2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭师大附中高二下学期期中考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭师大附中高二下学期期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x24−yA.y=±4x B.y=±2x C.2.已知函数y=f(x)的图像如图所示，则其导函数y=f′(x)的图像可能是(

)

A. B.

C. D.3.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有(    )种A.12 B.18 C.20 D.244.等比数列an的前n项积为Tn,T9=512A.2 B.22 C.4 5.2+1x(1−x)7的展开式中xA.−7 B.7 C.77 D.−776.已知P为抛物线x2=12y上一个动点，Q为圆(x−4)2+y2=1上一个动点，则点P到点Q的距离与点A.4 B.3 C.2 D.17.若事件A,B互斥，P(C)=23,P(AC)=A.15 B.310 C.128.已知55>e8,a=3A.a<b<c B.a<c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若随机变量X∼B10,13，则D(3X−1)=20

B.若随机变量X∼Nμ,σ2，当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖

C.回归分析中，样本决定系数R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好10.在2x−1x8的展开式中，下列说法正确的是A.常数项是1120 B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为25611.在棱长为2的正方体中ABCD−A1B1C1D1,E为CD的中点，O是BD1的中点，A.点D1到平面AEC1的距离为263

B.三棱锥D−A1D1P体积是定值，定值为1

C.存在点P，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)的导函数f′(x)满足关系式f(x)=2xf′(1)−ln13.某中学举办女子排球赛，高二年级A班与B班进行比赛，每局比赛A班获胜概率为25，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制(先赢两局者获胜)，则A班获胜的概率是

．14.已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，直线y=x+1与C交于M，N两点，设四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3=10，a2(1)求an的前n项和S(2)记bn=2Sn+6，求数列b16.(本小题15分如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面(1)证明：CE⊥平面B(2)求平面B1C1E17.(本小题15分随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通(也称旅游年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出(单位：百元)近似服从正态分布Nμ,σ2(1)若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客(单位：万)在本市的年旅游消费支出不低于1500元；(2)现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为25.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客

外地游客100

合计300

1000参考数据：若随机变量X∼Nμ,参考公式：χ2=nα0.100.050.010.001χ2.7063.8416.63510.82818.(本小题17分已知函数f(x)=(m+1−x)e(1)当m=2时，求f(x)的单调区间；(2)若x=0是f(x)的极小值点，求实数m的取值范围．19.(本小题17分已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，O为坐标原点，过(1)求C的方程；(2)过P作直线x=1的垂线，垂足为N．(i)证明：直线QN过定点；(ii)求▵OQN面积的最小值．

参考答案1.C

2.A

3.A

4.C

5.B

6.D

7.D

8.B

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.2x−ln13.4412514.1015.(1)解：设等差数列an的公差为d，则d≠0a2=a3−d=10−d由题意可得a42=a2所以，an所以，Sn(2)解：bn所以，Tn

16.(1)∵四边形CDD1C1为矩形，CD=∴C1E=CE=12+∵B1C1⊥平面CDD1∵B1C1∩C1E=C(2)以A为坐标原点，AB,AD,则A(0,0,0)，C1(1,1,2)，E(0,1,1)，∴AC1=(1,1,2)，设平面AC1E则AC1⋅n=x+y+2z=0AE⋅n=y+z=0由(1)知：CE⊥平面B1C1E，∴∴cos<即平面B1C1E与平面

17.(1)因为μ=11.8,σ=3.2,μ+σ=15，所以旅游费用支出不低于1500元的概率为P(x≥μ+σ)=1−P(μ−σ所以500×估计2023年有79.325万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1500元；(2)假设H0游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客200400600外地游客100300400合计3007001000χ2根据小概率值α=0.01的独立性检验，H0即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．

18.(1)当m=2时，函数f(x)=(3−x)e则f′令ℎ(x)=2−x−2ex，易知函数ℎ(x)=2−x−2ex在所以当x<0时，有ℎ(x)>0，即f′(x)>所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(2)由已知得：f′(x)=(m−x)e令g(x)=m−x−mex，则当m≥0时，g′(x)=−1−mex≤0所以当x<0时，有g(x)>0，即f′(x)>所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在即f(x)在x=0时取到极大值，不符合题意，故舍去m≥0；当−1<m<0时，则ln−故g(x)=m−x−mex在又(−∞,0)⊆所以当x<0时，有g(x)>0，从而f′当0<x<ln−1m时，有g(x)<即f(x)在x=0时取到极大值，仍不符合题意，故舍去−1<当m=−1时，则ln−1m令g′(x)>所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，在即g(x)在x=0时取到极小值，也是最小值，所以g(x)≥0，从而有f′(x)≥0，所以f(x)在又不符合题意，故舍去m=−当m<−1时，则ln−1m故g(x)=m−x−mex在又(0,+∞)⊆所以当x>0时，有g(x)>0，从而f′当ln−1m<x<0时，有g(x)即f(x)在x=0时取到极小值，符合题意，故m<−综上所述可得实数m的取值范围是m

19.(1)由题设ca=2且由l⊥x轴时，|PQ|=22，不妨令所以a2