直线与平面平行-高一数学知识梳理考点（人教B版）

第十一章立体几何初步

11.3空间中的平行关系

11.3.2直线与平面平行

知识梳理

1.直线与平面的平行

位置关系直线〃在平面a内直线a与平面a相交直线。与平面a平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示aUa6zAot=Aa//a

--------a

图形表示Z-/

2.直线与平面平行的判定定理及性质定理

定理条件结论图形语言符号语言

平面外的一条直线与

la,

这条直线与这个__1

判定定理平面内的一条直线平mu。，=>l//a

平面平行

行a"1//m,

一条直线与一个平面

/〃a,

平行，且经过这条直这条直线与两平

性质定理luB,；=/〃m

线的平面与这个平面面的交线平行1m7

相交

常见考点

考点一判断线面平行

典例1.下列说法中，与"直线"II平面屋等价的是（）

A.直线。上有无数个点不在平面a内

B.直线a与平面a内的所有直线平行

C.直线a与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

【答案】D

【解析】

【分析】

A.由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的性质来判断，C.由无数条不代表所有的来

判断，D.由直线与平面平行的定义来判断

【详解】

A.无数个点不是所有点，所以不正确;

B.可以平行可以异面，所以不正确；

C.无数条直线不是所有的直线，所以不正确;

D.由直线与平面平行的定义，正确.

故选：D.

变式11.在五棱台A8CDE-A4/GDE/中，F,G分别是A4/和8历上的点，且讨=可，则/G

r/ijVJDX

与平面ABCDE的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.ABCDED.无法判断

【答案】A

【解析】

【分析】

由线面平行的判定定理得结论.

【详解】

A/BG

五棱台中，ABIIA/B/,.•.四边形是梯形，.-.FG\\AB.MABCDE,ABu

Cr/J,

平面A8COESGII平面ABCDE.

故选：A.

变式12.如图所示，在空间四边形ABC。中，E,尸分别为边AB,上的点，＞AE：EB=AF：FD

1：4,又“，G分别为8C,CD的中点，则（）

A

A.BD〃平面EFGH,且四边形EFG”是矩形

B.EF〃平面BCD,且四边形EFG”是梯形

C."G〃平面ABD,且四边形EEGH是菱形

D.E"〃平面AOC,且四边形EFG"是平行四边形

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断四边形EFGH的形状，再去判断线面是否平行即可解决.

【详解】

△A3。中，AE：EB=AF：FD=1：4,则EF〃BD,=

△BCD中，BH=CH,DG=CG,HG//BD,=

则EF//HG,HG>EF,则四边形EFGH是梯形.故选B.

下面看四个平行的判断是否正确.

BD//EF,EFI平面跖GV.BDN平面EFGH,则比>〃平面ERG”.判断正确；

BD//EF,8。1平面BCD,EF<Z平面BCD,则所〃平面BCD判断正确；

HG//EF,EFI平面/平面ABD,则"G〃平面判断正确；

梯形EFG"中，EF//HG,HG>EF,HE与G尸的延长线会交于一点，则直线EH与平面AOC的位

置关系为相交.

故选：B

变式13.如图，在下列四个正方体中，A3为正方体的两个顶点，M、N、。为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线A3与平面MNQ平行的有（）个

④.

A.1B.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用线面平行的判定方法逐个分析判断即可

【详解】

对于①，如图取底面中心。，连接0Q,由于。为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得OQII

因为OQ与平面相交，所以A3与平面相交,

对于②，如图连接4瓦，因为分别为AG，耳£的中点，所以因为A3||A4,所以

WAB,因为AB<Z平面MNQ,MQI平面MNQ,所以AB||平面"AQ,

对于③，如图，连接4瓦，则4例|4蜴，因为M，。分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可

得所以因为ABU平面脑V。，MQI平面肱VQ,所以A3||平面MNQ,

对于④，如图，连接A耳，则A3IIA4，因为N,0分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可

得NQ||A再，所以NQIIAB,因为ABcz平面MVQ,NQu平面MNQ,所以A3||平面MNQ,

所以直线A3与平面MNQ平行的有3个,

故选：C

考点二证明线面平行（中位线法则）

典例2.如图，几何体的底面A3CD为平行四边形，点M为PC中点，证明：〃平面

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

连接AC交8。于点。，连接。"，证明0M〃而，即可证明E4〃平面

【详解】

证明：连接AC交8。于点0,因为底面A5CO为平行四边形，所以。为AC中点,

在中，又“为PC中点，所以0M〃B4,

又出，平面8DW,OMu平面

所以B4〃平面BDM.

变式21.如图所示，在三棱柱ABC-A#G中，。为AC的中点，求证：A4〃平面BCQ

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

连接与C交BG于。，连接。。，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得。D//4瓦，然后利

用线面平行的判定定理可证得结论

【详解】

证明：如图，连接4c交2G于。，连接

•.•四边形BCCK是平行四边形.二点。为与C的中点.

：D为AC的中点，.•・0D为VABC的中位线，./阴.

•••0Du平面BCQ,AB}<z平面BC.D,ABJ/平面BQD.

变式22.如图所示，在棱长为2的正方体ABCZM/Ba。/中，E,尸分别为DDi,的中点.求证:

E/〃平面ABC/。/.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由E为DD的中点，/为8。的中点，得EE为△8。。/的中位线，所以EF//BD1,从而可证明线

面平行.

【详解】

如图，连接8D/,在△8OD中，

因为E为。。/的中点，歹为8。的中点，

所以Eb为的中位线，所以EF//BD,

又BO/u平面AB。。/,EFC平面ABQD,

所以EF//平面ABC/D.

变式23.在三棱柱ABC—4B］的中，ABLAC,平面ABC,E,P分别是AC,的中点.求

证：EV〃平面MG.

【答案】证明见解析.

【解析】

通过三角形的中位线证得EF//A瓦，由此证得打〃平面AB&.

【详解】

因为瓦尸分别是AC,3c的中点，

所以所是三角形神。的中位线，

所以EH/A%

又成《平面AB©,Agu平面ABC,

所以跳7/平面MG.

考点三证明线面平行（平行四边形法则）

典例3.如图，在直三棱柱ABC-A与G中，M，N分别是AC和网的中点,求证：肱V〃平面物。.

【答案】证明见解析

【解析】

取AC的中点。，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形DMNB、为平行四边形，可得MN〃BtD,

再根据线面平行的判定定理即可证明结果.

【详解】

证明：取AC的中点D,连接MD,BtD.

-：M,D分别为AC,的中点，.•.MD//A4且儿亿＞

又N为比8的中点，.•.耳N//A4,且即V=：A4,,

MDgN且MD=4N,.•.四边形DMNB、为平行四边形，

・•・AW平面A^C,4Du平面AS。，

.•.AW〃平面44c.

【点睛】

本题主要考查了平行线的传递性和线面平行的判定定理，属于基础题.

变式31.如图，四棱锥P-ABCD中，24,底面ABC。，ADHBC,BAD=90,AD=2BC,M为

尸。的中点.

证明：CM//平面R4B；

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

取的中点N,连接BN,MN,易知四边形3CMV为平行四边形，则有CM//&V,利用线面平行

的判定可证结论.

【详解】

证明：取上4的中点N,连接BN,MN,

・•・M，N分别为P2PA的中点，则肱V//AD且MN=gAO,又3C〃AD且=，

:.BC/IMN且BC=MN,故四边形BCWN为平行四边形，即。W//3N,

•••CM<ZI]PAB,BNu面上48,

.•.CM〃平面PLB.

变式32.如图,在长方体ABCD-A^C^中,E为A3的中点,F为CG的中点.证明：E尸〃平面ACtD.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

取CQ的中点G,连接GRAG,证明四边形AEFG为平行四边形，进而有AG〃斯，然后根据线

面平行的判断定理即可证明.

【详解】

证明：取的中点G,连接GRAG,

因为G为G。的中点，/为CG的中点，所以G尸〃且。=2G凡

又E为的中点，AB=CD,AB//CD,所以AE〃GF且AE=GR

所以四边形AE/G为平行四边形，所以AG〃所，

因为AGu平面AG。，EW平面

所以所〃平面AG。.

变式33.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，E,P分别为AD,PB的中点,

求证：EFII平面PCD

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

取PC中点G,连接FG,GD,则由三角形的中位线定理可得尸G〃BC,且FG=g8C,而由已知可

得ED//BC,DE=^BC,从而有£D〃尸G,且ED=FG,得到四边形跖GZ）为平行四边形，进而有

EF//GD,再线面平行的判定定理可证得结论.

【详解】

如图，取尸C中点G,连接/G,G£).

•••尸，G分别为PB和PC的中点，

FGHBC,JLFG=|BC.

•••四边形A3CD为平行四边形，且E为AD的中点，

.-.ED//BC,DE=-BC,

2

.-.ED//FG,且即=R7,

四边形EFGD为平行四边形，

,-.EF//GD.

又EFU平面尸CD,GQu平面尸CD,

•••E尸II平面PCD

【点睛】

此题考查了线面平行的判定，考查了三角形的中位线定理，考查推理能力，属于基础题.

考点四线面平行的性质

典例4.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，且平面ABCD,设平面PAD与平面P3C的

交线为/,证明：IHBC.

p

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

证明出BC//平面APD,利用线面平行的性质可证得结论成立.

【详解】

证明：因为四边形ASC。为正方形，

•••8CZ平面BID,ADu平面PAD,3C7/平面PAD,

•.•BCu平面P3C,平面PBCA平面上4。=/,因此，1//BC.

变式41.如图，A8是圆0的直径，点C是圆。上异于48的点，P为平面A8C外一点，E,F

分别是PA,PC的中点.记平面3E尸与平面ABC的交线为I,试判断直线/与平面PAC的位置关系，

【答案】/〃平面朋C,证明见解析

【解析】

【分析】

先证明跖〃AC,即可证明所〃平面ABC,利用线面平行的性质定理可说明所忆根据线面平行

的而判定定理即可证明/〃平面R1C

【详解】

直线/〃平面PAC.

证明如下：

因为E,E分别是B4,PC的中点，

所以EF〃AC.

又EF0平面ABC,且ACu平面ABC,

所以所〃平面ABC

而EFu平面BEE且平面BMC平面ABC=l,

所以EF〃/.

因为平面抬C,£Fu平面B4C,

所以/〃平面PAC.

变式42.如图E、H分别是空间四边形ABC。的边AB,AD的中点，平面C过E"分别交BC、CD

于不G,求证：EH//FG.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

先证明E"〃平面BCD,再由线面平行的性质可得.

【详解】

因为E、”分别是AB,AD的中点，所以EH//BD,

因为E"cZ平面BCD,fiDu平面BCD,所以E"〃平面BCD,

因为EHucr,平面々口平面3co=FG,所以EH〃FG.

变式43.如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH,求证：CD〃平面EFGH.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据线面平行的判定定理、性质定理即可得证

【详解】

因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EF//GH,

因为G"u平面8c。，EFa平面BCD,

所以历//平面BCD,

又因为防u平面AC。，且平面AC£>n平面BCD=CE>,

所以斯//CD,

又因为CD平面EFGH,EFu平面EFGH,

所以CD〃平面EFGH

考点五根据线面平行确定点所在位置

典例5.如图，已知平面ABC,EC,平面ABC,AB=AC=AD=^BC,设尸是直线鸵上的

点，当点尸在何位置时，直线。尸〃平面ABC?请说明理由

【答案】点P是班的中点，理由见解析.

【解析】

【分析】

先确定点尸是BE的中点，取BC的中点。，连接40、OP、PD,证明四边形A0PQ是平行四边形,

可得DP//A0,即可得证.

【详解】

解：当点尸是班的中点时，DP//nABC.

理由如下：如下图，取BC的中点。，连接47、OP、PD,则OP//EC且OP=；EC,

因为AD,平面ABC,EC,平面ABC,所以AD//EC.

又AO=gEC,所以QP//A。且O尸=AD,

所以四边形AOPO是平行四边形，所以。P//A0,

因为AOu平面ABC,DPO平面ABC,所以。P//平面ABC.

所以当点P是BE的中点时，£＞尸//平面ABC.

变式51.如图1,在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZR4D=90。，AB=4,AD=2,DC=3,点E在

CD±,且DE=2,将AADE沿AE折起，使得平面ADEL平面AfiCE（如图2）.G为AE中点

问题：在线段上是否存在点尸，使得CP〃平面必?？若存在，求言的值；若不存在，请说明

BD

理由.

【答案】存在；器RP=;3.

【解析】

【分析】

BP3

当项;=：时，过点c作CP//AE交AB于点P,过点F作EP//AD交D3于点P,连接PC,由线面平

BD4

行的判定定理可得CP〃平面ADE,EP〃平面ADE,再由面面平行的判定定理可得，平面CFP〃平

面ADE,从而可得CP〃平面ADE,

【详解】

解：存在点P,使得CP〃平面ADE,

BP3

且防="

过点C作CF//AE交A3于点F,

则AF:FB=1:3,

过点F作FP//AD交DB于点P,连接PC,

则DP:PB=1:3,

又因为CT//AE,AEu平面ADE,CF仁平面ADE,

所以C尸〃平面ADE,

同理FP〃平面ADE,

又因为CFcPF=尸，bu平面CFP,尸产u平面CFP,

所以平面CFPH平面ADE.

因为CPu平面CFP,

所以CP〃平面ADE.

所以在上存在点尸，

使得CP〃平面ADE,且需=1•

变式52.如图，在直三棱柱ABC-A用G中，点M,N分别为线段AB,AQ的中点.

BDC

(1)求证：MW/平面8与GC；

CD

(2)若。在边3c上，DN〃面AB4A，求一的值.

DB

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位线定理得到MNIIBC,进而利用线面平行的判定定理证明；

(2)利用线面平行的性质定理可得DV||A,'进而得到四边形肱VD3为平行四边形，从而得到所

求.

【详解】

解：(1)•••点分别为线段AB,AG的中点3.MN||2C,

又：MNS平面BBCC,BCu平面BBgC,

・•.MZV〃平面84GC；

(2)rONII面AB4A，DNu平面4BC,平面。平面A^C=$8,.-.DNW^B)

又「MN||BC,.•.四边形MM阳为平行四边形，

BD=MN,又；MN为A、BC的中位线，二BC=2MN,BC=2BD,:.CD=DB,

CD,

•*.-1.

DB

【点睛】

本题考查线面平行的判定与性质，属基础题.

变式53.如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=4,CD=2,点/在棱尸。

(1)求证：C£>〃平面FAB；

PM

(2)若P3〃平面MAC,求示的值.

MD

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】

(1)由已知AB//CD结合线面平行的判定定理可得出结论；

(2)连接8。交AC于0,连接OM,由线面平行的性质定理可得出BB//OM,禾！J用ACOD〜AAC©计

算出黑的值，进而可求得粤的值.

ODMD

【详解】

(1)因为CD//AB,C0C平面RIB,ABi平面丛瓦所以C£>〃平面9B；

(2)连接3D交AC于0,连接OM,

因为PBH平面MAC，且PBu平面PBD,平面PBDPl平面MAC=M0,所以PB//MO,NDOM〜ADBP,

PMOB

MD-OD

CDHAB,易得ACOD~AAOB,则，。口==2，

PM_

因此,

【点睛】

本题考查线面平行的判定，同时也考查了线段长度比值的计算，涉及线面平行性质定理的应用,

考查推理能力与计算能力，属于基础题.

巩固练习

练习一判断线面平行

1.设6是一条直线，a是一个平面，则由下列条件不能得出的是（）

A.b与。内一条直线平行

B.6与。内所有直线都没有公共点

C.6与。无公共点

D.匕不在a内，且与a内的一条直线平行

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线面平行的定义和判定定理依次判断选项即可得到结论.

【详解】

对于A,若bua,也满足与a内一条直线平行，但无法得出b//a；

对于B,6与a内所有直线都没有公共点，即6与面。无公共点，可以得出6〃a；

对于C,2与。无公共点，满足线面平行定义，可以得出力/a；

对于D,根据线面平行判定定理可知可以得到

故选：A.

2.如图，一块矩形木板A8CD的一边在平面a内，把这块矩形木板绕A8转动，在转动的过

程中，AB的对边CD与平面a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.在平面a内D.平行或在平面a内

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面平行判定定理的条件可得.

【详解】

在旋转过程中，CD\\AB,易得CD||a或CDua.

故选：D.

3.在正方体ABCO-48/。。/中，与平面ACQ4平行的棱共有（）

A.2条B.3条C.4条D.6条

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方体的结构可得选项.

【详解】

如图所示，正方体中，与平面ACC/A/平行的棱是38/和。。/,共有2条.

4.如图所示，四边形EbG”为四面体A8CD的一个截面，若有==;="，则与平面EWG”平

CEFCGD

行的直线有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【解析】

【分析】

由光=黑可得EF//AA,由箓=黑可得FGIICO,再由线面平行的判定定理可得结果

C/SrCrCCr/J

【详解】

AE_BF

---,..EF//AB.

XEFGH,A8,平面ERG”,

••.AB//平面EFGH.

日诋,BFBG

同理'由耘=而'

可证CD〃平面EFGH.

・••与平面EEG”平行的直线有2条.

故选：C

练习二证明线面平行（中位线法则）

5.已知：如图，P是平行四边形ABCO所在平面外一点，E是PD中点,

求证：P8II平面EAC

【答案】见解析

【解析】

【分析】

连接BD,交AC于0,连接E。，可证E0II8P,从而得证.

【详解】

如图，连接8D,交AC于0,连接E。，

有已知可得E0为三角形D3P的中位线，即有EO\\BP,

又因为尸3（Z平面E4C,E0u平面E4c

所以PBII平面EAC.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定，构造平行线是证明的关键.

6.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABA.AC,PALnABCD,且=

点E是的中点.求证：PB//平面AEC.

【答案】证明见解析

【解析】

根据图像，连接3D,与AC相交与。，连接EO,ABC。是平行四边形，。是3。的中点，根据中位

线的性质即可得证.

【详解】

如图，

连接3D,与AC相交与。，连接E。，

・••ABC。是平行四边形，

二。是的中点，

又E是PZ）的中点，

.-.EO//PB,

又依仁平面AEC,EOu平面AEC,

.•.P3〃平面AEC.

7.在直三棱柱ABC-AgG中，ZR4C=90°,且A41=A2=AC,。是2C中点，求证：〃平面世。

【答案】见解析

【解析】

连接A8交于点M,根据中位线定理可知MO〃AC,然后利用线面平行的判定定理，可得结

果.

【详解】

连接4乃交4用于点M,连接MO,如图

在中，M,。分别是A/和8c的中点,

所以MO〃AC,

因为MOU平面做O,ACa平面AB0,

所以ac〃平面做O.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理，识记定理的表达以及书写，属基础题.

8.如图，在正方体ABCD-AqCQ中，M为。，的中点，AB=2.求证：2n〃平面ACM；

【答案】证明见解析

【解析】

连接B。交ZC于0,根据中位线定理可知BD〃/。M,然后根据线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】

连接80交4C于0,连接。M,

•••0M为△或必的中位线，

.-.BDi/fOM,

由BDU平面ZCM,OMu平面ACM

则BD〃/平面ACM.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理，识记定理的表达以及书写，属基础题.

练习三证明线面平行（平行四边形法则）

9.如图所示，尸为平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别为AB,PC的中点.求证：MNH

平面PAD.

【答案】证明见解析

【解析】

取尸D的中点E,连接E4，EN,根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.

【详解】

证明：取的中点E,如图所示，连接E4,EN.

■■E,N分别为PD,PC的中点，.•.EN〃CD,且£W=gc£）.

••・四边形ABCD为平行四边形，〃为的中点，

.,・AM7/CD且AM=；，.•.AM,EN平行且相等，

.•・四边形AWE为平行四边形，.•.MN//AE.

又AEu平面B4D,肱V.平面B4D,

.•.MV〃平面PAD.

【点睛】

本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.

10.如图，A3CO和AB印都是正方形，M&AC,NwFB,且4W=KV.证明：肱V〃平面3CE.

【答案】见详解

【解析】

【分析】

由线面平行的判定定理即可证明结论.

【详解】

作MG//AB交2C于G,作NHHEF交BE千H.

连结G"，则CM:C4=MG:AB,BN:BF=NH:EF,

又AM=FN,AC^BF

故CM=BN,

于是MG=NH,且MG//NH.

四边形MNHG为平行四边形，

故MNHGH.

Gau平面BCE,W平面3CE,

MN//平面BCE

11.如图，已知四棱锥A—3CDE,其中钻=3C=AC=8E=1,CD=2,CD_L平面ABC,BE!/CD,

尸为AD的中点.

求证：EF〃平面A3c.

D

B

【答案】证明见解析

【解析】

取AC中点G,连接尸G,BG,根据线面平行的判定定理，结合题意，即可得出结论成立.

【详解】

证明：如图，取AC中点G,连接FG,BG.

D

B

■-F,G分别是AD,AC的中点，

FG//CD,^FG=-DC=\.

2

BE//CD,BE=1,:.FG//BE且FG=BE,

••・四边形EFGB是平行四边形，

：.EFHBG.

••♦砂0平面ABC,BGu平面ABC,

.•.EP〃平面ABC.

【点睛】

本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.

12.如图，在正方体ABCO-ABCQ中，E,尸分别是棱BC,G2的中点，求证：EF〃平面

【答案】证明见解析

【解析】

取24的中点。，连接OF,OB,根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立.

【详解】

证明：如图，取。声的中点。，连接OF,OB,

易得O"BC且o公/c.

又BE//BG且BE=：BG,OF//BE且OF=BE,

••・四边形OFEB是平行四边形，EF//OB.

■■EFU平面BDRBi,BOu平面BDD国,

；.EF〃平面BDD同.

【点睛】

本题主要考查证明线面平行，熟记线面平行的判定定理即可，属于常考题型.

练习四线面平行的性质

13.如图，在四棱锥P-ABCD中,E是棱PC上一点，底面ABCD是正方形，平面A3E与棱尸£＞交于点F,

平面尸CD与平面R4B交于直线/.求证

【答案】证明见解析

【解析】

根据两个平面相交,一个平面内的直线平行另一个平面，即平行于两个平面交线，即可求得答案.

【详解】

底面A3CD是正方形，

AB\\CD,

又ABU平面PCD,CDu平面PCD,

AB||平面尸CD.

又A,B,E,尸四点共面，且平面钻石尸0平面PCD=EF,

AB\\EF.

又：平面与平面PCD交于直线/,

■-l\\EF.

【点睛】

本题考查了证明空间两条直线平行问题，解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空

间想象能力,属于基础题.

14.如图所示，在多面体aqq-OCBA中，四边形ADDA,ABC。均为正方形，E为g

的中点，过A，D，E的平面交卬于尸.

证明：EFHBXC.

【答案】见解析

【解析】

通过四边形4绰少为平行四边形，可得4C//4。，利用线面平行的判定定理即得结论;

【详解】

证明：■.-B,C=AiD^AlBl=CD,

二四边形为平行四边形，

/.B[CIIAD,

又,••30仁平面4砂。，4。匚平面4跖。

B}c//平面A.EFD,

又因为平面AEFDC平面BtCDt=EF,B'u平面Bg,

EF//B.C；

【点睛】

本题考查线面平行的判定及性质定理的应用，属于基础题.

15.如图所示，三棱柱ABC-ABC中，点V，N分别是线段AG，45的中点，设平面MN片与平

面BCC内的交线为/,求证：MN//1.

【答案】证明见解析

【解析】

先连接G'由题意，根据线面平行的判定定理，得到〃平面BCC由，再由线面平行的性质,

即可得到

【详解】

证明：如图所示，连接G8,在VABG中，点"，N分别为AG,43的中点,

所以MN〃qB.

又加N<z平面BCGA,BC]U平面BCGB],所以肱V〃平面BCC[B].

又MNu平面⑼鹤，平面MNB]c平面Bec4=/,所以ACV/〃.

【点睛】

本题主要考查证明线线平行，熟记线面平行的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.

16.如图所示，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一

点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP//GH.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

连接AC交BD与0,可证PA〃平面BDM,再利用线面平行的性质定理即可证得GH〃AP.

【详解】

证明：如图，连接AC交BD于点0,连接M0.

M

■■在AAPC中，MO是AAPC的中位线，

MOHPA

又：PAN平面MBD,MOu平面MBD,

PA〃平面MBD

又・.・平面GAPCl平面BDM=GH,PAu平面GAP

PA//GH

练习五根据线面平行确定点所在位置

17.在如图所示的多面体中，四边形45稣4,和ACC/都为矩形.设E分别是线段BC,CG的中

点，在线段上是否存在一点加，使直线。初/平面&WC?请证明你的结论.

【答案】存在，证明见解析

【解析】

根据题意，先得到当M是的中点时，直线上〃平面4〃C；再连接MC,4G，4。，设。为4。，

AG的交点，连接MD,OE,MO,由线面平行的判定定理，即可证明结论成立.

【详解】

存在.当河是的中点时，直线DE//平面4MC.证明如下：

如图所示，连接MC,AG，AC,设。为AC,AG的交点.

B

由已知得。为AG的中点.

连接MD,0E,则八0，0E分别为AABC,4476的中位线，

所以且MO=gAC,OE//AC^.OE=AC,

因止匕MD//OE且MD=OE.

连接MO,则四边形为平行四边形，所以DE//MO.

因为直线平面AMC,MOu平面A"C,

所以直线OE〃平面4