等差数列专题知识点解析与习题集

等差数列专题知识点解析与习题集一、引言等差数列是数列理论的基础模块，也是连接数列与函数、不等式、实际问题的重要桥梁。其“均匀变化”的特征使其在数学建模（如匀速增长、等差数列求和）、算法设计（如二分查找的时间复杂度分析）等领域广泛应用。掌握等差数列的定义、公式、性质及应用，是提升数学思维能力的关键一步。二、知识点解析（一）定义等差数列：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数的数列，记作\(\{a_n\}\)。该常数称为公差，用\(d\)表示（\(d\in\mathbb{R}\)）。数学表达式：\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)，常数\(d\)）；说明：1.“从第二项起”是定义的核心，若仅从第三项起满足差为常数，则不是等差数列；2.\(d>0\)时，数列递增；\(d<0\)时，数列递减；\(d=0\)时，数列常数列（特殊等差数列）。（二）通项公式1.推导过程由定义递推：\(a_2=a_1+d\)，\(a_3=a_2+d=a_1+2d\)，\(\cdots\)，通过累加法（\(n\geq2\)时，\(a_n-a_{n-1}=d\)累加）得：\[a_n=a_1+(n-1)d\]（\(n=1\)时，\(a_1=a_1+0\cdotd\)，公式成立）。2.函数形式将通项公式整理为：\[a_n=dn+(a_1-d)\]可见，\(a_n\)是关于\(n\)的一次函数（或常函数，\(d=0\)时），斜率为公差\(d\)，截距为\(a_1-d\)。其图像是直线上的离散点（横坐标为正整数\(n\)）。（三）前\(n\)项和公式1.推导过程设前\(n\)项和为\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)，倒序相加法是关键：\[S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\]\[S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\]两式相加得：\(2S_n=n(a_1+a_n)\)，故：\[S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\]代入通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，得第二表达式：\[S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\]2.函数形式将\(S_n\)整理为：\[S_n=\frac{d}{2}n^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n\]可见，\(S_n\)是关于\(n\)的二次函数（或一次函数，\(d=0\)时），且无常数项。其图像是抛物线上的离散点：\(d>0\)时，抛物线开口向上，\(S_n\)有最小值；\(d<0\)时，抛物线开口向下，\(S_n\)有最大值；\(d=0\)时，\(S_n=na_1\)，为一次函数（或常函数）。（四）等差中项定义：若\(a,b,c\)成等差数列，则\(b\)称为\(a\)与\(c\)的等差中项，记作\(b=\text{AM}(a,c)\)。充要条件：\(b=\frac{a+c}{2}\)；推广：等差数列中任意一项是其前后等距离两项的等差中项，即\(a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}\)（\(n>k\geq1\)）。（五）关键性质1.下标和相等性质：若\(m+n=p+q\)（\(m,n,p,q\in\mathbb{N}^*\)），则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)；特别地，\(m+n=2k\)时，\(a_m+a_n=2a_k\)（中间项的两倍）。2.连续\(k\)项和性质：\(S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k},\cdots\)成等差数列，公差为\(k^2d\)。3.通项推广：对任意\(m,n\in\mathbb{N}^*\)，\(a_n=a_m+(n-m)d\)（无需知道首项即可求任意项）。4.前\(n\)项和推广：\(S_n=\frac{n(a_k+a_{n-k+1})}{2}\)（\(k=1,2,\cdots,n\)），如\(k=\frac{n+1}{2}\)（\(n\)为奇数）时，\(S_n=n\cdota_{\frac{n+1}{2}}\)（奇数项和等于中间项乘项数）。三、题型解析（一）定义法证明等差数列例1：已知\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=a_n+3\)，证明\(\{a_n\}\)是等差数列并求通项。解析：\(a_{n+1}-a_n=3\)（常数），故为等差数列，\(a_n=2+3(n-1)=3n-1\)。例2：若\(S_n=n^2+n\)，证明\(\{a_n\}\)是等差数列。解析：\(n=1\)时，\(a_1=2\)；\(n\geq2\)时，\(a_n=S_n-S_{n-1}=2n\)，\(a_{n+1}-a_n=2\)（常数），故为等差数列。（二）通项公式应用例3：\(a_5=10\)，\(a_{10}=20\)，求\(a_{15}\)。解析：用通项推广：\(a_{10}=a_5+5d\Rightarrowd=2\)，故\(a_{15}=a_{10}+5d=30\)。（三）前\(n\)项和应用例4：\(S_5=25\)，\(a_5=9\)，求\(a_1\)和\(d\)。解析：\(S_5=\frac{5(a_1+9)}{2}=25\Rightarrowa_1=1\)，\(d=\frac{a_5-a_1}{4}=2\)。（四）性质应用例5：\(a_2+a_4+a_6+a_8=40\)，求\(a_5\)和\(S_9\)。解析：\(a_2+a_8=a_4+a_6=2a_5\)，故\(4a_5=40\Rightarrowa_5=10\)；\(S_9=9a_5=90\)（下标和性质）。（五）最值问题例6：\(a_1=10\)，\(d=-2\)，求\(S_n\)的最大值。解析：方法一（二次函数）：\(S_n=-n^2+11n\)，顶点在\(n=5.5\)，故\(n=5\)或\(6\)时，\(S_n=30\)；方法二（通项符号）：令\(a_n\geq0\Rightarrow10-2(n-1)\geq0\Rightarrown\leq6\)，故前6项和最大（\(a_6=0\)）。四、习题集（一）基础题（巩固知识点）1.\(a_1=5\)，\(d=3\)，求\(a_7\)和\(S_7\)；2.\(a_3=8\)，\(a_5=14\)，求\(a_1\)和\(d\)；3.三个数成等差，和为15，中间项为5，求这三个数；4.\(S_4=20\)，\(a_4=8\)，求\(a_1\)和\(d\)；5.求\(1+3+5+\cdots+99\)的和。（二）提高题（综合应用）1.\(a_2+a_5+a_8=15\)，求\(a_5\)和\(S_9\)；2.\(S_5=30\)，\(S_{10}=100\)，求\(S_{15}\)；3.\(a_1=12\)，\(d=-2\)，求\(S_n\)的最大值；4.证明：若\(S_n=An^2+Bn\)，则\(\{a_n\}\)是等差数列；5.\(a_7=13\)，\(a_{10}=22\)，求\(S_n=100\)时的\(n\)。（三）拓展题（灵活创新）1.\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n-1\)，证明\(\{a_n-1\}\)是等差数列并求\(a_n\)；2.若\(S_m=n\)，\(S_n=m\)（\(m\neqn\)），求\(S_{m+n}\)；3.\(a_1>0\)，\(d<0\)，\(a_3a_7=-12\)，\(a_4+a_6=-4\)，求\(S_n\)的最大值。五、习题答案与解析（一）基础题答案1.\(a_7=5+6\times3=23\)，\(S_7=7\times5+\frac{7\times6\times3}{2}=98\)；2.\(d=\frac{14-8}{2}=3\)，\(a_1=8-2\times3=2\)；3.设为\(5-d\)，\(5\)，\(5+d\)（如\(d=2\)时为3,5,7）；4.\(a_1=2\)，\(d=2\)（由\(S_4=2(a_1+8)=20\)得\(a_1=2\)）；5.项数\(50\)，和为\(\frac{50(1+99)}{2}=2500\)。（二）提高题答案1.\(a_5=5\)，\(S_9=45\)（\(3a_5=15\)）；2.\(S_{15}=210\)（连续和性质：\(30,70,110\)成等差）；3.\(S_6=S_7=42\)（顶点\(n=6.5\)）；4.略（见题型解析例2）；5.\(n=10\)（\(a_1=-5\)，\(S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{13}{2}n=100\)解得）。（三）拓展题答案1.\(a_{n+1}-1=2(a_n-1)\)，故\(\{a_n-1\}\)是首项0、公比2的等比数列，\(a_n=1\)（常数列）；2.\(S_{m+n}=-(m+n)\)（设\(S_n=