五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题08 解三角形7种常见考法归类（全国）（解析版）

专题08解三角形7种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01利用正余弦定理解三角形

2025·天津2025·全国二卷2024·天津

2023·上海2023·天津2023·全国乙卷

2022·天津2021·全国甲卷2021·上海

2021·天津

考点02正余弦定理综合

知识1正余弦

2024·全国甲卷2023·北京2022·全国乙卷

定理

考点三角形的面积问题

（5年5考）031.三角形正余弦定理求基本量运算

2025·全国一卷2024·新课标Ⅰ卷2024·北京是高考必考知识点，边角转化，最

2023·全国甲卷2023·全国乙卷2023·新课标Ⅱ卷值问题与不等式相结合等都是高

2022·新高考全国Ⅱ卷2022·浙江2021·全国乙卷考高频考点

新高考全国卷

2021·Ⅱ2.解三角形在高考解答题中，周长

考点04三角形的周长问题面积问题是高考中常考题型，难度

2024·新课标Ⅱ卷2022·北京2022·全国乙卷一般，容易出现结构不良试题以及

2021·北京与三线相结合，注重常规方法以及

考点05正、余弦定理在几何中的应用常规技巧

2025·北京2023·新课标Ⅰ卷2023·全国甲卷

2022·全国甲卷2021·浙江

知识2解三角2021·新高考全国Ⅰ卷

形的应用

考点06解三角形的最值问题

（年考）

552022·新高考全国Ⅰ卷

考点07解三角形的实际应用

2024·上海2021·全国甲卷2021·全国乙卷

考点01利用正余弦定理解三角形

1．（2025·全国二卷·高考真题）在VABC中，BC2，AC13，AB6，则A（）

A．45B．60C．120D．135

【答案】A

AB2AC2BC2

【分析】由余弦定理cosA直接计算求解即可.

2ABAC

222

AB2AC2BC261322

【详解】由题意得cosA，

2ABAC26132

又0A180，所以A45o.

故选：A

2．（2021·全国甲卷·高考真题）在VABC中，已知B120，AC19，AB2，则BC（）

A．1B．2C．5D．3

【答案】D

【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.

【详解】设ABc,ACb,BCa，

结合余弦定理：b2a2c22accosB可得：19a242accos120，

即：a22a150，解得：a3（a5舍去），

故BC3.

故选：D.

【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：

(1)已知三角形的三条边求三个角；

(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；

(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．

3．（2023·上海·高考真题）在VABC中，已知a4，b5，c6，则sinA．

【答案】7

4

【分析】先利用余弦定理求得cosA，再利用同角三角函数关系式求得sinA.

b2c2a2253616453

【详解】cosA，

2bc60604

A为VABC的内角，

97

sinA1cos2A1.

164

7

故答案为:.

4

【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.

4．（2023·全国乙卷·高考真题）在VABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosBbcosAc，且C，

5

则B（）

32

A．B．C．D．

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角

形内角和定理可得A的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosBsinBcosAsinC，

即sinAcosBsinBcosAsinABsinAcosBsinBcosA，

整理可得sinBcosA0，由于B0,π，故sinB0，

π

据此可得cosA0,A，

2

ππ3π

则BπACπ.

2510

故选：C.

5．（2023·天津·高考真题）在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a39,b2,A120．

(1)求sinB的值；

(2)求c的值；

(3)求sinBC的值．

13

【答案】(1)

13

(2)5

73

(3)

26

【分析】（1）根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理即可解出；

（3）由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cosB,cosC，即可由两角差的正弦公式求出．

ab39213

【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：sinB；

sinAsinBsin120sinB13

21

（2）由余弦定理可得，a2b2c22bccosA，即394c22c，

2

解得：c5或c7（舍去）．

ac395513o

（3）由正弦定理可得，，即，解得：sinC，而A120，

sinAsinCsin120sinC26

253391239

所以B,C都为锐角，因此cosC1，cosB1，

52261313

1333923951373

sinBCsinBcosCcosBsinC．

1326132626

9a2

6．（2024·天津·高考真题）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB，b5，．

16c3

(1)求a的值；

(2)求sinA的值；

(3)求cosB2A的值．

【答案】(1)4

7

(2)

4

57

(3)

64

【分析】（1）a2t,c3t，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；

（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，则得到sinA；

（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；

法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.

【详解】（1）设a2t,c3t，t0，则根据余弦定理得b2a2c22accosB，

9

即254t29t222t3t，解得t2（负舍）；

16

则a4,c6.

2

2957

（2）法一：因为B为三角形内角，所以sinB1cosB1，

1616

45

ab7

再根据正弦定理得，即sinA57，解得sinA，

sinAsinB4

16

b2c2a25262423

法二：由余弦定理得cosA，

2bc2564

2

37

因为A0,π，则sinA1

44

9π

（3）法一：因为cosB0，且B0,π，所以B0,，

162

57

由（2）法一知sinB，

16

2

73

因为ab，则，所以，

ABcosA1

44

2

7337231

则sin2A2sinAcosA2，cos2A2cosA121

44848

91573757

cosB2AcosBcos2AsinBsin2A.

16816864

7337

法二：sin2A2sinAcosA2，

448

2

231

则cos2A2cosA121，

48

2

2957

因为B为三角形内角，所以sinB1cosB1，

1616

91573757

所以cosB2AcosBcos2AsinBsin2A

16816864

7．（2025·天津·高考真题）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知asinB3bcosA，c2b1，

a7．

(1)求A的值；

(2)求c的值；

(3)求sin(A2B)的值．

π

【答案】(1)

3

(2)3

43

(3)

7

【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；

（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b，进而求得c；

（3）利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin2B,cos2B，由两角和的正弦可得.

ab

【详解】（1）已知asinB3bcosA，由正弦定理，

sinAsinB

得asinBbsinA3bcosA，显然cosA0，

得tanA3，由0Aπ，

π

故A；

3

1

（2）由（1）知cosA，且c2b1，a7，

2

由余弦定理a2b2c22bccosA，

1

则7b2(2b1)22b(2b1)3b23b1，

2

解得b1（b2舍去），

故c3；

ab3

（3）由正弦定理，且b1,a7,sinA，

sinAsinB2

bsinA21

得sinB，且ab，则B为锐角，

a14

553

故cosB7，故sin2B2sinBcosB，

1414

2

且22111；

cos2B12sinB12

1414

31115343

故sin(A2B)sinAcos2BcosAsin2B.

2142147

1

8．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为VABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a2,cosC﹒

4

(1)若sinA2sinB，求b、c；

4

(2)若cos(A)，求c．

45

【答案】(1)1，6；

530

(2)﹒

2

【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可求解c的值．

(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得sinA、sinC的值，进而根据正弦定理

可得c的值．

【详解】（1）∵sinA2sinB，由正弦定理得a2b，

又a2，可得b1，

a2b2c22212c21

由于cosC，可得c6．

2ab2214

1

（2）∵cosC，0＜C＜π，

4

15

∴sinC1cos2C，C＞＞A，

42

15

CAcasinCsinAsinA.

4

24

∵cos(A)(cosAsinA)，

425

42

∴cosAsinA，

5

又cos2Asin2A1，

272

可解得sinA或sinA(舍)，

1010

ac530

由正弦定理，可得c．

sinAsinC2

9．（2021·天津·高考真题）在VABC，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA:sinB:sinC2:1:2，b2．

（I）求a的值；

（II）求cosC的值；

（III）求sin2C的值．

6

33211

【答案】（I）22；（II）；（III）

416

【分析】（I）由正弦定理可得a:b:c2:1:2，即可求出；

（II）由余弦定理即可计算；

（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】（I）因为sinA:sinB:sinC2:1:2，由正弦定理可得a:b:c2:1:2，

b2，a22,c2；

a2b2c28243

（II）由余弦定理可得cosC；

2ab22224

37

（III）cosC，sinC1cos2C，

44

7337291

sin2C2sinCcosC2，cos2C2cosC121，

448168

373113211

所以sin2Csin2Ccoscos2Csin.

666828216

1

10．（2022·天津·高考真题）在VABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知a6,b2c,cosA.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2AB)的值.

【答案】(1)c1

10

(2)sinB

4

10

(3)sin(2AB)

8

【分析】（1）根据余弦定理a2b2c22bccosA以及b2c解方程组即可求出；

（2）由（1）可求出b2，再根据正弦定理即可解出；

（3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A，再根据两角差的正弦公式即可求出．

1

【详解】（1）因为a2b2c22bccosA，即6b2c2bc，而b2c，代入得64c2c2c2，解得：c1．

2

15ab

（2）由（1）可求出b2，而0Aπ，所以sinA1cos2A，又，所以

4sinAsinB

15

2

bsinA10．

sinB4

a64

1ππ15

（3）因为cosA，所以Aπ，故0B，又sinA1cos2A，所以

4224

1151521710

sin2A2sinAcosA2，cos2A2cosA121，而sinB，所以

4481684

6

cosB1sin2B，

4

15671010

故sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB．

84848

考点02正余弦定理综合

π9

11．（2024·全国甲卷·高考真题）在VABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若B，b2ac，则

34

sinAsinC（）

239397313

A．B．C．D．

1313213

【答案】C

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC，再利用余弦定理有a2c2ac，由正弦定理得到sin2Asin2C的

34

值，最后代入计算即可.

941

【详解】因为B,b2ac，则由正弦定理得sinAsinCsin2B.

3493

9

由余弦定理可得:b2a2c2acac，

4

131313

即:a2c2ac，根据正弦定理得sin2Asin2CsinAsinC，

4412

7

所以(sinAsinC)2sin2Asin2C2sinAsinC，

4

7

因为A,C为三角形内角，则sinAsinC0，则sinAsinC.

2

故选：C.

12．（2023·北京·高考真题）在VABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，则C（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

所以由正弦定理得(ac)(ac)b(ab)，即a2c2abb2，

a2b2c2ab1

则a2b2c2ab，故cosC，

2ab2ab2

π

又0Cπ，所以C.

3

故选：B.

13．（2022·全国乙卷·高考真题）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知

sinCsinABsinBsinCA．

(1)若A2B，求C；

(2)证明：2a2b2c2

5π

【答案】(1)；

8

(2)证明见解析．

【分析】（1）根据题意可得，sinCsinCA，再结合三角形内角和定理即可解出；

（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinCsinAcosBcosAsinBsinBsinCcosAcosCsinA，再

根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．

π

【详解】（1）由A2B，sinCsinABsinBsinCA可得，sinCsinBsinBsinCA，而0B，

2

所以sinB0,1，即有sinCsinCA0，而0Cπ,0CAπ，显然CCA，所以，CCAπ，

5π

而A2B，ABCπ，所以C．

8

（2）由sinCsinABsinBsinCA可得，

sinCsinAcosBcosAsinBsinBsinCcosAcosCsinA，再由正弦定理可得，

accosBbccosAbccosAabcosC，然后根据余弦定理可知，

1111

a2c2b2b2c2a2b2c2a2a2b2c2，化简得：

2222

2a2b2c2，故原等式成立．

考点03三角形的面积问题

14．（2021·全国乙卷·高考真题）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B60，a2c23ac，

则b．

【答案】22

【分析】由三角形面积公式可得ac4，再结合余弦定理即可得解.

13

【详解】由题意，SacsinBac3，

ABC24

所以ac4,a2c212，

2221

所以bac2accosB12248，解得b22（负值舍去）.

2

故答案为：22.

15．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在VABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，ba1，

ca2.．

（1）若2sinC3sinA，求VABC的面积；

（2）是否存在正整数a，使得VABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

157

【答案】（1）；（2）存在，且a2.

4

【分析】（1）由正弦定理可得出2c3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定

理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；

（2）分析可知，角C为钝角，由cosC0结合三角形三边关系可求得整数a的值.

【详解】（1）因为2sinC3sinA，则2c2a23a，则a4，故b5，c6，

a2+b2-c2137

cosC==，所以，C为锐角，则sinC1cos2C，

2ab88

1137157

因此，S△absinC45；

ABC2284

（2）显然cba，若VABC为钝角三角形，则C为钝角，

22

a2b2c2a2a1a2a22a3

由余弦定理可得cosC0，

2ab2aa12aa1

解得1a3，则0<a<3，

由三角形三边关系可得aa1a2，可得a1，aZ，故a2.

3

16．（2022·浙江·高考真题）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a5c,cosC．

5

(1)求sinA的值；

(2)若b11，求VABC的面积．

5

【答案】(1)；

5

(2)22．

【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；

a2b2c21

（2）根据余弦定理的推论cosC以及4a5c可解出a，即可由三角形面积公式SabsinC

2ab2

求出面积．

34

【详解】（1）由于cosC，0Cπ，则sinC．因为4a5c，

55

55

由正弦定理知4sinA5sinC，则sinAsinC．

45

2

2162a

222a121a11

（2）因为，由余弦定理，得abc3，

4a5ccosC55

2ab22a2a5

4

即a26a550，解得a5，而sinC，b11，

5

114

所以VABC的面积SabsinC51122．

225

17．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c

31

为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知SSS,sinB．

12323

(1)求VABC的面积；

2

(2)若sinAsinC，求b．

3

2

【答案】(1)

8

1

(2)

2

3222

【分析】（1）先表示出S1,S2,S3，再由SSS求得acb2，结合余弦定理及平方关系求得ac，

1232

再由面积公式求解即可；

b2ac

（2）由正弦定理得，即可求解.

sin2BsinAsinC

13333

【详解】（1）由题意得Sa2a2,Sb2,Sc2，则

12242434

3333

SSSa2b2c2，

1234442

a2c2b21

即a2c2b22，由余弦定理得cosB，整理得accosB1，则cosB0，又sinB，

2ac3

2

则122，132，则12；

cosB1acSABCacsinB

33cosB428

32

2

bacbacac49b3

（2）由正弦定理得：，则，则，

sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC24sinB2

3

31

bsinB.

22

18．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方

法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是

2222

122cab

Sca，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边

42

a2,b3,c2，则该三角形的面积S．

23

【答案】.

4

【分析】根据题中所给的公式代值解出．

22222

122cab142323

【详解】因为Sca，所以S42．

42424

23

故答案为：.

4

19．（2023·全国乙卷·高考真题）在VABC中，已知BAC120，AB2，AC1.

(1)求sinABC；

(2)若D为BC上一点，且BAD90，求△ADC的面积.

21

【答案】(1)；

14

3

(2).

10

57

【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC7，然后由余弦定理可得cosB，最后由同角

14

21

三角函数基本关系可得sinB；

14

S

△ABD1

(2)由题意可得4，则S△ACDS△ABC，据此即可求得△ADC的面积.

S△ACD5

【详解】（1）由余弦定理可得：

BC2a2b2c22bccosA

41221cos1207，

a2c2b274157

则BC7，cosB，

2ac22714

2521

sinABC1cos2B1.

2814

1

ABADsin90

S

（2）由三角形面积公式可得△ABD24，

S1

△ACDACADsin30

2

则1113

S△ACDS△ABC21sin120.

55210

20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记VABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC2cosB，

a2b2c22ab

(1)求B；

(2)若VABC的面积为33，求c．

π

【答案】(1)B

3

(2)22

【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC,sinC，最后结合已知sinC2cosB得cosB的值即可；

（2）首先求出A,B,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程

求解.

【详解】（1）由余弦定理有a2b2c22abcosC，对比已知a2b2c22ab，

a2b2c22ab2

可得cosC，

2ab2ab2

因为C0,π，所以sinC0，

2

从而222，

sinC1cosC1

22

1

又因为sinC2cosB，即cosB，

2

注意到B0,π，

π

所以B.

3

π2πππ5π

（2）由（1）可得B，cosC，C0,π，从而C，Aπ，

3243412

5πππ232162

而sinAsinsin，

124622224

abc

由正弦定理有5πππ，

sinsinsin

1234

623136

从而a2cc,b2cc，

4222

由三角形面积公式可知，VABC的面积可表示为

11316233

SabsinCccc2，

ABC222228

33

由已知VABC的面积为33，可得c233，

8

所以c22.

b2c2a2

21．（2023·全国甲卷·高考真题）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2．

cosA

(1)求bc；

acosBbcosAb

(2)若1，求VABC面积．

acosBbcosAc

【答案】(1)1

3

(2)

4

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．

b2c2a22bccosA

【详解】（1）因为a2b2c22bccosA，所以2bc2，解得：bc1．

cosAcosA

acosBbcosAbsinAcosBsinBcosAsinB

（2）由正弦定理可得

acosBbcosAcsinAcosBsinBcosAsinC

sinABsinBsinABsinB

1，

sinABsinABsinAB

变形可得：sinABsinABsinB，即2cosAsinBsinB，

13

而0sinB≤1，所以cosA，又0Aπ，所以sinA，

22

1133

故VABC的面积为SbcsinA1．

△ABC2224

22．（2024·北京·高考真题）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A为钝角，a7，

3

sin2BbcosB．

7

(1)求A；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V