五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题14 空间向量与立体几何（解答题）6种常见考法归类（全国）（解析版）

专题14空间向量与立体几何（解答题）

6种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01平行关系的判定

1.线面关系证明是基础必考题

知识1线面关2025·上海2023·全国乙卷2022·全国甲卷

平行关系（如线面平行、面面平行）

系的证明考点垂直关系的判定

02和垂直关系（线面垂直、面面垂直）

（年考）

542023·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国甲卷

的判定是解答题的“保底”考点，

全国乙卷

2021·题目通常以常见几何体（棱柱、棱

考点03求异面直线所成的角锥、棱台等）为载体，要求结合几

2025·全国一卷2021·上海何定义、判定定理进行逻辑推理，

考点04求直线与平面所成的角强调对空间线面位置关系的直观

2025·北京2024·上海2023·全国甲卷2022·上感知与严谨论证能力，难度中等，

海是得分的关键环节。

2022·浙江2022·全国甲卷2022·全国乙卷2.空间角的计算是高频重难点

北京浙江空间角（异面直线所成角、直线与

知识2空间角2022·2021·

考点求面面角或二面角平面所成角、二面角）的求解在近

（5年5考）05

2025·全国二卷2025·天津2024·新课标Ⅰ卷5年保持“5年5考”的高频态

2024·新课标Ⅱ卷2024·全国甲卷2024·北京势，其中二面角是绝对核心（几乎

2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·北京每年必考，覆盖全国卷、地方卷多

2023·上海2023·全国乙卷2022·新高考全国Ⅰ卷个地区），其次是直线与平面所成

2022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全角，异面直线所成角偶有涉及。题

国Ⅰ卷2021·新高考全国Ⅱ卷2021·全国甲卷目通常需要结合空间向量法（建

2021·全国乙卷2021·天津2021·北京系、求法向量）或几何法（作辅助

线、找角）求解，既考查空间想象

能力，也注重运算准确性，是区分

度的重要体现。

3.空间距离的考查聚焦点到面距离

空间距离的考查以“点到面的距

知识3空间距

考点06求点到面的距离离”为核心（近5年多次出现），

离

2024·全国甲卷2024·天津2023·天津常与体积计算、空间角综合命题，

（5年2考）

需要借助等体积法或空间向量的

投影公式求解，体现“空间度量”

的统一性，难度中等偏上。

考点01平行关系的判定

1．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB2．

π

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；

3

π

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，CD∥AB．设点M在线段OC

3

上，证明：直线QM∥平面PBD．

【答案】(1)2π

(2)证明见解析

【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.

（2）证明平面QOC//平面PBD，然后根据面面平行的性质可得.

π

【详解】（1）由题知，PAB，即轴截面ABP是等边三角形，故PAAB2，

3

1

底面周长为2π12π，则侧面积为：22π2π;

2

（2）由题知AQQP,AOOB，则根据中位线性质，QO∥PB，

又QO平面PBD，PB平面PBD，则QO//平面PBD

πππ

由于AC，底面圆半径是1，则AOC，又CD∥AB，则OCD，

333

又OCOD，则OCD为等边三角形，则CD1，

于是CD∥BO且CDOB，则四边形OBDC是平行四边形，故OC∥BD，

又OC平面PBD，BD平面PBD，故OC//平面PBD.

又OCOQO,OC,OQ平面QOC，

根据面面平行的判定，于是平面QOC//平面PBD，

又MOC，则QM平面QOC，则QM//平面PBD

2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，

BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BFAO．

(1)求证：EF//平面ADO；

(2)若POF120，求三棱锥PABC的体积．

【答案】(1)证明见解析

26

(2)

3

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.

（2）作出并证明PM为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

1

【详解】（1）连接DE,OF，设AFtAC，则BFBAAF(1t)BAtBC，AOBABC，BFAO，

2

121

则BFAO[(1t)BAtBC](BABC)(t1)BAtBC24(t1)4t0，

22

1

解得t，则F为AC的中点，由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点，

2

11

于是DE//AB,DEAB,OF//AB,OFAB，即DE//OF,DEOF，

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF//DO,EFDO，又EF平面ADO,DO平面ADO，

所以EF//平面ADO.

（2）过P作PM垂直FO的延长线交于点M，

因为PBPC,O是BC中点，所以POBC，

1

在Rt△PBO中，PB6,BOBC2，

2

所以POPB2OB2622，

因为ABBC,OF//AB，

所以OFBC，又POOFO，PO,OF平面POF，

所以BC平面POF，又PM平面POF，

所以BCPM，又BCFMO，BC,FM平面ABC，

所以PM平面ABC，

即三棱锥PABC的高为PM，

因为POF120，所以POM60，

3

所以PMPOsin6023，

2

11

又S△ABBC22222，

ABC22

1126

所以VS△PM223.

PABC3ABC33

3．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：

底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形，且它们所在的平

面都与平面ABCD垂直．

(1)证明：EF//平面ABCD；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

【答案】(1)证明见解析；

640

(2)3．

3

【分析】（1）分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，由平面知识可知EMAB,FNBC，EMFN，

依题从而可证EM平面ABCD，FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，即可知四

边形EMNF为平行四边形，于是EF//MN，最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNLEFGH的体积加上四棱

锥BMNFE体积的4倍，即可解出．

【详解】（1）如图所示：

分别取AB,BC的中点M,N，连接MN，因为EAB,FBC为全等的正三角形，所以EMAB,FNBC，

EMFN，又平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCDAB，EM平面EAB，所以EM平面

ABCD，同理可得FN平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN，而EMFN，所以四边形

EMNF为平行四边形，所以EF//MN，又EF平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF//平面ABCD．

（2）[方法一]：分割法一

如图所示：

分别取AD,DC中点K,L，由（1）知，EF//MN且EFMN，同理有，HE//KM,HEKM，

HG//KL,HGKL，GF//LN,GFLN，由平面知识可知，BDMN，MNMK，KMMNNLLK，

所以该几何体的体积等于长方体KMNLEFGH的体积加上四棱锥BMNFE体积的4倍．

因为MNNLLKKM42，EM8sin6043，点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的

距离d，d22，所以该几何体的体积

21256640

V42434424322128333．

333

[方法二]：分割法二

如图所示：

连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的4

倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面

APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积

1211116403

V434244242434434242.

332323

考点02垂直关系的判定

4．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C平面ABC,ACB90．

(1)证明：平面ACC1A1平面BB1C1C；

(2)设ABA1B,AA12，求四棱锥A1BB1C1C的高．

【答案】(1)证明见解析.

(2)1

【分析】(1)由A1C平面ABC得A1CBC，又因为ACBC，可证BC平面ACC1A1，从而证得平面

ACC1A1平面BCC1B1；

(2)过点A1作A1OCC1，可证四棱锥的高为A1O,由三角形全等可证A1CAC，从而证得O为CC1中点，设

A1CACx，由勾股定理可求出x，再由勾股定理即可求A1O.

【详解】（1）证明：因为A1C平面ABC，BC平面ABC,

所以A1CBC,

又因为ACB90，即ACBC，

A1C,AC平面ACC1A1，A1CACC,

所以BC平面ACC1A1，

又因为BC平面BCC1B1,

所以平面ACC1A1平面BCC1B1.

（2）如图，

过点A1作A1OCC1，垂足为O.

因为平面ACC1A1平面BCC1B1，平面ACC1A1平面BCC1B1CC1，A1O平面ACC1A1，

所以A1O平面BCC1B1，

所以四棱锥A1BB1C1C的高为A1O.

因为A1C平面ABC，AC,BC平面ABC,

所以A1CBC,A1CAC,

又因为A1BAB，BC为公共边，

所以VABC与A1BC全等，所以A1CAC.

设A1CACx，则A1C1x，

1

所以O为CC中点，OCAA1,

1121

222

又因为A1CAC,所以A1CACAA1,

即x2x222，解得x2，

2

所以222，

A1OA1C1OC1211

所以四棱锥A1BB1C1C的高为1．

5．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体ABCD中，ADCD,ADCD,ADBBDC，E为AC的

中点．

(1)证明：平面BED平面ACD；

(2)设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求三棱锥FABC的体积．

【答案】(1)证明详见解析

3

(2)

4

【分析】（1）通过证明AC平面BED来证得平面BED平面ACD.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时F点的位置，然后求得F到平面ABC的距离，从而求得三棱锥

FABC的体积.

【详解】（1）由于ADCD，E是AC的中点，所以ACDE.

ADCD

由于BDBD，所以ADBCDB，

ADBCDB

所以ABCB，故ACBE，

由于DEBEE，DE,BE平面BED，

所以AC平面BED，

由于AC平面ACD，所以平面BED平面ACD.

（2）[方法一]：判别几何关系

依题意ABBDBC2，ACB60，三角形ABC是等边三角形，

所以AC2,AECE1,BE3，

由于ADCD,ADCD，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以DE1.

DE2BE2BD2，所以DEBE，

由于ACBEE，AC,BE平面ABC，所以DE平面ABC.

由于ADBCDB，所以FBAFBC，

BFBF

由于FBAFBC，所以FBAFBC，

ABCB

所以AFCF，所以EFAC，

1

由于SACEF，所以当EF最短时，三角形AFC的面积最小

AFC2

过E作EFBD，垂足为F，

113

在RtBED中，BEDEBDEF，解得EF，

222

2

所以2313，

DF1,BF2DF

222

BF3

所以

BD4

FHBF3

过F作FHBE，垂足为H，则FH//DE，所以FH平面ABC，且，

DEBD4

3

所以FH，

4

11133

所以VSFH23.

FABC3ABC3244

[方法二]：等体积转换

ABBC，ACB60，AB2

ABC是边长为2的等边三角形，

BE3

连接EF

ΔADBΔCDBAFCF

EFAC

在ΔBED中，当EFBD时，ΔAFC面积最小

ADCD,ADCD,AC2,E为AC中点

DE1DE2BE2BD2

BEED

BEDE3

若EFBD,在ΔBED中，EF

BD2

3

BFBE2EF2

2

113333

SBFEF

ΔBEF22228

11333

VVVSAC2

FABCABEFCBEF3ΔBEF384

6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F

分别为AC和CC1的中点，BFA1B1.

（1）求三棱锥FEBC的体积；

（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE.

1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

3

【分析】（1）先证明VABC为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中

的结论.

【详解】（1）由于BFA1B1，AB//A1B1，所以ABBF，

又AB⊥BB1，BB1BFB，故AB平面BCC1B1，

则ABBC，VABC为等腰直角三角形，

111111

S△BCES△ABC221，VFEBCS△BCECF11.

222333

（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCMA1B1C1M1，如图所示，取棱AM,BC的

中点H,G，连结A1H,HG,GB1，

正方形BCC1B1中，G,F为中点，则BFB1G，

又BFA1B1,A1B1B1GB1，

故BF平面A1B1GH，而DE平面A1B1GH，

从而BFDE.

【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我

们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面

面）的证明经常进行等价转化.

7．（2021·全国乙卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中

点，且PBAM．

（1）证明：平面PAM平面PBD；

（2）若PDDC1，求四棱锥PABCD的体积．

2

【答案】（1）证明见解析；（2）．

3

【分析】（1）由PD底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定理可得AM平面PBD，

再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM平面PBD；

（2）由（1）可知，AMBD，由平面知识可知，DAB~ABM，由相似比可求出AD，再根据四棱锥

PABCD的体积公式即可求出．

【详解】（1）因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，

所以PDAM，

又PBAM，PBPDP，

所以AM平面PBD，

而AM平面PAM，

所以平面PAM平面PBD．

（2）[方法一]：相似三角形法

由（1）可知AMBD．

ADAB

于是ABD∽BMA，故．

ABBM

112

因为BMBC,ADBC,AB1，所以BC1，即BC2．

22

12

故四棱锥PABCD的体积VABBCPD．

33

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

由（2）知AMDB,所以kAMkBD1．

建立如图所示的平面直角坐标系，设BC2a(a0)．

因为DC1，所以A(0,0)，B(1,0)，D(0,2a)，M(1,a)．

a02a0

从而kka(2a)2a21．

AMBD1001

2

所以a，即DA2．下同方法一.

2

[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

设DAt，所以D(0,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，A(t,0,0)，B(t,1,0)．

tt

所以M,1,0，PB(t,1,1)，AM,1,0．

22

tt2

所以PBAMt110(1)10．

22

所以t2，即DA2．下同方法一.

[方法四]：空间向量法

由PBAM，得PBAM0．

所以(PDDAAB)AM0．

即PDAMDAAMABAM0．

又PD底面ABCD，AM在平面ABCD内，

因此PDAM，所以PDAM0．

所以DAAMABAM0，

由于四边形ABCD是矩形，根据数量积的几何意义，

11

得DA|2AB|20，即|BC|210．

22

所以BC2，即BC2．下同方法一.

【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，

为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

考点03求异面直线所成的角

8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BC∥AD,ABAD．

(1)证明：平面PAB平面PAD；

(2)PAAB2,AD13,BC2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．

（i）证明：O在平面ABCD上；

（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)（i）证明见解析；

2

（ii）.

3

【分析】（1）通过证明APAB，APAD，得出AB平面PAD，即可证明面面垂直；

（2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy中，

得出点O坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出OPOBOCOD，即可证明结论；

法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心O1，求出PO1，求出出外心O1到P，B，

C，D的距离相等，得出外心O1即为P，B，C，D所在球的球心，即可证明结论；

（ii）法一：写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值.

法二：求出AC的长，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C1，连接AC1，PC1，利用勾股定理求出AC1

△

的长，进而得出PC1的长，在POC1中由余弦定理求出cosPOC1，即可求出直线AC与直线PO所成角的

余弦值.

【详解】（1）由题意证明如下，

在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，ABAD，

AB平面ABCD，AD平面ABCD，

∴APAB，APAD，

∵AP平面PAD，AD平面PAD，APADA，

∴AB平面PAD，

∵AB平面PAB，

∴平面PAB平面PAD.

（2）（i）由题意及（1）证明如下，

法一：

在四棱锥PABCD中，APAB，APAD，ABAD，BC∥AD，

PAAB2，AD13，

建立空间直角坐标系如下图所示，

∴A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,D0,13,0,P0,0,2，

若P，B，C，D在同一个球面上，

则OPOBOCOD，

在平面xAy中，

∴A0,0,B2,0,C2,2,D0,13，

233

∴线段CD中点坐标F,，

22

13231

直线CD的斜率：k1，

022

262

直线CD的垂直平分线EF斜率：k2，

312

33622

∴直线EF的方程：yx，

222

62233

即yx，

222

62233

当时，，解得：，

y11xOxO0

222

∴O0,1

在立体几何中，O0,1,0，

2

22

OP0102

2

22

OB0210

∵

2

22

OC02120

2

OD0211302

解得：OPOBOCOD3，

∴点O在平面ABCD上.

法二：

∵P，B，C，D在同一个球面上，

∴球心到四个点的距离相等

在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，

作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示，

由几何知识得，

1

OEAB2，BECEAOGOBC1，ODADAO3

111211

2

2，

BO1CO1123

∴O1DBO1CO1，

∴点O1是△BCD的外心，

在RtAOP中，APAD，AP2，

由勾股定理得，

2

222

PO1APAO1213

∴PO1BO1CO1O1D3，

∴点O1即为点P，B，C，D所在球的球心O，

此时点O在线段AD上，AD平面ABCD，

∴点O在平面ABCD上.

（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，

AC2,2,0,PO0,1,2，

设直线AC与直线PO所成角为，

ACPO02102

∴cos

223.

ACPO22200122

法2：

由几何知识得，PO3，

ABAD，BC∥AD，

∴ABBC，

在RtVABC中，AB2，BC2，由勾股定理得，

2

ACAB2BC22226，

过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C1，连接AC1，PC1，

△

则OC1AC6，直线AC与直线PO所成角即为POC1中POC1或其补角.

∵PA平面ABCD，AC1平面ABCD，PAAC1A，

∴PAAC1，

在RtABC1中，AB2，BC1BCCC1213，由勾股定理得，

2

222，

AC1ABBC12311

在RtAPC1中，PA2，由勾股定理得，

22

22，

PC1PAAC121113

△

在POC1中，由余弦定理得，

222

PC1POOC12POOC1cosPOC1，

222

即：

1336236cosPOC1

2

解得：cosPOC

13

2

∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为：cosPOC.

13

9．（2021·上海·高考真题）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面

ABCD.

（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PD与AC所成角的大小.

3232

【答案】（1）V；（2）arccos.

PABCD36

【分析】（1）由棱锥体积公式计算；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）∵正方形ABCD边长为4，△PAB为等边三角形，E为AB中点，

1323

∴PE23，V4223；

PABCD33

（2）如图以EA,EF,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,4)，D(2,4,0)，A(2,0,0)，

uuur

C(2,4,0)，∴PD(2,4,4)，AC(4,4,0)，

uuuruuur

PDAC81602

∴cosuuuruuur，

|PD||AC|6426

2

即PD与AC所成角的大小为arccos．

6

考点04求直线与平面所成的角

10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，ADC与BAC均为等腰直角三角形，

ADC90，BAC90，E为BC的中点．

(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面PAB；

(2)若PA平面ABCD，PAAC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

3

(2)

3

【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明FG∥MN即可；

（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求

解.

【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，

ACD与VABC为等腰直角三角形且ADC90，BAC90，

不妨设ADCD2，ACAB22.BC4.

E、F分别为BC、PD的中点，

11

FNAD1,GMBE1，且FN//AD,GM//BC.

22

QDAC45,ACB45，AD∥BC，

FN∥GM，∴四边形FGMN为平行四边形，

FG∥MN，

FG平面PAB，MN平面PAB，FG∥平面PAB；

（2）PA平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

设ADCD2，则A0,0,0,B0,22,0,C22,0,0,D2,2,0,P0,0,22，

AB0,22,0,DC2,2,0,CP22,0,22，

设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z)，

DCn02x2y0

，，

CPn022x22z0

取x1，y1,z1，n1,1,1.

设AB与平面PCD所成角为，

ABn0122101223

则sincosAB,n，

2

ABn22121122233

3

即AB与平面PCD所成角的正弦值为.

3

11．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥PABCD,O为底面ABCD的中心．

(1)若AP5,AD32，求POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若APAD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．

【答案】(1)12π

π

(2)

4

【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形POA的边长，然后求圆锥的体积；

（2）连接EA,EO,EC，可先证BE平面ACE，根据线面角的定义得出所求角为BOE，然后结合题目数

量关系求解.

【详解】（1）正四棱锥满足且PO平面ABCD，由AO平面ABCD，则POAO，

又正四棱锥底面ABCD是正方形，由AD32可得，AO3，

故POPA2AO24，

根据圆锥的定义，POA绕PO旋转一周形成的几何体是以PO为轴，AO为底面半径的圆锥，

即圆锥的高为PO4，底面半径为AO3，

1

根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是π32412π

3

（2）连接EA,EO,EC，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，

由E是PB中点，则AEPB,CEPB，又AECEE,AE,CE平面ACE，

故PB平面ACE，即BE平面ACE，又BD平面ACEO，

于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为BOE，

32

不妨设APAD6，则BO32,BE3，sinBOE，

322

π

又线面角的范围是0,，

2

π

故BOE.即为所求.

4

12．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C底面ABC，ACB90,AA12，

A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1CAC；

(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

13

(2)

13

【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得A1O平面BCC1B1，再由勾股定理求出O为

中点，即可得证；

（2）利用直角三角形求出AB1的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【详解】（1）如图，

A1C底面ABC，BC面ABC，

A1CBC，又BCAC，A1C,AC平面ACC1A1，A1CACC,

BC平面ACC1A1，又BC平面BCC1B1，

平面ACC1A1平面BCC1B1，

过A1作A1OCC1交CC1于O，又平面ACC1A1平面BCC1B1CC1，A1O平面ACC1A1，

A1O平面BCC1B1

A1到平面BCC1B1的距离为1，A1O1，

△

在RtA1CC1中，A1CA1C1,CC1AA12，

设COx，则C1O2x，

△△△

A1OC,A1OC1,A1CC1为直角三角形，且CC12，

222222222

COA1OA1C，A1OOC1C1A1，A1CA1C1C1C，

1x21(2x)24，解得x1，

ACA1CA1C12，

A1CAC

（2）ACA1C1,BCA1C,BCAC，

△≌△

RtACBRtA1CB

BABA1，

过B作BDAA1，交AA1于D，则D为AA1中点，

由直线AA1与BB1距离为2，所以BD2

A1D1，BD2，A1BAB5，

在Rt△ABC，BCAB2AC23，

延长AC，使ACCM，连接C1M，

∥

由CMA1C1,CMA1C1知四边形A1CMC1为平行四边形，

∥

C1MA1C，C1M平面ABC，又AM平面ABC，

C1MAM

则在△中，，22，

RtAC1MAM2AC,C1MA1CAC1(2AC)A1C

在△中，22，，

RtAB1C1AC1(2AC)A1CB1C1BC3

222

AB1(22)(2)(3)13,

又A到平面BCC1B1距离也为1，

113

所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.

1313

13．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且PO底

面ABC，APAC2

(1)求三棱锥P-ABC的体积；

(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.

【答案】(1)1；

3

(2)arcsin．

4

【分析】（1）由棱锥体积公式计算；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法二面角．

【详解】（1）PO底面ABC，AC底面ABC，则POAC，连接BO，同理POBO，

1

又AOAC1，PA2，∴PO22123，

2

1

而S△22sin603，

ABC2

11

所以VPOS331；

PABC3ABC3

（2）由已知BOAC，分别以OB,OC,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

由已知BO3，

31

则P(0,0,3)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，∴M(,,0)，

22

31

PM(,,3)，易知平面PAC的一个法向量是m(1,0,0)，

22

3

mPM3

cosm,PM2，

mPM314

13

44

33

设PM与平面PAC所成角大小为，则sin，[0,π]，∴arcsin．

44

14．（2022·浙江·高考真题）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB5，DC3，

EF1，BADCDE60，二面角FDCB的平面角为60．设M，N分别为AE,BC的中点．

(1)证明：FNAD；

(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

57

(2)．

14

【分析】（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H，由平面知识易得FCBC，

再根据二面角的定义可知，BCF60，由此可知，FNBC，FNCD，从而可证得FN平面ABCD，

即得FNAD；

（2）由（1）可知FN平面ABCD，过点N做AB平行线NK，所以可以以点N为原点，NK，NB、NF

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz，求出平面ADE的一个法向量，以及BM，

即可利用线面角的向量公式解出．

【详解】（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H．

∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB5,DC3,EF1，BADCDE60，

由平面几何知识易知，DGAH2,EFCDCFDCBABC90，则四边形EFCG和四边形

DCBH是矩形，∴在RtEGD和RtDHA，EGDH23，

∵DCCF,DCCB，且CFCBC，

∴DC平面BCF,BCF是二面角FDCB的平面角，则BCF60，

∴VBCF是正三角形，由DC平面ABCD，得平面ABCD平面BCF，

∵N是BC的中点，FNBC，又DC平面BCF，FN平面BCF，可得FNCD，而BCCDC，

∴FN平面ABCD，而AD平面ABCDFNAD．

（2）因为FN平面ABCD，过点N做AB平行线NK，所以以点N为原点，NK，NB、NF所在直线分

别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz，

33

设A(5,3,0),B(0,3,0),D(3,3,0),E(1,0,3)，则M3,,，