浙教版八年级数学下册复习提优训练：矩形的性质与判定（原卷版）

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（浙教版）

专题10矩形的性质与判定

【考点一】矩形的性质与判定综合考

例题：（辽宁•沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC、8。相交于点O,AD//BC,

ZADC^ZABC,OA=OB.

图1图2

⑴如图1,求证：四边形ABCD为矩形；

（2）如图2,P是AD边上任意一点，PE±BD,PFLAC,E、尸分别是垂足，若AD=16,AB=12,求PE+PF

的值.

【变式训练】

1.（江西萍乡.九年级期末）如图，在uABCD中，于点E,延长至点孔使CF=BE,连接AP,

DE,DF.

⑴求证：四边形AEFD为矩形；

⑵若AB=3,DE=4,BF=5,求D尸的长.

2.（广东•深圳市龙岗区百合外国语学校三模）如图，已知平行四边形ABCO中，M,N是8。上两点，且

=DN,AC=2OM.

⑴求证：四边形AMCN是矩形；

（2）若NBAD=135。，CD=2,ABrAC,求对角线MN的长.

3.（湖南•长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，在口A3CZ）中，对角线AC与相交于点。，点

E,尸分别为。2,0。的中点，延长AE至G,使EG=AE,连接CG.

⑴求证：AABE竺△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

4.（江苏・启东市长江中学八年级阶段练习）如图，在，ABC中，/ABC=90。，点。是斜边AC的中点，过

点。作OELAC,交于点E,过点A作AD〃BC,与2。的延长线交于点。，连接CO、DE.

⑴求证：四边形A3CD是矩形；

⑵若3C=3,ZBAC=30°,求QE的长.

5.（广西•灵山县那隆第一中学八年级期中）如图，E,F,G,8分别是四边形ABC。各边的中点，连接EFGH

⑴求证：四边形EFG”是平行四边形；

（2）请再添加一个条件，使得四边形EFG，是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）.

6.（陕西•西安市曲江第一中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCQ中，对角线AC、8。相交于点O,

BEIIAC交。C的延长线于点E,且BD=BE.

⑴求证：四边形ABCD是矩形；

⑵若NOBC=30。，BO=6,求四边形ABED的面积.

7.（广东•深圳市福田区北环中学九年级阶段练习）在平行四边形ABCQ中，NBAD=a,平分NAOC,

交对角线AC于点G,交射线A3于点E,将线段班绕点E顺时针旋转;a得线段EP.

⑴如图1,当a=120。时，连接AP,请写出线段AP和线段AC的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,当a=90。时，过点3作8凡LEP于点R连接AR请直接写出线段ARAB,AD之间的数量关

系；

(3)当a=120。时，连接AP,若BE=；AB,请直接写出△APE与△COG面积的比.

【考点二】矩形中的折叠问题

例题：(湖北省崇阳县第一中学八年级期中)如图，在矩形ABC。中，E是3c上一动点，将△ABE沿AE折

叠后得到AAEE,点尸在矩形ABC。内部，延长A尸交C。于点G,AB=3,AD=4.

图1图2图3

⑴如图1,当ND4G=30。时，求BE的长；

⑵如图2,当点E是2C的中点时，求线段GC的长；

⑶如图3,点E在运动过程中，当ACPE的周长最小时，直接写出BE的长.

【变式训练】

1.(江苏・洪泽外国语中学八年级阶段练习)矩形ABCD的边长AB=18cm,点E在BC上，把沿AE

折叠，使点2落在C。边的点尸处，ZBA£=30°.

图1图2

⑴如图1,求。尸的长度;

(2)如图2,点N从点厂出发沿FD以每秒Ie:”的速度向点。运动，同时点P从点A出发沿AF以每秒2c7"

的速度向点F运动，运动时间为，秒(0</<9),过点尸作于点

①请证明在N、尸运动的过程中，四边形RVMP是平行四边形；

②连接NP,当/为何值时，△初VP为直角三角形？

2.(江苏无锡•八年级期末)如图，长方形纸片A3C。中，AB=8,BC=12,点、E、尸分别在边AD和边BC

上，连接EF,将纸片沿EF折叠.

图⑴图⑵

(1)如图(1),若点2落在边的延长线上的点G处，求证：GE=GF；

(2)如图(2),若点2落在边CD的中点M处，求3尸的长.

3.(湖南•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末)如图，四边形ABCD中，AD//BC,

NA=N£>=90。，点E是AD的中点，连接将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在四边形ABC。

内部，延长BG交DC于点R连接EE

⑴求证：四边形ABCD是矩形；

⑵求证：GF=DF；

⑶若点AB=6,BC=8,求OF的长.

4.（江苏•无锡市东林中学八年级期中）在四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=Z0=90°,AB=CD=10,

BC=AD=S.

（1）尸为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点8落在点E处）.

①如图①，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即AAE尸的位置，不

写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时OE=—.

②如图②，PE与CO相交于点RAE与CO相交于点G,>FC^FE,求B尸的长.

（2）如图③，已知点。为射线BA上的一个动点，将ABC。沿CQ翻折，点8恰好落在直线。。上的点2,

处，求2。的长.

5.（全国•八年级专题练习）在长方形纸片ABCO中，点E是边C。上的一点，将AAED沿AE所在的直线折

叠，使点。落在点尸处.

（1）如图1,若点尸落在对角线AC上，且NBAC=54。，则ND4E的度数为°.

（2）如图2,若点尸落在边BC上，且AB=CO=6,AO=BC=10,求CE的长.

（3）如图3,若点E是C。的中点，A尸的延长线交BC于点G,且AB=CD=6,AD=BC=10,求CG的长.

6.（湖南•长沙市雅礼实验中学九年级阶段练习）如图，四边形0ABe为矩形，其中。为原点，A、C两点

分别在x轴和y轴上，点8的坐标是（4,6）,将矩形沿直线。E折叠，使点C落在边上点尸处，折痕

分别交0C、BC于点E、D,且点。的坐标是（1,6）.

（1）求2尸的长度；

（2）如图2,点P在第二象限，且△P但△CED,求直线PE的解析式；

（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N,使以M、N、D、P为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2备用图

【考点三】矩形中的动点问题

例题：(江苏无锡,八年级期中)如图1,已知长方形ABC£>,AB=CD=2,BC=AD=3,ZA=ZB=ZC=

ND=90。，E为CD边的中点，尸为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着Af2fC玲E运动到

E点停止，设点尸经过的路程为x,AAPE的面积为y.

(1)当x=l时，y=；当x=5.5时，>=；

(2)如图2,求出当点P边BC时，用x的代数式表示y；

(3)如备用图，当尸在线段BC上运动时，是否存在点P使得AAPE的周长最小？若存在，求出此时2必。

的度数；若不存在，请说明理由.

【变式训练】

1.(吉林・长春市第八十七中学八年级阶段练习)如图，矩形A3CD中，AS=12cm,BC=6cm,动点尸以2cm/s

的速度从点A出发沿折线AB-3C向终点C运动，动点。以2cm/s的速度从点D开始沿折线D4-向终

点B运动，如果点尸、。同时出发，设点尸运动的时间/秒，-CP。的面积为S.

(1)当才=秒时，点Q到达点A,当/=时，点Q到达点5.

(2)当/为何值时，一。4尸为等腰直角三角形？

(3)表示一CP。的面积S(可用含有r的代数式表示)，请直接写出结果.

2.(全国•九年级)如图，已知矩形ABC。，AD=4,CD=10,尸是AB上一动点，M、N、E分别是P。、PC、

CO的中点.

（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；

（2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由.

3.（江苏•苏州市吴江区实验初级中学八年级阶段练习）如图，.ABC中，点。是AC边上的一个动点，过

点。作直线MN〃:BC,交N4CB的平分线于点E,交N4cB的外角平分线于点尸.

（1）判断0E与O尸的大小关系？并说明理由；

（2）当点。运动到何处时，四边形AEC尸是矩形？并说出你的理由;

4.（江苏•八年级专题练习）如图，已知长方形的边AD=8,AB=4,动点M从点A出发，以每秒2个单位

长度的速度沿A玲D玲A的路径匀速运动，同时，动点N从点C出发，沿C玲8方向以每秒1个单位长度的

速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，秒.

（图一）（图二）

（1汝口（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度;

⑵当时，直接写出为直角三角形时的运动时间/的值;

（3）如（图二），当4</<8时，判断-AMN的形状，并说明理由.

5.（甘肃,兰州H^一中九年级阶段练习）如图1,在AABC中，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，AN

为△ABC的外角NBAM的平分线，BE工AN,垂足为E.已知4。=4,80=3.

（1）求证：四边形ADBE是矩形;

（2）如图2,延长AD至点孔使AF=AB,连接3尸，G为BF的中点，连接EG,DG.求EG的长.

（3）如图3,在（2）问的条件下，尸为BE边上的一个动点，连接PG并延长交延长线于点。，连接

CQ,”为CQ的中点，求点尸从E点运动到B点时，点〃所经过的路径长.

6.（江苏•无锡市天一实验学校八年级期中）如图①，在长方形。43c中，。为平面直角坐标系的原点，点

A的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,6）,点8在第一象限.点尸从原点出发，以每秒2个单位长度的

速度沿着。-4B-C-。的路线匀速移动（即：沿着长方形移动一周）.点尸移动的时间为保

(1)点2的坐标为；当f=4s时，点尸的坐标为.

(2)在移动过程中，当点尸到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间.

(3)如图②，若将长方形OABC沿着AC翻折，点B与点9重合，边与y轴交于点E,求出点E的坐

标.

7.(浙江•温州市第四中学九年级期中)已知：如图1,在长方形ABCD中，AD//BC,AB=4,AD=BC=10,

点P是AD边上的动点，将人钻尸翻折得延长PE交BC于点E连结EC.

(1)求证：FP=FB.

(2)如图2,当4EC=90。时，点P与点C刚好重合.求此时AP的长.

(3)如图3,连结CP,在点尸运动过程中，当和一PCE面积相等时，则AP=.(直接写出答案)

【考点四】矩形中的作图问题

例题：(江苏镇江•九年级期末)如图，已知矩形ABC。(AB<AD).E是BC上的点，AE=AD.

D

BL

（常用图）

⑴在线段CD上作一点R连接所，使得NEFC=NBE4（请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹卜

⑵在（1）作出的图形中,若AB=4,AD=5,求OF的值.

【变式训练】

1.（江西•崇仁县第二中学九年级期中）已知：矩形ABCD,点M是AD的中点，点E在AM上，请用无刻

度尺画图：

A/

（1）在图甲中，在边3c上找一点用,使Cg=AE；

（2）在图乙中：在边3c上找一点心，使BE2=AE.

2.（湖北省直辖县级单位•八年级阶段练习）如图，矩形A3CD中，点E在3c上，且隹=EC,试分别在下

列两个图中按要求使用无刻度直尺画图.（保留作图痕迹）

（1）在图1中，画出NDAE的平分线;

（2）在图2中，画出/AEC的平分线.

3.(江苏•常州市第二十四中学八年级期中)如图，矩形A