2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1阶段质量检测（二）圆柱圆锥与圆锥曲线

阶段质量检测(二)圆柱、圆锥与圆锥曲线(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．线段AB、CD在同一平面内的正投影相等，则线段AB、CD的长度关系为()A．AB>CD B．AB<CDC．AB＝CD D．无法确定2．正四面体在一个面上的平行投影是()A．一个三角形 B.两个三角形C．三个三角形 D．以上都有可能3．直线和直线外一点在同一面上的正投影是()A．一条直线 B.一点一直线C．一点一直线或一直线 D．无法确定4．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是()A．内心的平行投影仍为内心B．重心的平行投影仍为重心C．垂心的平行投影仍为垂心D．外心的平行投影仍为外心5．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是()A．圆 B.椭圆C．双曲线 D．抛物线6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是()A．圆 B.椭圆C．双曲线 D．抛物线7．一个平面去截一个球面，其截线是()A．圆 B.椭圆C．点 D．圆或点8．对于半径为4的圆在平面上的平行投影的说法错误的是()A．投影为线段时，线段的长为8B．投影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C．投影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D．投影为圆时，圆的直径可能为49．如图，圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为()A．10cm B.eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cm D．5eq\r(π2＋1)cm10．如右图，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后的几何体的最短母线长为2，则这个几何体的体积为()A．20π B．16πC．14π D．8π二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11．用一个平面去截一个正圆锥面，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________，________，________，________.12．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F.则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD的正投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D.以上结论正确的为______．(写出所有正确的结论编号)13．若圆柱的一正截面(垂直于轴的截面)的截线为半径r＝3的⊙O，该圆柱的斜截面与轴线成60°角，则截线椭圆的离心率e＝________.14．如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在的平面为β，∠xOx′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(2eq\r(2)，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－eq\r(2))2＋2y2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________．三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求证：三角形的中位线平行射影具有不变性．16．(本小题满分12分)平面β与圆锥面的轴l垂直，则交线是什么曲线？设圆锥底面半径为R，高为h，顶点S到截面β的距离为h1(R，h，h1均为正常数)．17.(本小题满分12分)圆锥面S的母线与轴线的夹角为30°，圆锥面内有两个相切的内切球，半径分别为r1、r2(r1<r2)求r1与r2的比．18．(本小题满分14分)在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面δ，若它与轴l的交角为β(当δ与l平行时，记β＝0)，求证β<α时，平面δ与圆锥的交线为双曲线．答案1．选D由线段AB、CD与平面所成的角来定，虽然投影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们长度关系也无法确定．2．选D根据几何体的三视图可知，D正确．3．C4．选B只有线段的比例相等时，投影线段的比例才不变，重心为三条中线的交点，三角形的平行投影中线仍为中线．5．选A由题意知截面与圆锥的轴线成90°角，即是圆锥的正截面，故截线为圆．6．选B由α＝eq\f(50°,2)＝25°，φ＝30°，φ>α故截线是椭圆．7．选D当截面与球相切，其截线是切点，相交时截线是圆．8．选D由平行投影的性质易知D说法错误．9.选B如图是圆柱的侧面展开图，则AC长为圆柱面上从A到C的最短距离．设圆柱的底面半径为r，则r＝eq\f(5,2).∴底面圆周长l＝2πr＝5π，∴AB＝eq\f(5,2)π.AD＝BC＝5，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)))2＋52)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．10．选C由已知圆柱底面半径r＝2.即直径为4.设截面与圆柱母线成α角，则sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5).∴几何体的最长母线长为2＋2acosα＝2＋5×eq\f(3,5)＝5.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径r＝2，高为7的圆柱，其体积为V＝π×22×7＝28π.∴所求几何体的体积为eq\f(1,2)V＝14π.11．解析：如图答案：圆抛物线椭圆双曲线12．解析：由面面平行的性质定理知①正确；当E、F分别为中点时，所得的四边形为菱形，但不是正方形，且此时平面BFD′E⊥平面BB′D′D.故②不正确，④正确；D′、E、F在底面上的正投影分别为D、A、C，故③正确．答案：①③④13．解析：依题意，在椭圆中，a＝eq\f(r,sin60°)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，b＝r＝3，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2\r(3)2－32)＝eq\r(3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．解析：(1)可知二面角α－y－β为45°，点P′到y轴的距离为2eq\r(2)，所以点P到y轴的距离为2eq\r(2)×cos45°＝2，点P的y轴坐标与点P′的y′轴坐标相同，故点P的坐标为(2,2)．(2)曲线C′的方程可化为eq\f(x′－\r(2)2,2)＋y2＝1，是一个椭圆．设O′(eq\r(2)，0)，因为eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，故中心O′在面α内的射影O″的坐标为(1,0)．令曲线C′长轴的一个端点A′(2eq\r(2)，0)，由上问可知其对应的射影为A(2,0)，曲线C′短轴的一个端点B′(eq\r(2)，1)，对应的射影为B(1,1)，由O″，B，A三点坐标可知曲线C是一个以(1,0)为圆心，1为半径的圆，方程为(x－1)2＋y2＝1.答案：(2,2)(x－1)2＋y2＝115．证明：已知：△ABC，DE是其中位线，它们的平行射影分别是△A′B′C′和D′E′，如下图，求证：D′E′仍然是△A′B′C′的中位线．证明：连接AA′、EE′、CC′，则AA′∥EE′∥CC′.∵AE＝EC，∴A′E′＝E′C′.同理，A′D′＝D′B′.∴D′E′是△A′B′C′的中位线．16.解：因为l⊥β(垂足为O1)，所以平面β∥⊙O所在的平面．设P为交线上的任意一点，过点P作圆锥的母线SQ，连接PO1，QO，则PO1为平面SQO与平面β的交线，QO为平面SQO与⊙O所在的平面的交线．所以PO1∥QO.于是eq\f(PO1,QO)＝eq\f(SO1,SO).即eq\f(PO1,R)＝eq\f(h1,h).因此PO1＝eq\f(Rh1,h)＝r(常数)．所以点P到定点O1的距离为常数r，故交线为一个圆．17．解：设球心分别为O1，O2，如图则SO1＝2r1SO2＝2r2，O1O2＝2r2－2r1，又O1O2＝r1＋r2∴2r2－2r1＝r1＋r2.r2＝3r1∴r1∶r2＝1∶3.18．证明：当β<α时，平面δ与圆锥面的两部分相交．在圆锥