2026版三维设计一轮高中总复习数学课件-第一节　直线的方程

第一节直线的方程高中总复习·数学课标要求

1.

在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.

理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过

程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.

根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜

式、两点式及一般式）.目录CONTENTS知识·逐点夯实01.考点·分类突破02.课时·跟踪检测03.PART01知识·逐点夯实必备知识|课前自修

1.

直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l

⁠

的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为

⁠；③范围：直线的倾斜角α的取值范围为

⁠.向上

0°

0°≤α＜180°

提醒

倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每

条直线都有唯一确定的倾斜角.（2）直线的斜率

②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则

l的斜率k＝

⁠.提醒

如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果

y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在.

2.

直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜

式

⁠不含垂直于x轴的直线斜截

式

⁠不含垂直于x轴的直线两点

式

＝

（x1≠x2，y1≠y2）不含垂直于x轴，y轴的直线

y－y0＝k（x－x0）y＝kx＋b名称方程适用范围截距

式

＋

＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般

式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平面直角坐标系内的直线都适用

1.

直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ的大小0

°0°＜θ＜90°90°90°＜θ＜180°k的范围0k＞0不存在k＜0k的增减性随θ的增大而增大随θ的增大而增大2.

特殊直线的方程（1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1；（2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1；（3）y轴的方程为x＝0；（4）x轴的方程为y＝0.3.

直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方向向量为a＝（－B，

A）.

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.

（

×

）（2）直线的斜率为tan

α，则其倾斜角为α.

（

×

）（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.

（

×

）（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用

方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示.

（

√

）×××√

A.30°B.60°C.120°D.150°

√3.

如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（

）A.

k1＜k2＜k3B.

k3＜k1＜k2C.

k3＜k2＜k1D.

k1＜k3＜k2解析：

由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的

倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.√4.

（苏教选一P13练习1（5）题改编）倾斜角为135°，在y轴上的截距为

－1的直线方程是（

）A.

x－y＋1＝0B.

x－y－1＝0C.

x＋y－1＝0D.

x＋y＋1＝0解析：

直线的斜率为k＝tan

135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－

1，即x＋y＋1＝0.√5.

（人A选一P67习题7题改编）过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等

的直线方程为

⁠.

3x－2y＝0或x＋y－5＝0PART02考点·分类突破精选考点|课堂演练

直线的倾斜角与斜率（基础自学过关）1.

〔多选〕已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是

（

）A.

若ab＞0，则直线l的斜率小于0B.

若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C.

直线l可能经过坐标原点D.

若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°√√√

2.

直线x＋（m2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（

）A.

（0，

］B.

（

，

）C.

（

，

）D.

［

，π）

√

∞）

练后悟通解决直线的倾斜角与斜率问题的方法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图

形，结合正切函数的单调性求解；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之

亦可.

直线的方程（师生共研过关）

求符合下列条件的直线方程：

（2）直线过点A（1，4），且直线在两坐标轴上的截距之和为0；

（3）已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，

3），求过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程.解：

因为P（2，3）在已知直线上，所以2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0.所以过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x＋

3y＋1＝0.解题技法求解直线方程的两种方法（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线

方程；（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参

数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设

直线方程.提醒

（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存

在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否

为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否

为0.

1.

经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（

）A.

2x－y－1＝0B.

2x＋y－3＝0C.

x－2y＋1＝0D.

x＋2y－3＝0解析：

∵直线的方向向量为（1，2），∴直线的斜率k＝2.又直线过点

（1，1），∴直线的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.√

3.

已知△ABC的三个顶点坐标为A（1，2），B（3，6），C（5，2），

M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为

⁠

⁠.

2x

＋y－8＝0直线方程的综合应用（师生共研过关）

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积

为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.

解题技法直线方程综合问题的两大类型及解法（1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题

转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决；（2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知

识来解决.

A.

［－

，0）B.

（－

，0）C.

（－

，＋∞）D.

（－∞，－

）∪（0，＋∞）√

2.

已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P

（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为

⁠.

PART03课时·跟踪检测关键能力|课后练习

1.

若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是（

）A.

B.

C.πD.0

12345678910111213141516171819202022232425√2.

若ac＞0且bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0不经过（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限

√3.

已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，

则直线l的方程为（

）A.

2x－y＝0B.

2x＋y－4＝0C.

2x－y＝0或x＋2y－2＝0D.

2x－y＝0或2x＋y－4＝0√

4.

若直线y＝ax＋1与连接A（2，3），B（－3，2）的线段总有公共点，

则实数a的取值范围是（

）A.

［－1，

］B.

（－∞，－

］∪[1，＋∞）C.

［－

，1］D.

（－∞，－2]∪［

，＋∞）√

5.

〔多选〕下列说法正确的有（

）A.

若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限B.

直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2）C.

过点（2，－1）且斜率为－

的点斜式方程为y＋1＝－

（x－2）D.

斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3√√√

6.

〔多选〕已知直线x

sin

α＋y

cos

α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确

的是（

）A.

直线的倾斜角是π－αB.

无论α如何变化，直线不过原点C.

直线的斜率一定存在D.

当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1√√

（0，1）

（2）若直线l与两坐标轴的正半轴相交，求l与坐标轴围成的三角形面积

最大时直线l的方程.

A.

a＜b＜cB.

c＜b＜aC.

c＜a＜bD.

b＜a＜c

√11.

〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a

－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为

（

）A.0B.

C.

D.

√√

12.

若直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，4），则该直线在x

轴，y轴上截距之和的最小值为

⁠.

913.

（创新知识交汇）若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方

形的两条邻边所在直线的斜率分别为

，

⁠.

－214.

过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于点A，B.

（1）当P为