江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试卷+附解析

江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三数学上第一次月考试卷一．选择题（共7小题）1．某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（

）种.A．18 B．36 C．60 D．722．对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，则（

）A．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强B．若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强C．若，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好D．若，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好3．有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（

）A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率4．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（

）A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立C．C与D互斥 D．A与C相互独立5．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（

）A．与对立 B．与不互斥C．与相互独立 D．与相互独立6．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，则下列说法错误的是（

）A．事件，，两两互斥 B．C． D．事件，相互独立7．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（

）A．A，B是对立事件 B．事件B，D相互独立 C． D．二．多选题（共4小题）8．设a为常数，fx的定义域为R，，则（

）．A．B．成立C．D．满足条件的不止一个9．第一组样本数据，第二组样本数据，，…，，其中（），则（

）A．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的倍B．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的倍C．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的倍D．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的倍10．已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是（

）A．若，则，B．若，则，C．若，，则D．若，则当取不小于的最小正整数时，最大11．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果服从正态分布，其中检测结果在以上为体能达标，以上为体能优秀，则（

）附：随机变量服从正态分布，则，，.A．该校学生的体能检测结果的期望为B．该校学生的体能检测结果的标准差为C．该校学生的体能达标率超过D．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等三．填空题（共4小题）12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．13．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为．14．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为.（用数字作答）15．曲线在点处的切线方程为．四．解答题（共2小题）16．为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物疾病未患病患病合计未服用服用合计(1)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817．某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为，，，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过个项目，求的概率分布及数学期望.1．B【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；③在4号位置，有5号一种选择，有种；故共有种.故选：B.2．B【分析】由线性相关系数与决定系数的意义及残差平方和与的关系即可求解.【详解】线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故A错误，B正确；残差平方和越小，则决定系数越大，从而两个变量拟合的效果越好，残差平方和越大，则决定系数越小，从而两个变量拟合的效果越差，故C、D错误.故选：B3．C【分析】根据互斥事件的概念可判断AB；分别计算对应的概率可判断CD.【详解】当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生，即A错误；当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生，即B错误；记“至少取到1个红球”为事件A，“至少取到1个蓝球”为事件B，“至多取到1个红球”为事件C，“至多取到1个蓝球”为事件D，故，，，，显然，，即C正确，D错误；故选：C.4．D【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立.【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误；由，A、D互斥且对立，B错误；又，，则，C与D不互斥，C错误；由，，，所以，即A与C相互独立，D正确.故选：D5．C【分析】根据事件的对立与互斥的概念判断AB；利用是否成立来判断CD.【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误；对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误；对于C，两个骰子的点数之和为的情况有，则，所以，所以与相互独立，C正确；对于D，两个骰子的点数之和为的情况有，，所以，D错误.故选：C.6．C【分析】对于A，利用互斥事件的定义判断；对于B，利用互斥事件概率加法公式求解；对于C，利用互斥事件概率加法公式求解；对于D，利用相互独立事件概率乘法公式求解.【详解】抛掷三枚硬币，若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件，，，对于A，事件，，中任何两个事件都不能同时发生，所以事件，，，两两互斥，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，所以，故C错误；对于D，，，，所以事件，相互独立，故D正确；故选：C7．C【分析】由互斥事件的定义，条件概率公式，全概率公式，独立事件定义逐项求解判断即可.【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C8．ABC【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.【详解】对A：对原式令，则，即，故A正确；对B：对原式令，则，故，对原式令，则，故非负；对原式令，则，解得，又非负，故可得，故B正确；对C：由B分析可得：，故C正确；对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题.9．CD【分析】利用样本数据平均数、中位数、标准差以及极差的定义和性质即可直接判断选项.【详解】设样本数据，的样本平均数为，样本中位数为，样本标准差为，极差为，对于A，C选项：由，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据，，…，的样本平均数为，故A错误；样本数据，，…，的样本方差为，所以第二组数据的样本标准差，故C正确；对于B选项：根据中位数的概念可知，样本数据，，…，的中位数为，故B错误；对于D选项：根据极差的概念可知，样本数据，，…，的极差为，故D正确．故选：CD10．ACD【分析】利用负二项分布的概念可判断AB选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C选项；分析并结合负二项分布的概率公式可判断D选项.【详解】对于A，若，则为个相乘再乘，即，则，，故A正确，对于B，若，则，，故B错误，对于C，因为从中取出个数的取法有种，这些取法可按的值分类，即时的取法有种，则，又，，设，则，则，化简得，可得，故C正确.对于D：因为最大,则，所以解得所以当k取不小于的最小正整数时最大，故D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查负二项分布的问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.11．AD【分析】求出、的值，可判断AB选项；利用原则可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.【详解】对于A选项，该校学生的体能检测结果的期望为，A对；对于B选项，该校学生的体能检测结果的标准差为，B错；对于C选项，，所以，，C错；对于D选项，，所以，，所以，该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等，D对.故选：AD.12．【分析】分别设两条曲线的切点分别为根据切点处的导数即为切线斜率和切点即在曲线上又在切线上列方程组，然后求解可得.【详解】设直线与曲线和分别相切于因为，所以…①，…②，…③由①可得，，代入②③可得：因此，消元整理可得解得或，所以或因为，所以故答案为：13．##【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解.【详解】由题意得，圆，圆心，半径，设点Px0,故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，

则，，则，即的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点的曼哈顿距离转化为图形，从而利用数形结合即可得解.14．144【分析】先将甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法，再利用分步计数原理和不相邻问题插空法，即可求出结果.【详解】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法，在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有种排法.故答案为：144．15．【分析】根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果.【详解】曲线的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，又当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即为．故答案为：．16．(1)认为药物对预防疾病有效果(2)分布列见解析，期望为【分析】（1）提出零假设为药物对预防疾病无效果，根据列联表计算出的值，结合临界值表可得出结论；（2）利用全概率公式计算出药物的治愈率，分析可知，利用二项分布列可得出随机变量的分布列，进而可得出的值.【详解】（1）解：零假设为药物对预防疾病无效果，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物对预防疾病有效果．（2）解：设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物，表示服用过药物，由题意可得，，且，，，药物的治愈率，则，所以，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：X012