2024年江苏高考数学重点题型解析

2024年江苏高考数学重点题型解析引言自2021年江苏加入新高考以来，数学科目采用全国卷Ⅰ（新高考Ⅰ卷），命题风格逐步向“稳定中求创新、基础中显能力”转型。2024年命题将继续聚焦核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析），强调主干知识（函数与导数、解析几何、立体几何、概率统计、三角函数、数列）的综合应用，同时渗透数学文化（如古代数学问题、跨学科融合）与开放性探究（如条件补充题、结论猜想题）。本文结合近年全国卷Ⅰ命题规律与江苏本地教学实际，对2024年高考数学重点题型进行系统解析，涵盖“命题特点、解题策略、典型例题、易错点提醒”四大模块，助力考生精准备考。一、函数与导数：核心考点与综合应用函数与导数是高考数学的“压轴板块”，占分约20%，重点考查含参函数的单调性、极值与最值“恒成立/存在性问题”“函数零点个数”等题型，强调分类讨论“数形结合”“构造函数”等思想方法。（一）单调性与极值问题：分类讨论的标准与技巧命题特点：常以“含参多项式函数”“指数/对数函数与多项式结合”为载体，考查导数在判断函数单调性、求极值中的应用。核心是通过导数的符号变化分析函数单调性，难点在于对参数进行合理分类讨论。解题策略：1.求导：计算函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，并整理为“因式分解”或“二次函数”形式（便于分析符号）；2.找临界点：令\(f'(x)=0\)，求出可能的极值点（注意定义域限制）；3.分类讨论：根据参数对“临界点个数”“临界点位置”的影响，分情况讨论：若\(f'(x)\)为二次函数，需讨论“判别式\(\Delta\)的符号”（是否有极值点）、“极值点与定义域的关系”（是否在定义域内）；若\(f'(x)\)含指数/对数函数，需讨论“参数与0的大小关系”（如\(a>0\)、\(a=0\)、\(a<0\)）。典型例题（2023年全国卷Ⅰ）：已知函数\(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1\)，讨论\(f(x)\)的单调性。解答：\(f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-2ax+1)\)，令\(g(x)=x^2-2ax+1\)，则\(\Delta=4a^2-4=4(a^2-1)\)。当\(|a|\leq1\)时，\(\Delta\leq0\)，\(g(x)\geq0\)，故\(f'(x)\geq0\)，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增；当\(a>1\)或\(a<-1\)时，\(\Delta>0\)，\(g(x)=0\)的两根为\(x_1=a-\sqrt{a^2-1}\)，\(x_2=a+\sqrt{a^2-1}\)；当\(x<x_1\)或\(x>x_2\)时，\(g(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x_1<x<x_2\)时，\(g(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减。易错点提醒：忘记“定义域”限制：如函数含对数时（\(f(x)=\lnx-ax\)），导数讨论需在\(x>0\)范围内；分类讨论标准混乱：如二次函数导数的分类应先看\(\Delta\)，再看根的位置，避免重复或遗漏。（二）恒成立与存在性问题：分离参数与构造函数命题特点：常以“\(f(x)\geq0\)对\(x\inD\)恒成立”“存在\(x\inD\)使得\(f(x)\leq0\)”为设问，考查转化思想（将参数与变量分离）与函数最值的求解。核心是将问题转化为参数与函数最值的关系。解题策略：1.分离参数法（优先考虑）：若\(f(x)=g(x)\cdota+h(x)\geq0\)，且\(g(x)>0\)，则分离为\(a\geq-\frac{h(x)}{g(x)}\)，只需\(a\geq[-\frac{h(x)}{g(x)}]_{\text{max}}\)；若\(g(x)<0\)，则分离为\(a\leq-\frac{h(x)}{g(x)}\)，只需\(a\leq[-\frac{h(x)}{g(x)}]_{\text{min}}\)。2.构造函数法（分离困难时）：直接构造\(F(x)=f(x)-k\)（\(k\)为参数），求\(F(x)\)的最值，使\(F(x)\geq0\)或\(F(x)\leq0\)。典型例题（2022年全国卷Ⅰ）：已知函数\(f(x)=e^x-ax-1\)，若\(f(x)\geq0\)对所有\(x\geq0\)恒成立，求\(a\)的取值范围。解答：当\(x=0\)时，\(f(0)=0\)，成立。当\(x>0\)时，分离参数得\(a\leq\frac{e^x-1}{x}\)。令\(g(x)=\frac{e^x-1}{x}\)，则\(g'(x)=\frac{xe^x-(e^x-1)}{x^2}=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2}\)。令\(h(x)=(x-1)e^x+1\)，则\(h'(x)=xe^x>0\)（\(x>0\)），故\(h(x)\)在\((0,+\infty)\)单调递增，\(h(x)>h(0)=0\)，因此\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)在\((0,+\infty)\)单调递增。由洛必达法则，\(\lim_{x\to0^+}g(x)=\lim_{x\to0^+}e^x=1\)，故\(g(x)>1\)，因此\(a\leq1\)。易错点提醒：分离参数时符号错误：如\(-ax\geq1-e^x\)，当\(x>0\)时，两边除以\(x\)需变号吗？不，\(-ax\geq1-e^x\)等价于\(ax\leqe^x-1\)，故\(a\leq\frac{e^x-1}{x}\)；忽略端点情况：如\(x=0\)时的验证，避免“分离参数后定义域缺失”导致的错误。（三）函数零点问题：数形结合与导数工具命题特点：常考查“函数零点个数”“零点所在区间”“零点之间的关系”，载体多为“分段函数”“超越函数（指数+对数+多项式）”。核心是通过导数分析函数的单调性、极值、最值，结合图像判断零点个数。解题策略：1.求定义域：确定函数\(f(x)\)的定义域；2.分析单调性与极值：用导数求出\(f(x)\)的单调区间、极值点、极值；3.分析端点趋势：当\(x\to+\infty\)或\(x\to-\infty\)时，\(f(x)\)的极限值（如\(e^x\to+\infty\)，\(\lnx\to-\infty\)）；4.结合图像：根据上述信息画出函数草图，判断零点个数。典型例题（2021年全国卷Ⅰ）：已知函数\(f(x)=x-\lnx-a\)，讨论\(f(x)\)的零点个数。解答：定义域为\((0,+\infty)\)，\(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)。当\(0<x<1\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；故\(f(x)\)在\(x=1\)处取得最小值\(f(1)=1-0-a=1-a\)。当\(1-a<0\)即\(a>1\)时，\(f(x)\)有两个零点（分别在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)）；当\(1-a=0\)即\(a=1\)时，\(f(x)\)有一个零点（\(x=1\)）；当\(1-a>0\)即\(a<1\)时，\(f(x)\)无零点。易错点提醒：忽略定义域：如\(f(x)=\lnx-x+a\)的定义域是\((0,+\infty)\)，不能考虑\(x\leq0\)的情况；端点趋势分析错误：如\(f(x)=e^x-x-a\)，当\(x\to-\infty\)时，\(e^x\to0\)，\(-x\to+\infty\)，故\(f(x)\to+\infty\)；当\(x\to+\infty\)时，\(e^x\)增长快于\(x\)，故\(f(x)\to+\infty\)，最小值在\(x=0\)处（\(f(0)=1-a\)）。二、三角函数与解三角形：性质应用与边角转化三角函数与解三角形是高考的“基础板块”，占分约10%，重点考查三角函数的图像与性质“解三角形的综合应用”，强调三角恒等变换“边角互化”等技巧。（一）三角函数的图像与性质：周期、奇偶性、最值命题特点：常以“\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)+B\)”“\(f(x)=\cos^2x+\sinx\)”为载体，考查周期计算“奇偶性判断”“最值求解”。核心是将函数化为标准形式（如\(A\sin(\omegax+\varphi)+B\)）。解题策略：1.化简函数：利用三角恒等式（如倍角公式、辅助角公式）将函数化为标准形式；2.求周期：\(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\)（正弦/余弦函数），\(T=\frac{\pi}{|\omega|}\)（正切/余切函数）；3.判断奇偶性：若\(f(-x)=f(x)\)则为偶函数（如\(\cosx\)），若\(f(-x)=-f(x)\)则为奇函数（如\(\sinx\)）；4.求最值：根据\(\sin(\omegax+\varphi)\in[-1,1]\)，求\(f(x)\)的最值。典型例题（2023年全国卷Ⅰ）：已知函数\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)，求\(f(x)\)的最小正周期和最大值。解答：利用倍角公式化简：\(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。故最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，最大值为\(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)。易错点提醒：辅助角公式错误：\(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)（注意符号与象限）；周期计算错误：如\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的周期是\(\pi\)，而非\(2\pi\)。（二）解三角形：正弦定理与余弦定理的综合应用命题特点：常以“三角形边角关系”“三角形面积”“三角形形状判断”为设问，考查正弦定理（\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)）、余弦定理（\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)）的应用。核心是边角互化（将边化为角或角化为边）。解题策略：1.确定已知条件：明确已知的边（\(a,b,c\)）和角（\(A,B,C\)）；2.选择定理：若已知“两边及夹角”或“三边”，用余弦定理；若已知“两边及其中一边的对角”或“两角及一边”，用正弦定理；3.边角互化：若条件含“边的齐次式”（如\(a^2+b^2=c^2+ab\)），可化为角（\(\sin^2A+\sin^2B=\sin^2C+\sinA\sinB\)）；若条件含“角的正弦”（如\(\sinA=2\sinB\)），可化为边（\(a=2b\)）。典型例题（2022年全国卷Ⅰ）：在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c\)，已知\(b=2\)，\(c=3\)，\(\cosA=\frac{1}{3}\)，求\(a\)和\(\sinC\)。解答：由余弦定理得\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{3}=13-4=9\)，故\(a=3\)。由\(\cosA=\frac{1}{3}\)，得\(\sinA=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。由正弦定理得\(\sinC=\frac{c\sinA}{a}=\frac{3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。易错点提醒：正弦定理的“多解问题”：当已知“两边及其中一边的对角”（如\(a=3\),\(b=2\),\(A=60^\circ\)），需判断解的个数（用\(b\sinA\)与\(a\)的大小关系）；余弦定理的“符号问题”：\(\cosA<0\)时，\(A\)为钝角；\(\cosA>0\)时，\(A\)为锐角。三、立体几何：空间想象与向量工具立体几何是高考的“直观板块”，占分约15%，重点考查空间几何体的表面积与体积“线面位置关系”“空间角与距离”，强调空间想象能力与向量工具的应用。（一）空间几何体的表面积与体积：公式记忆与割补法命题特点：常考查“棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球”的表面积与体积，载体多为“组合体”（如球内接正方体、棱锥与棱柱组合）。核心是记住公式与割补法（将复杂几何体转化为简单几何体）。解题策略：1.记忆基本公式：棱柱体积：\(V=Sh\)（\(S\)为底面积，\(h\)为高）；棱锥体积：\(V=\frac{1}{3}Sh\)；球的表面积：\(S=4\piR^2\)，体积：\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)；2.割补法：将组合体分割为几个简单几何体（如“半圆柱+长方体”），或补成完整几何体（如“三棱锥补成三棱柱”）。典型例题（2023年全国卷Ⅰ）：已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，求其体积和侧面积。解答：体积\(V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times1^2\times2=\frac{2\pi}{3}\)；母线长\(l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)，侧面积\(S=\pirl=\pi\times1\times\sqrt{5}=\sqrt{5}\pi\)。易错点提醒：混淆“侧面积”与“表面积”：表面积=侧面积+底面积（如圆锥表面积=πrl+πr²）；球内接几何体的半径计算错误：如正方体的体对角线等于球的直径（\(\sqrt{3}a=2R\)）。（二）线面位置关系：判定定理与性质定理的应用命题特点：常考查“线线平行/垂直”“线面平行/垂直”“面面平行/垂直”的判定与性质，载体多为“长方体”“三棱柱”“三棱锥”。核心是掌握定理的条件与结论。解题策略：1.线面平行：判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行（需证明“线线平行”）；性质定理：线面平行，则过该直线的平面与原平面的交线与该直线平行。2.线面垂直：判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直（需证明“线线垂直”）；性质定理：线面垂直，则该直线与平面内所有直线垂直。3.面面垂直：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则面面垂直（需证明“线面垂直”）；性质定理：面面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。典型例题（2022年全国卷Ⅰ）：在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)为\(DD_1\)的中点，证明：\(A_1C\parallel\)平面\(BEC_1\)。解答：连接\(B_1C\)交\(BC_1\)于点\(F\)，则\(F\)为\(B_1C\)的中点（长方体对角线互相平分）。\(E\)为\(DD_1\)的中点，故\(A_1E\parallelC_1F\)且\(A_1E=C_1F\)（\(A_1D_1\parallelBC\)，\(D_1E=\frac{1}{2}D_1D=\frac{1}{2}BC=CF\)），因此四边形\(A_1EC_1F\)为平行四边形，故\(A_1C\parallelEF\)。\(EF\subset\)平面\(BEC_1\)，\(A_1C\not\subset\)平面\(BEC_1\)，故\(A_1C\parallel\)平面\(BEC_1\)。易错点提醒：线面平行的判定定理遗漏“平面外”条件：如“直线在平面内”则无法线面平行；线面垂直的判定定理遗漏“相交”条件：如“直线与平面内两条平行直线垂直”不能判定线面垂直。（三）空间角与距离：向量法的规范步骤命题特点：常考查“异面直线所成角”“线面角”“二面角”，载体多为“长方体”“三棱锥”“四棱锥”。核心是建立空间直角坐标系，用向量法计算角的余弦值（或正弦值）。解题策略：1.建立坐标系：选择合适的原点（如长方体的顶点、棱锥的底面中心），使坐标轴与几何体的棱重合；2.求坐标：写出各点的坐标（如长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(A(0,0,0)\),\(B(a,0,0)\),\(C(a,b,0)\),\(D(0,b,0)\),\(A_1(0,0,c)\)）；3.求向量：计算所需向量（如异面直线\(AB\)与\(CD\)的方向向量\(\overrightarrow{AB}\),\(\overrightarrow{CD}\)）；4.计算角：异面直线所成角：\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}\)（\(\theta\in(0,\frac{\pi}{2}]\)）；线面角：\(\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\)（\(\overrightarrow{n}\)为平面法向量，\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\)）；二面角：\(\cos\theta=\pm\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot|\overrightarrow{n_2}|}\)（\(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\)为两平面法向量，符号由二面角的方向决定）。典型例题（2021年全国卷Ⅰ）：在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\),\(AD=1\),\(AA_1=1\)，求异面直线\(A_1B\)与\(AC\)所成角的余弦值。解答：建立空间直角坐标系，\(A(0,0,0)\),\(B(2,0,0)\),\(C(2,1,0)\),\(A_1(0,0,1)\)。\(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-1)\),\(\overrightarrow{AC}=(2,1,0)\)。\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\frac{|2\times2+0\times1+(-1)\times0|}{\sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2+0^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{4}{5}\)。易错点提醒：坐标系建立错误：如原点选择不当导致坐标计算复杂；法向量计算错误：如平面\(ABC\)的法向量应垂直于\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)，需用叉乘计算；角的范围混淆：异面直线所成角的范围是\((0,\frac{\pi}{2}]\)，线面角的范围是\([0,\frac{\pi}{2}]\)，二面角的范围是\([0,\pi]\)。四、解析几何：几何性质与代数运算解析几何是高考的“运算板块”，占分约15%，重点考查圆锥曲线的定义与性质“直线与圆锥曲线位置关系”“定点定值问题”，强调几何性质与代数运算的结合。（一）圆锥曲线的定义与性质：离心率、焦点坐标、准线方程命题特点：常考查“椭圆”“双曲线”“抛物线”的基本性质，如离心率（\(e=\frac{c}{a}\)）、焦点坐标（椭圆\((\pmc,0)\)，双曲线\((\pmc,0)\)，抛物线\((\frac{p}{2},0)\)）、准线方程（椭圆\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)，双曲线\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)，抛物线\(x=-\frac{p}{2}\)）。核心是掌握圆锥曲线的定义（如椭圆的“到两焦点距离之和为定值”）。解题策略：1.确定圆锥曲线类型：根据方程形式判断（如\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)为椭圆，\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)为双曲线，\(y^2=2px\)为抛物线）；2.计算基本参数：\(a\)（长半轴/实半轴）、\(b\)（短半轴/虚半轴）、\(c\)（半焦距），满足\(c^2=a^2-b^2\)（椭圆）、\(c^2=a^2+b^2\)（双曲线）、\(p\)（抛物线的焦准距）；3.应用定义：如椭圆上一点\(P\)到焦点\(F_1\)的距离为\(d\)，则到\(F_2\)的距离为\(2a-d\)。典型例题（2023年全国卷Ⅰ）：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左焦点为\(F(-1,0)\)，离心率为\(\frac{1}{2}\)，求\(a\)和\(b\)的值。解答：左焦点\(F(-1,0)\)，故\(c=1\)。离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，故\(a=2\)。由\(c^2=a^2-b^2\)，得\(b^2=a^2-c^2=4-1=3\)，故\(b=\sqrt{3}\)。易错点提醒：双曲线的离心率范围错误：双曲线的离心率\(e>1\)，椭圆的离心率\(0<e<1\)，抛物线的离心率\(e=1\)；抛物线的开口方向错误：\(y^2=2px\)开口向右，\(y^2=-2px\)开口向左，\(x^2=2py\)开口向上，\(x^2=-2py\)开口向下。（二）直线与圆锥曲线位置关系：韦达定理与判别式命题特点：常考查“直线与椭圆/双曲线/抛物线相交”的问题，如“求弦长”“求中点坐标”“求参数范围”。核心是联立方程，利用韦达定理（根与系数的关系）化简，同时注意判别式（\(\Delta\geq0\)）保证有实根。解题策略：1.设直线方程：若直线斜率存在，设为\(y=kx+m\)；若斜率不存在，设为\(x=t\)；2.联立方程：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去\(y\)（或\(x\)），得到关于\(x\)（或\(y\)）的一元二次方程；3.计算判别式：\(\Delta=B^2-4AC\)，若\(\Delta\geq0\)，则直线与圆锥曲线相交；4.用韦达定理：设两根为\(x_1,x_2\)，则\(x_1+x_2=-\frac{B}{A}\)，\(x_1x_2=\frac{C}{A}\)；5.计算弦长：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)。典型例题（2022年全国卷Ⅰ）：已知椭圆\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，过点\(P(1,0)\)的直线\(l\)与椭圆交于\(A,B\)两点，求弦长\(|AB|\)的最大值。解答：设直线\(l\)的方程为\(y=k(x-1)\)，代入椭圆方程得：\(\frac{x^2}{4}+k^2(x-1)^2=1\)，整理得\((1+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-4=0\)。判别式\(\Delta=(8k^2)^2-4(1+4k^2)(4k^2-4)=64k^4-4(4k^2-4+16k^4-16k^2)=64k^4-4(16k^4-12k^2-4)=64k^4-64k^4+48k^2+16=48k^2+16>0\)，恒成立。设\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=\frac{8k^2}{1+4k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{4k^2-4}{1+4k^2}\)。弦长\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(\frac{8k^2}{1+4k^2})^2-4\cdot\frac{4k^2-4}{1+4k^2}}\)化简得：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{64k^4-4(4k^2-4)(1+4k^2)}{(1+4k^2)^2}}=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{64k^4-4(16k^4-12k^2-4)}{(1+4k^2)^2}}=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\frac{48k^2+16}{(1+4k^2)^2}}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{16(3k^2+1)}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{(1+k^2)(3k^2+1)}}{1+4k^2}\)。令\(t=k^2\geq0\)，则\(|AB|=\frac{4\sqrt{(1+t)(3t+1)}}{1+4t}=4\sqrt{\frac{3t^2+4t+1}{16t^2+8t+1}}\)。设\(f(t)=\frac{3t^2+4t+1}{16t^2+8t+1}\)，求导得\(f'(t)=\frac{(6t+4)(16t^2+8t+1)-(3t^2+4t+1)(32t+8)}{(16t^2+8t+1)^2}\)，化简后得\(f'(t)=\frac{-(24t+4)(4t-1)}{(16t^2+8t+1)^2}\)。令\(f'(t)=0\)，得\(t=\frac{1}{4}\)（\(t\geq0\)）。当\(t=\frac{1}{4}\)时，\(f(t)\)取得最大值\(f(\frac{1}{4})=\frac{3\times\frac{1}{16}+4\times\frac{1}{4}+1}{16\times\frac{1}{16}+8\times\frac{1}{4}+1}=\frac{\frac{3}{16}+1+1}{1+2+1}=\frac{\frac{35}{16}}{4}=\frac{35}{64}\)，故\(|AB|\)的最大值为\(4\sqrt{\frac{35}{64}}=4\times\frac{\sqrt{35}}{8}=\frac{\sqrt{35}}{2}\)。易错点提醒：联立方程时消元错误：如将\(y=kx+m\)代入椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，应得到\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+m)^2}{b^2}=1\)，整理为关于\(x\)的一元二次方程；忘记判别式：如求“直线与椭圆相交”的参数范围时，必须保证\(\Delta\geq0\)；弦长公式错误：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|\)（斜率为\(k\)），若斜率不存在，则\(|AB|=|y_1-y_2|\)。（三）定点定值问题：特殊值法与代数化简命题特点：常考查“直线过定点”“向量数量积为定值”“面积为定值”等问题，载体多为“椭圆”“抛物线”。核心是通过特殊值法猜想定点/定值，再用代数方法证明。