2024-2025学年陕西省西安市长安三中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市长安三中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=1−i5i3，则A.1 B.−1 C.i D.−i2.已知点A(1,0)，B(2,−1)，则与向量AB方向相反的单位向量为(

)A.(−22,22) 3.已知向量a=(4,2)，b=(1,m)，若a⊥b，则实数A.2 B.−2 C.12 D.4.在△ABC中，A=60°，AC=3，BC=362，则A.30° B.45° C.60° D.60°或120°5.已知m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，A表示点，则下列命题正确的是(

)A.若直线m上有无数个点在平面α内，则m//α

B.若m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n

C.若m⊂α，n⊂β，则m//n

D.若α∩β=m，且A∈α，A∈β，则A∈m6.在平行四边形ABCD中，点M，N满足CM=2MD，BN=3NC，则MNA.13AB+34AD B.17.“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形ABCD的边长为4，点E，O，G分别是线段AB，AC，OC的中点，则DE⋅BG=(

)A.−10

B.10

C.−14

D.148.如图，边长为1的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折起，使B，C，D三点重合于点P，则三棱锥P−AEF的最短的高长为(

)A.13 B.2C.34 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.棱柱的侧面都是平行四边形B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形

C.直四棱柱是长方体D.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥10.已知z1，z2都是复数，则下列结论错误的是(

)A.若|z1|=|z2|，则z1=±z2B.若z1+z2为实数，则z111.已知正方体ABCD−A1B1A.直线BC1与B1D1所成的角为60°B.直线BD与CA1所成的角为60°

C.平面BA1C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积

．13.在边长为2的正方形ABCD中，挖去一个以AB为直径的半圆，再将所得平面图形(如图)以线段CD的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为______．14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=60°，c=4，若△ABC有两解，则b的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为(1,−2)，(3,1)．

(1)求|z1z2|；

16.(本小题15分)

已知平面向量a与b的夹角为3π4，且|a|=1，|b|=2．

(1)求向量3a+2b的模；

(2)若(a+217.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C118.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．

(Ⅰ)求证：AM⊥PC；

(Ⅱ)求直线AC与平面PCD所成角的正切值．19.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且sinCsinA+sinB=a−bb+c．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)设△ABC的面积为23，

(i)已知M为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AM长的最小值；

(ii)求△ABC的内角参考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.D

6.D

7.C

8.A

9.ABD

10.ABC

11.AD

12.213.4π314.(215.(1)由已知条件可得：z1=1−2i，z2=3+i，

∴z1z2=(1−2i)(3+i)=3+i−6i−2i2=5−5i，

∴|z1z216.(1)因为平面向量a与b的夹角为3π4，且|a|=1，|b|=2，

所以a⋅b=1×2×(−22)=−1．

所以|3a+2b|2=9a2+12a⋅b+4b2=9−12+8=517.证明：(1)如图，连接NE，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

∵N，E分别是A1D1，B1C1的中点，

∴NE//A1B1，NE=A1B1，

∵A1B1//AB，A1B1=AB，

∴NE//AB，NE=AB，

∴四边形ABEN为平行四边形，

∴AN//BE，

∵AN⊄平面DBEF，BE⊂平面DBEF，

∴AN//18.(Ⅰ)证明：因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，

所以PA⊥CD，

又四边形ABCD是矩形，

所以CD⊥DA，

因为DA∩PA=A，DA⊂面PAD，PA⊂面PAD，

所以CD⊥面PAD，

因为AM⊂面PAD，

所以CD⊥AM，

又M是PD的中点，PA=AD=4，

所以AM⊥PD，

因为CD∩PD=D，CD⊂面PCD，PD⊂面PCD，

所以AM⊥面PCD，

又PC⊂面PCD，

所以AM⊥PC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AM⊥面PCD，

所以直线AC在平面PCD上的射影为MC，

所以直线AC与平面PCD所成角为∠ACM，

因为PA=AD=2CD=4，PA⊥面ABCD，

所以PA⊥AD，

所以PD=42，

所以AM=4×442=22，MC=CD2+(PD2)19.(Ⅰ)因为sinCsinA+sinB=a−bb+c，

则由正弦定理得ca+b=a−bb+c，即b2+c2−a2=−bc，