上海市黄浦区大同中学2024届高三下学期2月月考数学试题（原卷版）

大同中学高三数学2024.02一．填空题（第1－6题每题4分，第7－12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.若，则______3.已知非零向量满足，.若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为______4.若正三棱柱的所有棱长均为4，则其体积为______5.如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为__________.6.已知的两共轭虚根为，，且，则______．7.在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为________8.若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为______．9.已知函数的定义域为，，则下列说法正确的有______①；②；③是偶函数；④为的极小值点10.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是___________．11.设函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______12.以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为__________．二．选择题（本大题共4题，满分20分）13.若，且，则下列不等式中，恒成立的是A. B. C. D.14.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度B.横坐标变为原来3倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C.横坐标变为原来倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D.横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若，则，，A若出门，则开私家车不会迟到B.若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到16.已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（）A. B. C. D.三．解答题（本大题共有5题，满分76分）17.在中，角的对边分别为，.（1）求角；（2）若为钝角三角形，且，求的取值范围.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，E为AD的中点．（1）求证：；（2）在线段PC上是否存在点M，使得平面PEB？请说明理由19.某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为（1）三个年级参赛人数各为多少？（2）在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率（3）记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望20.已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.（1）求证：；（2）求证：定值，并求出该定值；（3）求的最大值.21.已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有