2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第五节　幂函数与二次函数

第五节幂函数与二次函数高中总复习·数学课标要求

1.

通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.

掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用

二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数

叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.（2）常见的五种幂函数的图象y＝xα

①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点

和

，且在

（0，＋∞）上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点

，且在（0，＋∞）上单

调递减.（1，1）

（0，0）

（1，1）

（3）幂函数的性质2.

二次函数解析式的三种形式（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）；（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.3.

二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）图象

定义域RR解析式f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）值域

单调性在x∈（－∞，－

］上单

调递减；在x∈

⁠

上单调递增在x∈（－∞，－

］上单调递

增；在x∈

⁠上单

调递减对称性函数的图象关于直线x＝

⁠对称

提醒注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于

零两种情况讨论.

1.

幂函数图象的特征（1）在（0，1）上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为

“指大图低”）；（2）在（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.

（

√

）（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.

（

×

）（4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

（

√

）×√×√2.

函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为（

）A.

[－6，2]B.

[－6，1]C.

[0，2]D.

[0，1]解析：

函数f（x）＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，则f（x）在

[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝2，

f（x）min＝f（－1）＝－2－4＝－6，即f（x）的值域为[－6，2].√

A.

B.4C.

D.

√4.

若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m

与n的取值情况为（

）A.

－1＜m＜0＜n＜1B.

－1＜n＜0＜m＜

C.

－1＜m＜0＜n＜

D.

－1＜n＜0＜m＜1√解析：

幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递

增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在

（0，＋∞）上单调递减.由结论可知，不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，

则－1＜n＜0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D.

5.

（人A必修一P100复习参考题4题改编）已知函数f（x）＝x2－2ax＋4

在[0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A.

（－∞，－1]B.

[－1，＋∞）C.

[0，＋∞）D.

（－∞，0]解析：

函数f（x）＝x2－2ax＋4＝（x－a）2＋4－a2，所以f（x）

的单调递增区间是[a，＋∞），依题意知，[0，＋∞）⊆[a，＋∞），所

以a≤0，即实数a的取值范围是（－∞，0]，故选D.

√PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

幂函数的图象与性质（基础自学过关）1.

（2025·重庆开学考试）已知幂函数f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是

定义域上的奇函数，则m＝（

）A.

－

或3B.3C.

D.

－

√

A.

m，n是奇数，且

＜1B.

m是偶数，n是奇数，且

＞1C.

m是偶数，n是奇数，且

＜1D.

m，n是偶数，且

＞1√

3.

若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围是（

）A.

（

，

）B.

（－∞，－1）C.

（－∞，－1）∪（

，

）D.

⌀√

4.

〔多选〕已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列说法

正确的有（

）A.

f（x）是偶函数B.

f（x）是增函数C.

当x＞1时，f（x）＞1D.

当0＜x1＜x2时，

＜f（

）√√√

练后悟通1.

幂函数的图象与性质特征的关系（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需

一个条件即可确定其解析式；（2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数

时，一般将其先化为根式，再判断；（3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋

∞）上单调递减，则α＜0.2.

幂函数单调性的应用（1）利用单调性比较两个幂的大小；（2）利用单调性解不等式.二次函数的解析式（师生共研过关）

已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）

的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.

法三（利用二次函数的零点式）

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，

x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.解题技法求二次函数解析式的方法

2.

已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离

等于2，则二次函数的解析式为

⁠.

二次函数的图象与性质（定向精析突破）考向1

二次函数图象的识别

〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（

）A.

b2＞4acB.

2a－b＝1C.

a－b＋c＝0D.

5a＜b√√

解题技法识别二次函数图象应学会“三看”考向2

二次函数的单调性与最值

已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.（1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.

解题技法二次函数最值问题的类型及求解策略（1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③

对称轴固定、区间变动.（2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个

端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨

论的思想求解.

1.

设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（

）√解析：

因为abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A

中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符

合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D.

2.

已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]

上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（

）A.

[0，＋∞）B.

（－∞，0]C.

[0，4]D.

（－∞，0]∪[4，＋∞）解析：

由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直

线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可

得0≤a≤4.√3.

函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a

的取值范围是

⁠.解析：令f（x）＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，令f（x）＝x2－4x

＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，

2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝

[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单

调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4.所

以b－a的取值范围是[2，4].[2，4]

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习1.

已知幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的图象大致

为（

）√123456789101112131415

1234567891011121314152.

已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝

0，则（

）A.

∀x∈（0，1），都有

f（x）＞0B.

∀x∈（0，1），都有

f（x）＜0C.

∃x∈（0，1），使得

f（x）＝0D.

∃x∈（0，1），使得

f（x）＞0√解析：

由a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上.因为f（0）＝c＜0，f（1）＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈（0，1），都有f（x）＜0，B正确，A、C、D错误，故选B.

123456789101112131415

A.

c＜b＜aB.

c＜a＜bC.

b＜c＜aD.

a＜b＜c

√1234567891011121314154.

已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任

意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范

围是（

）A.

（－∞，0]B.

[0，3]C.

（－∞，0]∪[3，＋∞）D.

[3，＋∞）解析：

二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x

＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f

（x2），即f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－

1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）.√123456789101112131415

A.

f（－32）＝

B.

f（x）的定义域是RC.

f（x）是偶函数D.

不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3]√√√123456789101112131415

1234567891011121314156.

〔多选〕已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有

两个交点（x1，0），（x2，0），则下面说法正确的是（

）A.

该二次函数的图象一定过定点（－1，－5）B.

若该函数图象开口向下，则m的取值范围为（

，2）C.

当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5D.

当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足－3＜x1＜－

2，－1＜x2＜0时，m的取值范围为（

，11）√√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发

送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）.设加密密钥

为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到

密文“3”，则解密后得到的明文是

⁠.

9

1234567891011121314158.

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的

正负：b

0，ac

0，a－b＋c

0.（填“＞”“＜”或

“＝”）

＞

＜

＜

123456789101112131415

123456789101112131415（2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.

123456789101112131415

A.3B.4C.5D.6√123456789101112131415

12345678910111213141511.

（2025·八省联考）已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2

时，f（x）＞0，则a的取值范围是（

）A.

（－∞，1]B.

[－2，1]C.

[－1，2]D.

[－1，＋∞）√123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141512.

〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个不同的零点x1，x2，以

下结论正确的是（

）A.

a＜1B.

若x1x2≠0，则

＋

＝

C.

f（－1）＝