苏科版新八年级数学暑假自学课：平方根（原卷版+解析）

第10讲平方根

O【学习目标】

1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.

【基础知识】

一.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“后”，负的平方根表示为“一后”.

正数a的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作、历.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

二.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即7=a,那么这个正数尤叫做。的算术

平方根.记为立.

（2）非负数。的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根a本身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借

助乘方运算来寻找.

三.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不

等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.

【考点剖析】

平方根（共6小题）

1.（2022•灌南县二模）81的平方根是（）

A.9B.±9C.±3D.3

2.（2021秋•丰泽区校级期末）一个正数。的平方根分别是2m和-39+1,则这个正数a为

3.（2022春•龙岩期中）已知一个正数的两个平方根分别是尤和x-6,则这个正数等于—

4.（2022春•工业园区校级月考）已知a-1和5-2a都是非负数根的平方根，求相的值.

佳佳的解题过程如下：

解：-1和5-2a都是非负数m的平方根，

.,.a-1+5-2a=0,

解得a=4,

.".a-1=3,

：.m的值为9.

请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由.

5.（2021秋•江阴市期中）求出下列x的值.

（1）4/=9；

（2）（x+1）2-25=0.

6.（2022春•如皋市校级月考）2a-3与5-a是同一个正数尤的平方根，则尤

二.算术平方根（共5小题）

7.（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根.

4

（1）169；1）一；（3）0.09；（4）（-3）2.

81

8.（2021春•南通期中）一个数值转换器，如图所示:

是有理数

（1）当输入的尤为9时，输出的y值是；

（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由;

（3）若输出的y是々，请写出两个满足要求的x值：.

9.（2020秋•姑苏区期中）若|x+l|+（y-5）2=0,求2y+尤的算术平方根.

10.（2021秋•通州区期末）已知冽=202p+20222,则的值为（）

A.2021B.2022C.4043D.4044

11.（2021秋•鼓楼区校级期末）10的算术平方根是（）

A.10B.旧C.-V10D.土旧

三.非负数的性质：算术平方根（共5小题）

12.（2021秋•滨海县期末）已知实数无，y满足而U+（尹1）2=0,贝L-y等于（）

A.1B.-1C.-3D.3

13.（2022春•工业园区校级月考）代数式2020-J7T万的最大值是.

14.（2021秋•无锡期末）已知］2x+y-2与（尤-y+3）2互为相反数，求（/+》）的平方根.

15.（2021秋•仪征市期末）已知实数无，y满足（x-3）+|z-5|=0,则以x,y,z的值为边长的

三角形的周长是（）

A.6B.12

C.14D.以上答案均不对

16.（2022春•崇川区校级月考）已知VFF5+J2y—4=。，求（x+y）2°2°的值.

目【过关检测】

选择题（共3小题）

1.（2022春•津南区期中）已知回面=123,怖=0.123,则x=（）

A.0.15129B.0.015129C.0.0015129D.1.5129

2.（2022春•瑶海区期中）若内衲=102，则«=1Q.2中的x等于（）

A.1040.4B.10.404C.104.04D.1.0404

3.（2021秋•泰兴市期末）若方程/=5的解分别为“b,且a>b,下列说法正确的是（）

A.5的平方根是。B.5的平方根是6

C.5的算术平方根是aD.5的算术平方根是6

二.填空题（共8小题）

4.（2021秋•滨海县期末）、，用=.

5.（2022春•定远县校级月考）设。是9的算术平方根，b=（73）2,则a+6=.

6.（2021秋•通州区期末）已知"是正整数，或^i是整数，求”的最小值为.

7.（2022春•安庆期中）一个正数的两个平方根分别是2a+5和2a-1,则这个正数为.

8.（2022•凤翔县模拟）36的平方根是

9.（2021秋•怀化期末）如果一个正数的两个平方根分别为3m+4和2-〃z,则这个数是.

10.（2021秋•泗阳县期末）实数16的平方根是.

11.（2022春•崇川区校级期中）将1、v2V3巡按如图方式排列.若规定（加，"）表示第机排从左向

右第w个数，则（5,4）与（12,3）表示的两数之和是.

1第1排

VI万第2排

际1VT第3排

y/J1VT第4排

仃a1<7口第5排

三.解答题（共5小题）

12.（2022春•港闸区校级月考）求下列各式中x的值：

（1）3?-12=0；

（2）（x+1）3=-8.

13.（2021秋•盐都区月考）已知3a-1的算术平方根是\氏，2是3a+6-1的平方根，求a+2b的平方根.

14.（2021秋•靖江市期中）（1）求式中x的值：（2x7）2-25=0.

（2）已知，Jx-y+3+（x+y-l）2=0,求y-2元的平方根.

15.（2021秋•苏州期中）已知J2x+y—2与（x-y+3）2互为相反数，求x2y的平方根.

16.(2022春•仁怀市校级月考)若山是169的正的平方根，w是121的负的平方根，求:

(1)m+n的值；

(2)(〃?+〃)2的平方根.

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第10讲平方根

旨【学习目标】

1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.

【基础知识】

一.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“西，，负的平方根表示为“一代”.

正数。的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作后.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是

0.

二.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即/=历那么这个正数天叫做。的算术

平方根.记为痴.

（2）非负数。的算术平方根a有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借

助乘方运算来寻找.

三.非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性.

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不

等式求解.非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.

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【考点剖析】

平方根（共6小题）

1.（2022•灌南县二模）81的平方根是（）

A.9B.±9C.±3D.3

【分析】依据平方根的定义求解即可.

【解答】解：：（±9）2=81,

A81的平方根是±9.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.

2.（2021秋•丰泽区校级期末）一个正数a的平方根分别是2优和-3租+1,则这个正数a为4

【分析】根据平方根的定义与性质解决此题.

【解答】解：由题意得，2根+（-3m+l）=0.

••772—•1.

2m=2.

，4=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义与性质是解决本题的关键.

3.（2022春•龙岩期中）已知一个正数的两个平方根分别是x和x-6,则这个正数等于9.

【分析】根据平方根的定义求出x的值，再求出这个正数的平方根，进而得出答案.

【解答】解：•一个正数的两个平方根是x和尤-6,

・・x+x-6=0,

解得尤=3,

-6--3,

I.这个正数为（±3）2=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键.

4.（2022春•工业园区校级月考）已知1和5-2。都是非负数根的平方根，求相的值.

佳佳的解题过程如下：

解：-1和5-2〃都是非负数m的平方根，

.'.a-1+5-2。=0,

解得。=4,

•'.a-1=3,

10/24

.'.m的值为9.

请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由.

【分析】利用平方根的意义得出关于。的等式，进而求出山的值.

【解答】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：

--1和5-2a是非负数m的平方根，

...当。-1+5-2a—Q时，

解得：。=4,

.'.a-1=3,

根的值为：9,

当。-1=5-2a,

解得：a—1,

故m的值为：1,

综上所述：%的值为：1或9.

【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.

5.(2021秋•江阴市期中)求出下列x的值.

(1)4/=9；

(2)(x+1)2-25=0.

【分析】(1)根据平方根解决此题.

(2)根据平方根解决此题.

【解答】解：(1)；4/=9,

・29

・・丫=

2

(2)(x+1)2-25=0,

(x+1)2=25.

.'.x+l=±5.

.*.x=4或-6.

【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键.

49

6.(2022春•如皋市校级月考)2〃-3与5-〃是同一个正数x的平方根，则冗=49或二

【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数，求出〃的值，即可确定出x的值.

【解答】解：・・・2〃-3与5是同一个正数x的平方根，

/.2a-3+5-a=0或2〃-3=5-a,

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解得：〃=-2或〃=g,

、4G

则x=49或一.

9

、49

故答案为：49或—.

9

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.

--算术平方根(共5小题)

7.(2022春•工业园区校级月考)求下列各数的算术平方根.

(1)169；

(2)—5

81

(3)0.09；

(4)(-3)2.

【分析】利用求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助乘方运算来寻找一个

非负数的算术平方根.

【解答】解：(1)V132=169,

/.169的算术平方根是13,

即的=13；

(2)V(-)2=当

981

42

；•一的算术平方根是一，

819

(3)V0.32=0.09,

/.0.09的算术平方根是0.3,

即VU面=。.3;

(4)：32=9=(-3)2,

/.(-3)2的算术平方根是3,

即界=3.

【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是明确求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆

运算.

8.(2021春•南通期中)一个数值转换器，如图所示：

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是有理数

(1)当输入的X为9时，输出的y值是_\用_;

(2)若输入有效的尤值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；

(3)若输出的y是W，请写出两个满足要求的x值：7或49.

【分析】(1)根据算术平方根的定义进行计算即可；

(2)根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；

(3)可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案.

【解答】解：(1)当尤=9时，9的算术平方根为通=3,而3是有理数，3的算术平方根为避，

故答案为：方；

(2)0或1,因为。的算术平方根是0,1的算术平方根是1,无论进行多少次运算都不可能是无理数;

(3)若1次运算就是无理数，则输入的数为7,

若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49,

故答案为：7或49.

【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.

9.(2020秋•姑苏区期中)若|无+1|+。-5)2=0,求2y+x的算术平方根.

【分析】直接利用非负数的性质得出x,y的值，再利用算术平方根的定义得出答案.

【解答】解：：|x+l|+(y-5)2=o,

.'.x+l=0,y-5=0,

解得：x=-1,y=5,

，2y+x=10-1=9,

故2y+x的算术平方根是3.

【点评】此题主要考查了算术平方根、非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键.

10.(2021秋•通州区期末)已知加=20212+20222,贝叼2血._1的值为()

A.2021B.2022C.4043D.4044

【分析】将初=20212+20222代入2"广1,再将2022写成2021+1,可得一个完全平方式即可求解.

【解答】解：m-1

=2(20212+20222)-1

=2[20212+(2021+1)2]-1

=2(2X20212+2X2021+1)-1

=4X20212+4X2021+l

=(2X2021+1)2

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=40432

=4043,

故选：C.

【点评】本题考查了算术平方根的意义，关键是将根号里的算式化成某数的平方.

11.（2021秋•鼓楼区校级期末）10的算术平方根是（）

A.10B.y/icC.-y/10D.±710

【分析】一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根.利用概念即可解决问题.

【解答】解：..•10的平方根为土依，

.,.10的算术平方根为，查.

故选：B.

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，弄清概念是解决本题的关键.

三.非负数的性质：算术平方根（共5小题）

12.（2021秋•滨海县期末）已知实数x,y满足尸”+（y+1）2=0,贝x-y等于（）

A.1B.-1C.-3D.3

【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解：；祗=1+（y+l）2=0,而斤220,（y+1）220,

'.X-2=0,y+l=0,

解得x=2,y=-1,

'.x-y—2-（-1）=2+1=3.

故选：D.

【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0,则每一个

算式都等于0列式是解题的关键.

13.（2022春•工业园区校级月考）代数式2020-Jx+2）的最大值是2020.

【分析】根据算术平方根的非负数性质解答即可.

【解答】解：'.'Jx+2y>0,

.,.2020-Jt+2y<2020,

代数式2020-Jx+2）的最大值是2020.

故答案为：2020.

【点评】本题考查了非负数的性质，掌握算术平方根的非负数性质是解答本题的关键.

14.（2021秋•无锡期末）已知J2X+J-2与（x-y+3）2互为相反数，求（J+y）的平方根.

【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得

到x与y的值.

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【解答】解：.••j2x+y-2与(尤-y+3)2互为相反数,

•'•J2x+y-2+(x-y+3)~=0,

又：j2x+y_2>0>(尤-y+3)2^o,

,(2x+y-2=C

(X—y+3=0

，1

%=-3

解得，

8，

7=3

•.•/f工+y=,(_1p、2+,38=91+,294-=v25

（f+y）的平方根为土言

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、非负数的性质、解二

元一次方程组的能力及平方根的定义.

15.（2021秋•仪征市期末）已知实数x,y满足（尤-3）?+万=彳+|z-5|=0,则以无，y,z的值为边长的

三角形的周长是（）

A.6B.12

C.14D.以上答案均不对

【分析】根据绝对值、偶次方、算术平方根的非负性解决此题.

【解答】解：,/（x-3）220,石』2°，|z-5|20,

.•.当（x-3）2+7y^4+Iz-5|=0,贝！］（尤-3）2=0,^^^4=0,|z-5|=0.

.•・x=3,y=4,z=5.

...以x,»z的值为边长的三角形的周长是3+4+5=12.

故选：B.

【点评】本题主要考查绝对值、偶次方、算术平方根，熟练掌握绝对值、偶次方、算术平方根的非负性

是解决本题的关键.

16.（2022春•崇川区校级月考）已知旧忑+J后4=0,求（x+y）2。2。的值.

【分析】利用非负数的性质得出x,y的值，代入计算得出答案.

【解答】解：根据题意，得

x+3=0,2y-4=0,

解得：％=-3,y=2,

：.（x+y）2020=（-3+2）2020=l.

即（x+y）2°20的值是1.

【点评】本题考查了非负数的性质，根据题意得出关于X、y的方程是解答此题的关键.

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【过关检测】

选择题（共3小题）

1.（2022春•津南区期中）已知回曲=123,柢=0.123,贝Ux=（）

A.0.15129B.0.015129C.0.0015129D.1.5129

【分析】根据题意可得出1232=15129,据此可得出结论.

【解答】解：：底闻=123,怖=0.123,

.♦.1232=15129,x=0.1232,

.\12.32=151.29,1.232=1.5129,0.1232=0.015129,

.\x=0.015129.

故选：B.

【点评】本题考查的是算术平方根，熟知一般地，如果一个正数X的平方等于°,即/=4,那么这个正

数尤叫做a的算术平方根是解答此题的关键.

2.（2022春•瑶海区期中）若=1Q2，则怖=10.2中的x等于（）

A.1040.4B.10.404C.104.04D.1.0404

【分析】根据算术平方根的定义，算术平方根的小数点移动一位，被开方数的小数点相应移动两位解答.

【解答】解：：au^=io2,

.*.1022=10404,

.,.10.22=104.04,

104.04.

故选：C.

【点评】本题考查了算术平方根的定义，明确算术平方根的小数点移动一位，被开方数的小数点相应移

动两位是解题的关键.

3.（2021秋•泰兴市期末）若方程/=5的解分别为“b,且下列说法正确的是（）

A.5的平方根是aB.5的平方根是b

C.5的算术平方根是aD.5的算术平方根是6

【分析】根据算术平方根、平方根的含义和求法，逐项判断即可.

【解答】解：：/=5的解分别为a、b,

-5的平方根是a、b,

选项A不符合题意；

：/=5的解分别为a、b,

，5的平方根是a、b,

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选项8不符合题意;

V?=5的解分别为a、b,且a>b,

•，-5的算术平方根是a,

，选项C符合题意；

-/?=5的解分别为a、b,且a>b,

/.5的算术平方根是a,

选项。不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数

有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.（2）①被开方数“是非

负数；②算术平方根。本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求

一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.

二.填空题（共8小题）

4.（2021秋•滨海县期末）%，语=7.

【分析】根据开方运算，可得一个正数的算术平方根.

【解答】解：阿=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根.

5.（2022春•定远县校级月考）设a是9的算术平方根，b=（6）2,则a+b=6.

【分析】利用算术平方根定义，二次根式的性质求出a、b.

【解答】解：是9的算术平方根，b=（V3）2,

，a=3,b=3,

〃+。=6；

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根定义，二次根式的性质的运用是解题关键.

6.（2021秋•通州区期末）已知w是正整数，迎击是整数，求”的最小值为6.

【分析】先求出24=22义6”,再根据已知条件得出答案即可.

【解答】解：v^/24n=V22x6n1

又♦..〃是正整数，值面是整数，

：.n的最小值是6,

故答案为：6.

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【点评】本题考查了算术平方根的定义，能正确分解质因数是解此题的关键.

7.（2022春•安庆期中）一个正数的两个平方根分别是2a+5和2a-1,则这个正数为9.

【分析】根据正数的平方根的性质解决此题.

【解答】解：由题意得：2。+5+2〃-1=0.

••-1.

・・・2〃+5=2*（-1）+5=3.

这个正数为9.

故答案为：9.

【点评】本题主要看考查正数的平方根的性质，熟练掌握正数的平方根的性质是解决本题的关键.

8.（2022•凤翔县模拟）36的平方根是±6.

【分析】根据平方根的定义求解即可.

【解答】解：36的平方根是±6,

故答案为：±6.

【点评】本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数.

9.（2021秋•怀化期末）如果一个正数的两个平方根分别为3m+4和2-租，则这个数是25.

【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出血再求出3m+4,然后平方计算即可得解.

【解答】解：根据题意知3»i+4+2-m=0,

解得：m--3,

所以这个数为（3«i+4）2=（-5）2=25,

故答案为：25.

【点评】本题主要考查了平方根的定义.解题的关键是明确一个正数有两个平方根，它们互为相反数；。

的平方根是0;负数没有平方根.

10.（2021秋•泗阳县期末）实数16的平方根是±4.

【分析】利用平方根定义计算即可.

【解答】解：：（±4）2=16,

.，•16的平方根是±4.

故答案为：士4

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.

11.（2022春•崇川区校级期中）将1、播、v目、&按如图方式排列.若规定（m,〃）表示第根排从左向

右第"个数，则（5,4）与（12,3）表示的两数之和是1+g.

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1第1排

万VT第2排

VT1VT第3排

万建1<2第4排

>1~61<T<T第5排

【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数.第三排3个数，第四排4个数，…

第加-1排有Cm-1)个数，从第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+…+Cm-1)个数，根据数的排列

方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第〃?排第w个数到底是哪个数后再计算.

【解答】解：(5,4)表示第5排从左向右第4个数是6，

1

:前11排共有一X11X(11+1)=66(个).

2

/.(12,3)表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，

.,.694-4=17.......1,

(12,3)表示的数是1,

两数之和是1+V2.

故答案为：1+0.

【点评】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目找准变化规

律是关键.

三.解答题(共5小题)

12.(2022春•港闸区校级月考)求下列各式中x的值：

(1)3?-12=0；

(2)(x+1)3=-8.

【分析】(1)首先表示出把等号左边化为/,再利用平方根可得答案；

(2)直接利用立方根的性质计算得出答案.

【解答】解：(1)37-12=0,

3X2=12,

/=4,

解得：x=±2；

(2)(x+1)3=-8,

x+l=-2,

解得：x=-3.

【点评】此题主要考查了平方根、立方根，正确掌握相关定义是解题关键.

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13.（2021秋•盐都区月考）已知3a-1的算术平方根是6，2是30+8-1的平方根，求。+26的平方根.

【分析】根据算术平方根的定义列式求出。的值，再根据平方根的定义列式求出6