上海市交通大学附属中学2023-2024学年高三下学期四模数学试题（原卷版）

交大附中高三四模数学试卷2024.05一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.函数的最小正周期为______.2.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.3.已知集合且，则实数a的取值范围是______．4.数列的最小项的值为______.5.椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______.6.如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）.7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.8.已知正实数满足，，则______.9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台的母线与底面所成角的大小为______（用反三角函数表示）.10.考虑的非空子集，满足中的元素个数等于中的最小元素，例如，就满足此条件.则这样的子集共有______个.11.平面点集所构成区域的面积为______.12.设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______.二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（）A.， B.，C.， D.，15.已知函数具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（）A B. C.0 D.116已知正方体和点，有两个命题：命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；则下列判断正确是（）A. B.C. D.的大小关系与点的位置有关三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知，数列前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列通项公式；（2）若，令，求数列的前2024项和.18.某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离5663717990102110117损坏零件数（个）617390105119136149163（1）建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数.（精确到0.1，精确到1，精确到0.0001）（2）该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”.（1）计算正方体和正四面体的“球形比例系数”；（2）求圆柱体的“球形比例系数”范围；（3）是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由.20.已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；（3）过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.21.已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有.则称是集合到集合