一轮创新思维文数（人教版A版）练习第三章第八节解三角形的应用举例

课时规范练A组基础对点练1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．答案：D2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：A3．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案：D4.(2018·银川一中月考)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)，故A，B两点的距离为50eq\r(2)m.答案：A5．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为()A．20(1＋eq\f(\r(3),3))m B．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．20(eq\r(2)＋eq\r(6))m解析：如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20m，CE＝20eq\r(3)m．所以CD＝20(1＋eq\r(3))m.故选B.答案：B解析：依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为eq\f(11,9)xm/s，因为AB＝1040，BC＝500，所以eq\f(AC,x)＝eq\f(1040＋500,\f(11,9)x)，解得：AC＝1260，在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(10402＋12602－5002,2×1040×1260)＝eq\f(84,91)＝eq\f(12,13)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).答案：eq\f(5,13)7．(2018·德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．解析：根据题意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(24,sin45°)，∴BS＝eq\f(12,\f(\r(2),2))＝12eq\r(2)，故货轮到灯塔S的距离为12eq\r(2)海里．答案：12eq\r(2)8.如图，已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距海岛A有__________千米．解析：由已知可求得AB＝eq\r(3)，AC＝eq\f(\r(3),3)，BC＝eq\f(\r(30),3)，所以sin∠ACB＝eq\f(3\r(10),10)，cos∠ACB＝eq\f(\r(10),10).在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACD·cos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD＝eq\f(3\r(30)－\r(10),20)，由正弦定理可求得AD＝eq\f(AC·sin∠ACD,sin∠ADC)＝eq\f(9＋\r(3),13).答案：eq\f(9＋\r(3),13)9.已知在岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin38°＝\f(5\r(3),14)，sin22°＝\f(3\r(3),14)))解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋eq\f(1,4)－2×eq\r(3)×eq\f(1,2)cos30°＝eq\f(7,4).故PA＝eq\f(\r(7),2).(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，eq\f(\r(3),sin150°)＝eq\f(sinα,sin30°－α)，化简得eq\r(3)cosα＝4sinα.所以tanα＝eq\f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq\f(\r(3),4).B组能力提升练1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案：A2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角γ＝60°，则山高h＝()A.eq\f(\r(2),2)aB.eqB.q\f(a,2)米C.eq\f(\r(3),2)a米 D．a米解析：在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a(米)．答案：A3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km，参考数据：eq\r(3)≈1.732)()A．8.4km B．6.6kmC．6.5km D．5.6km解析：因为AB＝1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50,3)km，所以BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r(2))(km)．所以航线离山顶的高度h＝eq\f(50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin(45°＋30°)≈11.4km.所以山高为18－11.4＝6.6(km)．答案：B4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，C，b②测量a，b，C③测量A，B，a则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：对于①，利用内角和定理先求出B＝π－A－C，再利用正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)解出c，对于②，直接利用余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)即可解出c，对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)解出c.答案：A5.(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为__________．解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在Rt△ACD中，因为tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，所以DC＝ACtan∠DAC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2)(m)．答案：6006．(2018·遂宁模拟)海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__________小时．解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍)．所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为eq\f(2,3)小时．答案：eq\f(2,3)7．如图，现要在一块半径为1m，圆心角为eq\f(π,3)的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式．(2)求S的最大值及相应的θ角．解析：(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝eq\f(\r(3),3)QE＝eq\f(\r(3),3)PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－eq\f(\r(3),3)sinθ，S＝MN·PD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(\r(3),3)sinθ))·sinθ＝sinθcosθ－eq\f(\r(3),3)sin2θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).(2)S＝eq\f(1,2)sin2θ－eq\f(\r(3),6)(1－cos2θ)＝eq\f(1,2)sin2θ＋eq\f(\r(3),6)cos2θ－eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\