本题的关键.

4.（2021秋•江都区期末）面积为9的正方形的边长是（）

A.9的算术平方根B.9的平方根

C.9的立方根D.9开平方的结果

【分析】设正方形边长为x,根据面积公式得方程，解出即可.

【解答】解：设正方形边长为X,

根据面积公式得：尤2=9,

解得x=±3,-3不合题意，舍去，

故选：A.

【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念的运用，熟练掌握它们的区别与联系，根据

题意列出方程是解题关键.

5.（2022春•孝南区期中）下列说法中，正确的是（）

A.4的算术平方根是±2B.扃的平方根是±3

C.8立方根是±2D.T的立方根是-2

【分析】根据平方根和立方根的性质判断即可.

【解答】解：4的算术平方根是2,

不合题意.

A/81=9.

9的平方根是±3,

符合题意.

•.•任何数有唯一的立方根，

二.C不合题意.

T的立方根为日，

£）不合题意.

故选：B.

【点评】本题考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质及表示是求解本题的关键.

6.（2021秋•东台市期末）下列说法正确的是（）

A.4的算术平方根是2B.0.16的平方根是0.4

C.。没有立方根D.1的立方根是±1

【分析】解：A：正数的算术平方根是正数；

B-.正数的平方根有两个，并且互为相反数；

C:O有立方根；

D：正数的立方根只有1个正数.

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【解答】解：4:4的算术平方根是2,.•.符合题意；

3:0.16的平方根是±0.4,.•.不符合题意；

C:0有立方根，，不符合题意；

的立方根是1,.•.不符合题意；

故选：A.

【点评】本题主要考查了算术平方根和平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键.

二.填空题（共6小题）

7.（2022春•开州区期中）已知（0.342。0.6993,^342«1.507,则第0.000342:0.06993.

【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一

位得出即可.

【解答】解：■狗.342/0.6993,

孙000342a0.06993,

故答案为：0.06993.

【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键.

8.（2021秋•礼泉县期末）-1的立方根是_-1_.

【分析】直接利用立方根的定义计算.

【解答】解：（-以=-1

.•「I的立方根是-1.

【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意负数的立方根还是负数.

9.（2022•秦淮区校级模拟）16的平方根是—±4_；16的立方根是.

【分析】根据平方根和立方根的定义解答.

【解答】解：16的平方根是±4,16的立方根是痂.

故答案为：±4,&石.

【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键.

10.（2021春•海安市期中）已知:2.061a1.435,^20.61-5.539,则因20610755.39.

【分析】根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行

判断即可.

【解答】解：^/20610=-^20.61x1000=10x^/20.61=55.39,

故答案为：55.39.

【点评】本题考查立方根，理解“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）

移动1位”是正确解答的关键.

11.（2021秋•肃州区期末）J1石的平方根是—±2_,-痴的立方根是.

【分析】先找出痴、闹的值，再根据平方根与立方根即可得出结论.

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【解答】解：-J话=4,

J话的平方根是±2；

A/64=8,

的立方根是-2.

故答案为：±2；-2.

【点评】本题考查了平方根以及立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求法.

c[3a-5b(a>b)

12.(2022•丹江口市模拟)定义一种新的运算：a®b=\.计算：50(1

【分析】根据新定义先求出1位8=2,再根据新定义求5⑥2即可求解.

入[3a-5b(a>b)

【解答】解：a®b=\^',

yfab(a„b)

.•・5区)(1G)8)

=50^/178

=502

=3x5-5x2

=15-10

故答案为:5.

【点评】本题主要考查了立方根，新定义，解题的关键是弄清楚新运算“派”的运算法则，属于中档题.

三.解答题(共9小题)

13.(2022春•崇川区校级期中)求下列各式中x的值：

(1)(X-5)2-9=0；

(2)64(%-I)3=27.

【分析】(1)应用平方根的计算方法进行求解即可得出答案；

(2)应用立方根的计算方法进行求解即可得出答案.

【解答】解：⑴(尤-5)2=9,

尤-5=士®=±3,

x—5=3,x—5=-3,

%=8或%=2；

27

64

16/24

7

x———•

4

【点评】本题主要考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算方法进行求解是解决本题的关

键.

14.（2022春•海安市校级月考）求x的值：

（1）361（1-x）12=16；

（2）64（2x+iy=27.

【分析】（1）通过系数化为1、开平方进行求解；

（2）通过系数化为1、开立方进行求解.

【解答】解：（1）系数化为1,得（1-幻2=生，

361

开平方，得1-尤=±*，

19

解得x="或x="；

1919

（2）系数化为1,得（2-377,

64

开乂方，得2%+1=-，

4

解得x=--.

8

【点评】此题考查了运用开平方、开立方解方程的能力，关键是能通过方程的特殊结构选择解方程的方法

求解.

15.（2021秋•仪征市期末）已知x-1的算术平方根是2,—1的立方根是—1,求代数式%+y的平方根.

【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出x,y的值，求出光+力再求它的平方根即可.

【解答】解：无-1的算术平方根是2,l丁_1的立方根是—1,

2

1=4,—y—1=—1,

2

「.％=5,y=0,

:.x+y=5,

:.x-\-y的平方根为土石.

答：x+y的平方根为土君.

17/24

【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏

解.

16.(2021秋•大丰区期末)已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x-15.

(1)求a的值；

(2)求+1的立方根.

7

【分析】(1)根据正数的平方根的性质解决此题.

(2)根据立方根的定义解决此题.

【解答】解：(1)由题得，x+5+4x-15=0.

.\5x=10.

:.x=2.

.+5=7•

/.a—49.

(2)由(1)得，a=49.

—<2+1=8•

7

，」a+l的立方根是2.

7

【点评】本题主要考查立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根是解决本题的关键.

17.(2021秋•白银期末)已知2a-1的算术平方根是3,a->+2的立方根是2,求a-46的平方根.

【分析】利用算术平方根、立方根性质求出“与6的值，即可确定出所求.

【解答】解：-2a-l=32,

a=5，

、a—b+2=2^

b=-1,

£a-4b=±-^5-4x(-1)=土方=±3.

【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

18.(2021秋•海陵区校级月考)已知2x+3的算术平方根是3,5x+y+2的立方根是2,求x-y+4的平

方根.

【分析】根据算术平方根与立方根的定义得到2x+3=9,5x+y+2=8,则可计算出x=3,y=-9,然后

计算x-y+4后利用平方根的定义求解.

【解答】解：因为2x+3的算术平方根是3,5x+y+2的立方根是2,

所以产3=；

[5x+y+2=8

18/24

解得[I

[y=-9

所以x-y+4=16,

所以x-y+4的平方根为=±4.

【点评】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键.

19.(2021秋•旺胎县期末)已知某正数的两个不同的平方根是3a-14和0-2；6-15的立方根为-3.

(1)求〃、6的值；

(2)求4a+6的平方根.

【分析】(1)根据正数的两个不同的平方根是3a-14和。-2,列出方程解出。，再根据6-15的立方根为

-3,列出方程解出6；

(2)把”=4、6=-12代入4a+6计算出代数式的值，然后求它的平方根.

【解答】解：(1)「正数的两个不同的平方根是%-14和。-2,

3d—14+ci—2=0,

解得a=4,

匕一15的立方根为一3,

「2-15=—27,

解得b=