第五讲有理数的乘除运算（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理4大考点典例精讲变式训练高频精炼）（教师版）-七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】20252026学年北师大版七年级数学上册第五讲：有理数的乘除运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）知识点01：有理数乘法法则同号相乘：同号得正，并把绝对值相乘异号相乘：异号得负，并把绝对值相乘任何数与0相乘，积仍为0知识点02：倒数定义：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.知识点03：有理数乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变用字母表示：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变用字母表示：(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加用字母表示：a(b+c)=ab+ac知识点04：有理数除法法则1.法则(一)(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.(2)0除以任何非0的数都得0.注意：0不能作除数.2.法则二 (1)除以一个数等于乘这个数的倒数.即：a÷b=a×1b

((2)运算步骤：先将除号变为乘号，将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算.知识点05：有理数的乘除混合运算1.有理数的乘除混合运算顺序按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的.2.有理数的乘除混合运算法则有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算.考点1：有理数乘法【典型例题】A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．四个算式的运算结果中，只有是负数，故选：A．【变式训练1】下列式子中，积的符号为负的是（

）【答案】D【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可．【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意；B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意；C、积为0，不符合题意；D、有3个负号，积的符号为负，符合题意；故选D．【变式训练2】A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查有理数的乘法，绝对值．根据绝对值的性质及有理数乘法法则，先确定的符号，再求其绝对值．故选：A考点2：倒数【典型例题】若的倒数是，则的相反数是（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得．∴的相反数是4，故选：A．【变式训练1】的倒数是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变．根据倒数的定义进行求解即可．【详解】解：的倒数是，故选：D．【变式训练2】下列各数，互为倒数的是（

）A．与1 B．与【答案】B【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数．分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可．故选：B．考点3：有理数除法【典型例题】A．3 B． C． D．【答案】B故选：B．【变式训练1】A． B．3 C． D．【答案】B【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．故选B．【变式训练2】A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C故选：C．考点4：有理数乘除混合运算【典型例题】A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可．，故选∶C．【变式训练1】【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．故选：C．【变式训练2】有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（

）块A．24 B．34 C．44 D．54【答案】D【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算的应用，先求出房间的面积，再用房间的面积除以边长为80厘米的方砖面积即可得到答案．所以需要54块，故选：D．一、单选题1．2025的相反数的倒数是（）【答案】B【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键．先确定2025的相反数，再求其倒数即可．故选B．A．4 B．15 C．56 D．60【答案】C因此，算出的结果与正确结果相差56，故选：C．A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”．根据有理数乘法法则，两数相乘结果为负，当且仅当两数符号不同．已知其中一个数为负数（），则另一个数需为正数．∴内的数字为正数，故选：A．A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或【答案】B故选：B．5．如图，在所给形状厚纸片上写上数字，围成一个几何体后，相对两个面上的数的商不可能是（

）A．1.2 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查长方体的展开图，有理数的除法，掌握正方体展开图是解题的关键．利用长方体的展开图可以得1与3相对，2与4相对，5与6相对，然后求解判断即可．【详解】解：由展开图可得1与3相对，2与4相对，5与6相对，∴相对两个面上的数的商不可能是4．故选：D．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键．根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可．综上分析可知，正确的有2个，故选：B．7．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（

）【答案】C【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的加、减、乘、除等运算法则的理解，深刻理解有理数的运算法则是解题的关键；综上分析可知：选项C正确，符合题意；故选：C.8．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（

）【答案】A故选A．二、填空题9．的倒数是．【答案】【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可．∴的倒数是．故答案为：．【答案】7【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则．根据新定义运算法则进行逐步计算即可．【详解】解：根据新定义运算法则可得，故答案为：7．【答案】0【分析】本题考查有理数的乘法运算，核心在于理解零乘以任何数的结果都是零.本题的关键点在于识别乘数中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出结果，无需计算具体数值的乘积.故答案为：0.12．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买10台这样的电视机需要元．【答案】20000【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据总价等于售价乘以销量，列出算式进行计算即可．故答案为：2000013．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤天．【答案】6【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可满足题意，用总天数除以5，进行求解即可．即：出勤1天，接下来缺勤4天，满足题意，故答案为：6．【答案】【分析】本题考查了新定义及有理数的除法及减法运算，根据新定义列出式子，根据运算法则计算即可．故答案为：．【答案】120【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，根据路程等于速度乘以时间求出甲、乙两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案．故答案为：120．16．电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有人是同一个月出生的．【答案】28【分析】本题考查了抽屉原理：一年有12个月，把这12个月看做是12个抽屉，326人看作是326个元素，即可解答，理解题意是解题关键．【详解】解：建立抽屉，把这12个月看做是12个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉的人数尽量的平均：所以至少有28人是同一个月出生的．故答案为：28．三、解答题17．计算：【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶（1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可；（2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可．18．阅读下面的解题过程并解答问题：（第三步）(1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______．(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)二，运算顺序不对(2)见解析【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算；（1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案；（2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可.【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对；19．检修小组乘汽车在东西方向的高速公路上检修线路，约定向东行驶为正，向西行驶为负．某天检修小组自基地出发到收工时，所走的十段路程（单位：千米）记录为：，，，，，，，，，(1)收工时检修小组在基地的什么方向？距基地多远？(2)若检修车每千米所耗电费元，求收工处到返回基地共耗电费多少元？【答案】(1)收工时检修小组在基地的东边，距基地千米(2)元【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，数轴，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（2）结合（1）中所求列式计算即可．即收工时检修小组在基地的东边，距基地千米；即收工处到返回基地共耗电费元．20．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量：学生同学A同学B同学C同学D同学E同学F数量／个(1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？(2)这一组的同学共垫球多少下？(3)这一组同学平均垫球多少下？【答案】(1)