2026《高考数学一轮复习》8利用递推公式求通项公式

447PAGE57 【例1-1】（24-25四川）已知数列a的前n项和为S，且S2n2n1，则 【例1-2】（24-25上海）数列a的前n项和S32n，则其通项公式a 【例1-3】（2025·宁夏银川）已知数列a满足a2a2n1an2n，则数列a的通项公式 【例1-4】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an1，则Sn n1S1n2n0，则数列a的通项公式 1．（24-25辽宁）已知数列a中，前n项和Sn1，求a的通项公式 2．（2025广东中山）已知数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则数列an的通项公式 3．（2025·山东济南·二模）已知数列a的前n项和为S，且满足a 1nN*，则a 4．（24-25甘肃）在数列a中，aa2a3 n，则a的通项公式 2n 5．（2024·广东佛山·二模）设数列an的前n项之积为Tn，满足an2Tn1（nN*），则a2024 【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列a中，a1， a2n，则a 【例2-2】（2025·四川）已知数列a满足a1，对任意n2，nN* 12n1，则数列a的通 公式为an

1．（2024高三·全国·专题练习）已知a0， a2n1nN*，则通项公式a 12.（24-25河北）在数列a中，a0， ln1，则 1

n 3.（23-24四川绵阳）已知数列a满足a1，n1n2n，则其通项公式 4（24-25河南记数列an的前n项和为Sn已知Sn1Sn12Sn2nn2且a11,a23则an 3-1】（24-25广东）在数列aa1an1a，n2,nN，则数列a

n 【例3-2（2026高三·全国·专题练习）已知数列a满足a1,(n1)an2n 3-3】（2024高三·全国·专题练习）在数列aa1，前nSn2n1a，则数列a

1．（24-25江苏连云港）已知数列an中，a14,n1an1n2an，则an 2．（24-25黑龙江）已知数列a的各项为正数，且a2，na2a n1a20n2，则a n 3．（2025·黑龙江）数列a中，a1，当n2时，a2n 4（2024·四川泸州·三模）已知Sn是数列an的前n项和，a11，nan1n2Sn，则an （待定系数法【例4-1】（24-25山西）若数列an的首项a11，且满足an12an1，则数列an的通项公式 4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足an24an3n2，且a13，a26，则数列an通项公式为an 4-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足an12an43n1a1，则数列an n 1.（2024·河南·模拟预测）已知数列a满足1112，且a3a=n

3 2.（23-24上海·期末）数列a满足a2, 3a2n1，则数列a的通项公式为a 3.（2024广东）在数列aa3

考向五构造等差数列（倒数法5-1】（24-25河南）已知数列aa2，且

，则a

an

1,a

nN*数列a的通项公 【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列a中，a3， 3a23n1，nN*，则数列 112（2025·山西）已知数列{a}a=1，且

1 ()(n2，且n∈N*），则数列{a}的通项公式

3 3．（2025·山东青岛·二模）记等差数列{a}的前n项和为S，且

2S

0(n2),

1，则S

n 6-1】（2025山西）数列2，426，20，……的一个通项公式可以是（

(1)n

n3nan

2n1

an(1)

3nn【例6-2】（2025湖北）已知a11，且nan1(n2)ann，则数列an的通项公式 1．（2024·贵州黔南·二模）nN*13，715，31的一个通项公式为（

2n1cos

a2n

a1n12n 3．（2025·云南）设数列a的前nS

n6an

12.求a 5．（2024黑龙江）已知数列{an}nSa1S

PAGE1194419 【例1-1】（24-25四川）已知数列a的前n项和为S，且S2n2n1，则 4,n【答案】4n1n【解析】当n2

S

2n2n12n12n114n1 当n1

4不满足上式，则

4,n

4,n.4n1n2 【例1-2】（24-25上海）数列a的前n项和S32n，则其通项公式a 【答案】2n1n 【解析】当n2时，aS 32n32n1 5,n当n1a1S15，显然2115，所以数列an的通项公式为an

,n ,n【例1-3】（2025·宁夏银川）已知数列a满足a2a2n1an2n，则数列a的通项公式 【答案】ann【解析】由题意a1

2n1

n2n当n2a1

2n2

n12n12n1an2n2n1n12n1n12n1，解得ann在a2a2n1an2n中，令n1，可得a211a也满足

n1， 综上所述，所求即为ann1.ann1.【例1-4】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an1，则Sn 【答案】2n【解析】数列anSn2an1S12a112S11S11 Sn12an112(Sn1Sn1Sn12Sn1Sn112(Sn1)，所以数列{S1}2为首项，2S12n S2n1（nN*）.2n n1S1n2n0，则数列a的通项公式 【答案】an【解析】因为

n1

n

Sn1Sn1，又a1，所以数列Sn11 n Sn1n1S1n21n 当n2

1(n1)21n1，所以

S

1n21n1(n1)21n1n

当n1ann也成立，所以annan

n1，求a的通项公式 2,n

【答案】an

nn

,n

n1①，当n1a2 n n21n 当n2anSnSn1

n

nn12,n 2,n显然a12不满足

nn

an

nn

,n

.an

nn

,n2．（2025广东中山）已知数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则数列an的通项公式 【答案】aan2Sn3n2an12Sn13anan12an，即anan1，a12a13，即a13a22S23，即a23，符合上式， ∴数列{a}3为首项、1a3(1)n1 a3(1)n13．（2025·山东济南·二模）已知数列a的前n项和为S，且满足

1nN*，则a 【答案】2

Sn}1

1n11nSn2当n2，则

S n2n1)22n1，显然a1 所以an2n12n4．（24-25甘肃）在数列a中，aa2a3

n，则a的通项公式 【答案】

2n1n

2n 【解析】数列a中，aa2a3 n 2n n1时，有a1 n2时，由aa2a3

n，得aa2a3

n1 2n 2n 两式相减得

1，即

2n12n n1时，也满足

2n1所以

2n1nN

2n1n 5．（2024·广东佛山·二模）设数列an的前n项之积为Tn，满足an2Tn1（nN*），则a2024 【解析】因为a2T1(nN*，所以a2T1，即a2a1，所以a1Tn2T1(n2nN*)

显然Tn0，所以 2(n2,nN)，所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列

所以132(n1)2n1，即T ，所以 T20242202414047 2n

【例2-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列a中，a1， a2n，则a 【答案】2n1nN*

【解析】由已知得 a aa

a

12nn

1

21

1

2n1nN*【例2-2】（2025·四川）已知数列a满足a1，对任意n2，nN*

2n1，则数列a 公式为an 2n

11

11

1

11

1

a

a12

1

2 n1

n2

1 所以an

2n

.2n11．（2024高三·全国·专题练习）已知a0， a2n1nN*，则通项公式a 【答案】n

【解析】因为an1an2n1，即an1an2n故a2a11a3a23a4a35，Lanan1以上各式相加得ana113572n3

又a10，所以ann12n2，而a0也适合上式，故an12n12 12.（24-25河北）在数列a中，a0， ln1，则 1 n 【答案】an【解析】由已知得 alnn1lnn1lnn

n anan1lnnlnna3a2ln3lna2a1ln2将上述n1个等式相加，整理得ana1lnnln1lnn又因为a10，所以an3.（23-24四川绵阳）已知数列a满足a1，n1n2n，则其通项公式 【答案】an【解析】不妨设b ，则 b2n 由bb bbb2 n12(12n)

22

1经检验当n1

2n，解得a

n，即数列a的通项公式为a

n.an

4（24-25河南记数列an的前n项和为Sn已知Sn1Sn12Sn2nn2且a11,a23则an 【答案】n2n1n【解析】当n2Sn1Sn12Sn2nSn1SnSnSn12n，即an1an2nn2，因为a2a131221，所以an1an2nn1，所以anan12n1，an1an22n2,a3a24a2a12则

又a11满足上式，故ann2n1nN*n2n1n3-1】（24-25广东）在数列aa1an1a，n2,nN，则数列a

n 【解析】因an1a，n2,nN，则aanan1a3a2a112n2n11 n

n 当n1时，符合题意，故数列an的通项公式为

1 【例3-2（2026高三·全国·专题练习）已知数列a满足a1,(n1)an2n n1【答案】ann 【解析】当n2时，有(n1)an2n ，故ann2n

nan1n12n1an2n22n2,,a2222

n

n

上述n1个式子累乘得ann2nn12n1n22n2 2

n

(n1)(n n n n

n 因为a1，所 n1n2，而当n1时，a1201，也满足上式 ann

n1n2

n1

n

n

3-3】（2024高三·全国·专题练习）在数列aa1，前nSn2n1a，则数列a【答案】

2n12n

【解析】由于数列a中，a1，前n项和Sn2n1a，所以当n2时，

n 两式相减可得：an2n1an12n3 ，所以n12n3 2n n n12n n12n1a，所以2n 2n1a，所以an2n3n

n

2n所以aaa2a3an1132n52n3 ，a1符合上式， 1

3 2n 2n

2n12n n因此

2n12n

2n12n1．（24-25江苏连云港）已知数列an中，a14,n1an1n2an，则an 【答案】2n【解析】Qn1

n2aa4，an1n2，即

n1

n

aanan1an2La2an1nn1L342n2.2n2

n

n 2．（24-25黑龙江）已知数列a的各项为正数，且a2，na2a n1a20n2，则a n 【答案】ann【解析】因为数列a的各项为正数，且a2，na2a n1a20n2， n 由题意可知，对任意的nNan0，则anan10nann1an10则有anan1，所以，数列an

n1故ana11，所以an1.n 3．（2025·黑龙江）数列a中，a1，当n2时，a2n 【答案】an

n2n2 【解析】因为a2n ，n 所以an2nan12n1an22n2，…a222

an1an2…a22n2n12n2…22，n2，n

an2 n2所以n

2

，n2，n由于a11

n22

，n2，n显然当n1a11

n22 所以

n22

，nan

n2 4（2024·四川泸州·三模）已知Sn是数列an的前n项和，a11，nan1n2Sn，则an 【答案】n1【解析】当n2n1

nn1

an

n1an1则S n n1aa，即an12n2

n

n1

n则有an2n1an12n，La223

n

则aanan1a2an12n2 当n1a1，符合上式，故an12n2 n12n2（待定系数法【例4-1】（24-25山西）若数列an的首项a11，且满足an12an1，则数列an的通项公式 【答案】a2n 2a1，∴ 12a1，即an112

an∴数列a1是以a12为首项，以2a122n12na2n1. 【例4-2】（2025高三·全国·专题练习）已知数列an满足an24an3n2，且a13，a26，则数列an的通项公式为an 【答案】2n【解析】法一：因为an24an3n2，所以an22an12an12an3n2设bnan12an，则bn12bn3n2，所以bn1n2bnn10设tnbnn1，则tn12tn0因为a13a26，所以b1a22a10t1b1110所以tn0，即bnn10an12ann10，所以an1n12ann 因为a11312，所以数列ann22的等比数列，所以an2na2n 法二：因为an24an3n2，所以an2n24ann，由a13a26a112a224，当n当na2nn2n

n24nn4

2n，即an2n，即an

nn

43n1,

【答案】a43n15 【解析】解法一：设 2a3n1 即

43n1，且a431150 则数列a43n1是首项为5，公比为2的等比数列，所以a43n152n1a43n152n1 解法二：(两边同除以qn1)两边同时除以3n1an12an4an142an4a1450

3

3 3

则数列an4是首项为52 3 52 所以n

，即

43n152n1 3

3

3解法三：(两边同除以pn1)两边同时除以2n1得：n1n

，即n1n

2

2当n2ananan1an1an2

a1 2n1 2n2

33

3

12 3

1 2 2 2

1

2 故a43n152n1n2显然当n1a11符合上式，故an43n152n1a43n152n11.（2024·河南·模拟预测）已知数列a满足

112，且a3a=n n 【答案】an1

3 1 【解析】因 ，又a，令n1，可 ，解得a 3 3 所以1111

1

11 3

1，所以数列

1

111

，整理得an12.（23-24上海·期末）数列a满足a2, 3a2n1，则数列a的通项公式为a 【答案】2(3n2n【解析】数列a中，由 3a2n1，得an13an1，即an123(an2)

2

2而a2a123，于是数列{an2}33 an233n1，即a2(3n2n( 所以数列a的通项公式为a2(3n2n 2(3n2n3.（2024广东）在数列a中，a3，且 3a4n6nN*，则a的通项公式 【答案】a3n2n 【解析】因为a 3a4n6nN*，设a xn1y3axny，其中x、yR，整理可得an13an2xn 2x2yx

x，解得y

an12n123an2n2 且a1212a13，所以，数列an2n2是首项为3，公比也为3的等比数列，a2n233n13n，解得a3n2n1 a3n2n考向五构造等差数列（倒数法【例5-1】（24-25河南）已知数列a中，a2，且 2an，则a

an【解析】由

an2，即

11，又a21

an

所以数列

22111(n11n，所以a2 【例5-2】（2025云南临沧）已知数列a中，a1,a 【答案】

1nN*

nn 【解析】因为a a nN* nn 因为a1，则a1aa，即2a1，可得a1 对任意的nN*

0，所以

1an

11，则

-1= 1

所以，数列111

a n 所以11n1nnN*a1nN*【例5-3】（2025高三·全国·专题练习）已知数列a中，a3， 3a23n1，nN*，则数列a的 【答案】a(2n1

【解析】将 3a 两边同时除以3n1，得n1n

an1an2a11，∴数列an12 ∴an2n1，∴

(2n13n

(2n1) 23n1【解析】由an13an8an143an4a14 1a423n1，所以a23n1423n 12（2025·山西）已知数列{a}a=1，且

1

()(n2，且n∈N*），则数列{a}的通项公式【答案】

n2

3 【解析】由题可知，将

1

()(n

2，两边同时除 ，整理得

n23．（2025·山东青岛·二模）记等差数列{a}的前n项和为S，且

2S

0(n2),

1，则S

n 【解析】由aS

S

+2S

0

112011

，n

nn

可得12的等差数列，因为a1，所以12，即

2+n122n

n11

6-1】（2025山西）数列2，426，20，……的一个通项公式可以是（

(1)n

n3nan

2n1

an(1)

3nnA选项，当n3a36AB选项，当n1a12，当n2a24，当n3a26n4a20B正确； C选项，当n2a23C错误；D选项，当n2a7D错误. 【例6-2】（2025湖北）已知a11，且nan1(n2)ann，则数列an的通项公式 【答案】a【解析】等式两侧同除n(n1)(n2

n(n

n(n

(n (n令b

，所以

b n(n

(n (n则bb11b

11，b

11，……，b

1

(n累加得：bb1 ，而ba11，故b n (n

(n

nn(n

nn1

，整理得

n2.

1．（2024·贵州黔南