数列知识点归纳与总结

数列知识点归纳与总结一、数列的基本概念（一）数列的定义数列是按一定顺序排列的一列数，记作$\{a_n\}$，其中$a_n$称为数列的第$n$项（通项），$n$称为项数。有序性：数列中的项与项数一一对应，顺序不同则为不同数列（如$1,2,3$与$3,2,1$是不同数列）；可重复性：数列中的项可以重复（如常数列$2,2,2,\dots$）。（二）数列的表示方法1.通项公式：用含$n$的表达式直接表示第$n$项，即$a_n=f(n)$（$n\inN^*$）。例：等差数列通项$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列通项$a_n=a_1q^{n-1}$。2.递推公式：通过前一项或前几项表示后项的关系式。例：斐波那契数列递推式$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\geq3$，$F_1=F_2=1$）。3.列表法：逐项列出数列的项（如$a_1,a_2,a_3,\dots$）。4.图像法：以项数$n$为横坐标、$a_n$为纵坐标，在平面直角坐标系中描点（离散点）。（三）数列的分类1.按项数分：有限数列：项数有限（如$1,3,5,7$，共4项）；无限数列：项数无限（如自然数数列$1,2,3,\dots$）。2.按增减性分：递增数列：对任意$n\inN^*$，有$a_{n+1}>a_n$（如$2,4,6,8,\dots$）；递减数列：对任意$n\inN^*$，有$a_{n+1}<a_n$（如$10,8,6,4,\dots$）；常数列：对任意$n\inN^*$，有$a_{n+1}=a_n$（如$5,5,5,\dots$）；摆动数列：数列增减无固定规律（如$1,-1,1,-1,\dots$）。3.按有界性分：有界数列：存在常数$M>0$，使得对任意$n\inN^*$，有$|a_n|\leqM$（如$(-1)^n$，有界于1）；无界数列：不存在上述常数$M$（如$n^2$，随$n$增大而无限增大）。二、等差数列（一）等差数列的定义若数列$\{a_n\}$从第二项起，每一项与前一项的差为常数，则称$\{a_n\}$为等差数列，该常数称为公差，记作$d$（$d\inR$）。定义的数学表达式：$a_{n+1}-a_n=d$（$n\inN^*$，$d$为常数）。（二）等差数列的通项公式1.基本形式：通过累加法推导（$a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})$），得：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$为数列首项，$d$为公差，$n$为项数。2.推广形式：若已知第$m$项$a_m$，则第$n$项可表示为：$$a_n=a_m+(n-m)d$$（三）等差数列的性质1.等差中项：若$a,b,c$成等差数列，则$b$称为$a$与$c$的等差中项，且$b=\frac{a+c}{2}$（即$2b=a+c$）。2.项的对称性：若$m+n=p+q$（$m,n,p,q\inN^*$），则$a_m+a_n=a_p+a_q$；特别地，当$m+n=2k$时，$a_m+a_n=2a_k$（$a_k$为$a_m$与$a_n$的等差中项）。3.公差的性质：公差$d=a_{n+1}-a_n=\frac{a_n-a_m}{n-m}$（$n\neqm$）；若$d>0$，数列递增；$d<0$，数列递减；$d=0$，数列为常数列。（四）等差数列的前$n$项和1.求和公式：公式1（倒序相加法推导）：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$（适用于已知首项$a_1$和末项$a_n$）；公式2（代入通项公式）：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$（适用于已知首项$a_1$和公差$d$）。2.和的性质：前$n$项和$S_n$是关于$n$的二次函数（$d\neq0$时），形式为$S_n=An^2+Bn$（无常数项），其中$A=\frac{d}{2}$，$B=a_1-\frac{d}{2}$；若数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$成等差数列，公差为$n^2d$；若等差数列$\{a_n\}$的项数为$2k$，则$S_{2k}=k(a_k+a_{k+1})$，且$S_{偶}-S_{奇}=kd$（$S_{偶}$为偶数项和，$S_{奇}$为奇数项和）；若项数为$2k-1$，则$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$（$a_k$为中间项），且$S_{奇}-S_{偶}=a_k$。三、等比数列（一）等比数列的定义若数列$\{a_n\}$从第二项起，每一项与前一项的比为非零常数，则称$\{a_n\}$为等比数列，该常数称为公比，记作$q$（$q\inR$且$q\neq0$）。定义的数学表达式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$n\inN^*$，$q$为非零常数）。（二）等比数列的通项公式1.基本形式：通过累乘法推导（$a_n=a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdot\dots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}$），得：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$为数列首项（$a_1\neq0$），$q$为公比（$q\neq0$）。2.推广形式：若已知第$m$项$a_m$，则第$n$项可表示为：$$a_n=a_mq^{n-m}$$（三）等比数列的性质1.等比中项：若$a,b,c$成等比数列，则$b$称为$a$与$c$的等比中项，且$b^2=ac$；注意：同号的两个数才有等比中项，且有两个（互为相反数），如$2$与$8$的等比中项为$\pm4$。2.项的对称性：若$m+n=p+q$（$m,n,p,q\inN^*$），则$a_ma_n=a_pa_q$；特别地，当$m+n=2k$时，$a_ma_n=a_k^2$（$a_k$为$a_m$与$a_n$的等比中项）。3.公比的性质：公比$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt[n-m]{\frac{a_n}{a_m}}$（$n\neqm$，$a_m,a_n$同号）；若$|q|>1$且$a_1\neq0$，数列递增或递减（取决于$a_1$的符号）；$|q|<1$，数列趋近于0（收敛）；$q=1$，常数列；$q=-1$，摆动数列。（四）等比数列的前$n$项和1.求和公式：当$q=1$时，数列为常数列，$S_n=na_1$；当$q\neq1$时，通过错位相减法推导，得：$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$（适用于已知首项$a_1$和公比$q$）。2.和的性质：若数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$q\neq-1$，则$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$成等比数列，公比为$q^n$；若$q=-1$，则当$n$为偶数时，$S_n=0$；当$n$为奇数时，$S_n=a_1$；等比数列的前$n$项和$S_n$满足$S_n=a_1+qS_{n-1}$（$n\geq2$）。四、特殊数列与递推关系（一）常见特殊数列1.斐波那契数列：定义：$F_1=1$，$F_2=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$（$n\geq3$）；通项公式（比内公式）：$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$；应用：自然中的花瓣数、树枝生长、黄金分割等。2.调和数列：定义：$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$（无通项公式，前$n$项和趋近于无穷大）。3.平方数列：$1^2,2^2,3^2,\dots,n^2$，前$n$项和$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。（二）递推数列的类型及解法递推数列是指通过递推公式表示的数列，常见类型及解法如下：1.累加法（差分数列）：形式：$a_n-a_{n-1}=f(n)$（$n\geq2$，$f(n)$可求和）；解法：$a_n=a_1+\sum_{k=2}^nf(k)$；例：$a_1=1$，$a_n-a_{n-1}=2n-1$，则$a_n=1+\sum_{k=2}^n(2k-1)=1+(n^2-1)=n^2$。2.累乘法（商数列）：形式：$\frac{a_n}{a_{n-1}}=f(n)$（$n\geq2$，$f(n)$可求积）；解法：$a_n=a_1\cdot\prod_{k=2}^nf(k)$；例：$a_1=2$，$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，则$a_n=2\cdot\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}=2\cdotn=2n$。3.线性递推（一阶齐次/非齐次）：形式1（齐次）：$a_n=pa_{n-1}$（$p\neq0$），解为等比数列$a_n=a_1p^{n-1}$；形式2（非齐次）：$a_n=pa_{n-1}+q$（$p\neq1$，$q$为常数）；解法：待定系数法，设$a_n+k=p(a_{n-1}+k)$，展开得$k=\frac{q}{p-1}$，转化为等比数列$\{a_n+k\}$；例：$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}+1$，设$a_n+1=2(a_{n-1}+1)$，则$a_n+1=2^n$，故$a_n=2^n-1$。4.分式递推：形式：$a_n=\frac{pa_{n-1}}{qa_{n-1}+r}$（$p,q,r\neq0$）；解法：取倒数，转化为线性递推：$\frac{1}{a_n}=\frac{r}{p}\cdot\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{q}{p}$；例：$a_1=1$，$a_n=\frac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+2}$，取倒数得$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n-1}}$，故$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}(n-1)+1=\frac{n+1}{2}$，即$a_n=\frac{2}{n+1}$。5.指数递推：形式：$a_n=a_{n-1}^k\cdotb^n$（$k,b>0$）；解法：取对数，转化为线性递推：$\lna_n=k\lna_{n-1}+n\lnb$；例：$a_1=2$，$a_n=a_{n-1}^2\cdot3^n$，取对数得$\lna_n=2\lna_{n-1}+n\ln3$，设$b_n=\lna_n$，则$b_n=2b_{n-1}+n\ln3$，用待定系数法求解。五、数列求和的常用方法（一）直接法适用于等差、等比数列或已知通项公式且可直接求和的数列，直接代入对应求和公式。例：求$3+5+7+\dots+(2n+1)$，这是首项$a_1=3$、末项$a_n=2n+1$、公差$d=2$的等差数列，和为$S_n=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$。（二）分组求和法将数列拆分为若干个等差或等比数列，分别求和后相加。例：求$1+3+2+6+3+9+\dots+n+3n$，拆分为奇数项和偶数项：奇数项：$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$；偶数项：$3+6+9+\dots+3n=3(1+2+\dots+n)=\frac{3n(n+1)}{2}$；总和：$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{3n(n+1)}{2}=2n(n+1)$。（三）错位相减法适用于等差数列×等比数列的形式（即$a_n=b_nc_n$，其中$\{b_n\}$为等差数列，$\{c_n\}$为等比数列）。例：求$S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2^n$，设$S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2^n$，两边乘2得$2S_n=1×2²+2×2³+…+(n-1)×2^n+n×2^{n+1}$，两式相减得$-S_n=2+2²+2³+…+2^n-n×2^{n+1}=\frac{2(2^n-1)}{2-1}-n×2^{n+1}=2^{n+1}-2-n×2^{n+1}$，故$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。（四）裂项相消法将通项拆分为两个相邻项的差，求和时中间项抵消，只剩首尾项。常见裂项形式：$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$（如$k=1$时，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）；$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$。例：求$S_n=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$，通项裂项：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，求和：$S_n=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。（五）倒序相加法适用于首尾对称项之和为常数的数列（如等差数列）。例：求$S_n=1+2+3+\dots+n$，倒序得$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\dots+1$，两式相加得$2S_n=(1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)=n(n+1)$，故$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$。（六）并项求和法适用于相邻项可合并为常数或规律项的数列（如摆动数列）。例：求$S_n=1-2+3-4+\dots+(-1)^{n+1}n$，当$n$为偶数时，$S_n=(1-2)+(3-4)+…+(n-1-n)=-\frac{n}{2}$；当$n$为奇数时，$S_n=(1-2)+(3-4)+…+(n-2-(n-1))+n=-\frac{n-1}{2}+n=\frac{n+1}{2}$；综上，$S_n=\begin{cases}-\frac{n}{2},&n为偶数,\\\frac{n+1}{2},&n为奇数.\end{cases}$六、数列的实际应用（一）等差数列的应用1.单利计算：本金$P$元，年利率$r$，$n$年后本利和为$A_n=P(1+nr)$（等差数列，公差$Pr$）。2.等差数列项数问题：从1开始的连续奇数和为$n^2$（如$1+3+5=9=3^2$）。3.线性增长问题：如每月固定存入金额的储蓄（零存整取）、匀速行驶的车辆行驶距离等。（二）等比数列的应用1.复利计算：本金$P$元，年利率$r$，每年复利一次，$n$年后本利和为$A_n=P(1+r)^n$（等比数列，公比$1+r$）。2.人口增长：假设人口年增长率为$r$，初始人口为$N_0$，$n$年后人口为$N_n=N_0(1+r