高中数学人教B版必修二学案第一单元1.2.2第1课时平行直线

1．2.2空间中的平行关系第1课时平行直线学习目标1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一基本性质4思考在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？梳理基本性质4(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相________．这一性质叫做________________________．(2)符号表达：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒________.知识点二等角定理思考观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？梳理等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别________________，并且________________，那么这两个角相等．知识点三空间四边形顺次连接________的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的________；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的________；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的________．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．类型一基本性质4的应用例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．反思与感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．类型二等角定理的应用例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.类型三空间四边形的认识例3如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．反思与感悟因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD”，不包含平面四边形，说明“A，B，C，D四点必不共面”，不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系．1．直线a∥b，直线b与c相交，则直线a，c一定不存在的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．无法判断2．下列四个结论中假命题的个数是()①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1B．2C．3D．43．下列结论正确的是()A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交4．下面三个命题，其中正确的个数是()①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1个 B．2个C．3个 D．0个5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等 B．不相似C．仅有一个角相等 D．相似1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．2.3．注意：等角定理的逆命题不成立．

答案精析问题导学知识点一思考成立．梳理(1)平行空间平行线的传递性(2)a∥c知识点二思考从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理对应平行方向相同知识点三不共面顶点边对角线题型探究例1解在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，EF＝eq\f(1,2)AB，同理GH∥DC，GH＝eq\f(1,2)DC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四边形EFGH是平行四边形．跟踪训练1证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．例2证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.跟踪训练2证明(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M、N分别是CD、AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.例3证明(1)∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，∴EH∥BD，∴eq\f(EH,BD)＝λ.同理，GF∥BD，eq\f(GF,BD)